CTU

České vysoké učení technické v Praze

Fakulta stavební

K 101 - Katedra matematiky

Předměty minulých semestrů -- archiv

přejděte na aktuální semestr


semestr zimní 2016/17


semestr letní 2015/16


semestr zimní 2015/16


semestr letní 2014/15


semestr zimní 2014/15


semestr letní 2013/14


semestr zimní 2013/14


semestr letní 2012/13


semestr zimní 2012/13


semestr letní 2011/12


semestr zimní 2011/12


semestr letní 2010/11


semestr zimní 2010/11


semestr letní 2009/10


semestr zimní 2009/10


semestr letní 2008/09


semestr zimní 2008/09


semestr letní 2007/08


semestr zimní 2007/08


semestr před rokem 2007


Aplikovaná matematika

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika I

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika a numerické metody

Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.


Aplikovaná matematika a numerické metody I

Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.


Aplikovaná matematika a numerické metody II

Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.


Aplikovaná matematika a numerické metody III

Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.


Aplikace funkcionální analýzy

Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.


Diferenciální geometrie I

Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.


Dynamické systémy

Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.


Variační metody řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic řádu 2k

Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.


Fraktální geometrie


Matematická statistika

Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab


Matematika (vybrané statě)

Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".


Metrické a lineární prostory

1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.


Matematické struktury

Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.


Matematická statistika

Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.


Matematická statistika I

1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.

[1]  Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.

Matematická statistika II

1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.

[1]  Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[2]  
[3]  doplňkové materiály

Mathematic Statistics 1

Basic knowledge about the descriptive and inferential statistics

[1]  Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Science, Duxbury

Numerické metody

Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.


Numerické metody v nelineární pružnosti

Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.


Objektové programování - .NET

Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.


Obyčejné a parciální diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.


Praktikum numerických metod - MATLAB

MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.


Softwarové zabezpečení výpočetní techniky

Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.


Vektorový a tenzorový počet

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.

[1]  1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974

Vysoce výkonné metody pro vědecko-technické výpočty

Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Diplomový seminář


Projekt


Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3]  Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3]  Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.

Konstruktivní geometrie

Kótované promítání, ortografická projekce. Axonometrie. Kosoúhlé promítání.Gnómonická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál

[1]  Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]  Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006

Matematika 1

Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.

[1]  Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.

[1]  Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3]  Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1]  O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2]  D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3]  D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 2G

Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných. Totální diferenciál, linearizace funkce. Derivace vyšších řádů. Taylorův polynom. Extrémy funkce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Funkce dvou proměnných, vrstevnice, grafy. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál, linearizace funkce. Taylorův polynom 2. stupně, graf. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematické metody v řízení


Probability and Statistics


Methods of Time Discretization


Mathematics 1

This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 2

1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 4B

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1]   Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]   Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3]   Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1]  Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2]  Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004, http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Numerical Methods


Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Algoritmy a základy numerické matem.

Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.


Matem. metody ve fyz. geodézii 2

Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.

[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.

Matematické metody ve fyzikální geodézii 3


Konstruktivní geometrie - repetitorium A

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 21 - repetitorium G

Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 2 - repetitorium

Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.

[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).

Seminář k Matematice 2

Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.

[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.

Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematická statistika pro techniky

Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.

[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT

Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody

Aplikovaná matematika

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika I

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika a numerické metody

Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.


Aplikovaná matematika a numerické metody I

Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.


Aplikovaná matematika a numerické metody II

Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.


Aplikovaná matematika a numerické metody III

Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.


Aplikace funkcionální analýzy

Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.


Diferenciální geometrie I

Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.


Dynamické systémy

Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.


Variační metody řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic řádu 2k

Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.


Fraktální geometrie


Matematická statistika

Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab


Matematika (vybrané statě)

Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".


Metrické a lineární prostory

1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.


Matematické struktury

Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.


Matematická statistika

Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.


Matematická statistika I

1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.


Matematická statistika II

1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. Analýza rozptylu - jednoduché a dvojné třídění. Korelační analýza. 3. Diskriminační analýza. 4. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. 5. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. 6. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí.


Mathematic Statistics 1

Basic knowledge about the descriptive and inferential statistics

[1]  Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Science, Duxbury

Numerické metody

Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.


Numerické metody v nelineární pružnosti

Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.


Objektové programování - .NET

Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.


Obyčejné a parciální diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.


Praktikum numerických metod - MATLAB

MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.


Softwarové zabezpečení výpočetní techniky

Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.


Vektorový a tenzorový počet

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.

[1]  1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974

Vysoce výkonné metody pro vědecko-technické výpočty

Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Diplomový seminář


Diplomový seminář


Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3]  Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3]  Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.

Konstruktivní geometrie

Kótované promítání, ortografická projekce. Axonometrie. Kosoúhlé promítání.Gnómonická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy.

[1]  Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 2004
[2]  Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3]  Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000.

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál

[1]  Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]  Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006

Matematika 1

Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.

[1]  Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.

[1]  Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3]  Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1]  O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2]  D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3]  D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 2G

Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných. Totální diferenciál, linearizace funkce. Derivace vyšších řádů. Taylorův polynom. Extrémy funkce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Funkce dvou proměnných, vrstevnice, grafy. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál, linearizace funkce. Taylorův polynom 2. stupně, graf. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.

[1]  Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.

Probability and Statistics


Mathematics 1

This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 2

1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1]   Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]   Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3]   Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1]  Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2]  Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004, http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Algoritmy a základy numerické matem.

Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.


Matem. metody ve fyz. geodézii 2

Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.

[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.

Matematické metody ve fyzikální geodézii 3


Konstruktivní geometrie - repetitorium A

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 21 - repetitorium G

Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 2 - repetitorium

Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.

[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).

Seminář k Matematice 2

Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.

[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.

Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematická statistika pro techniky

Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.

[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT

Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody

Aplikovaná matematika

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika I

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika a numerické metody

Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.


Aplikovaná matematika a numerické metody I

Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.


Aplikovaná matematika a numerické metody II

Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.


Aplikovaná matematika a numerické metody III

Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.


Aplikace funkcionální analýzy

Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.


Diferenciální geometrie I

Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.


Dynamické systémy

Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.


Variační metody řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic řádu 2k

Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.


Fraktální geometrie


Matematická statistika pro inženýrské obory

Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab


Matematika (vybrané statě)

Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".


Metrické a lineární prostory

1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.


Matematické struktury

Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.


Matematická statistika

Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.


Matematická statistika I

1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.


Matematická statistika II

1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. Analýza rozptylu - jednoduché a dvojné třídění. Korelační analýza. 3. Diskriminační analýza. 4. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. 5. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. 6. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí.


Numerické metody

Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.


Numerické metody v nelineární pružnosti

Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.


Objektové programování - .NET

Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.


Obyčejné a parciální diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.


Praktikum numerických metod - MATLAB

MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.


Softwarové zabezpečení výpočetní techniky

Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.


Vektorový a tenzorový počet

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.


Vysoce výkonné metody pro vědecko-technické výpočty

Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.


Bakalářská práce


Constructive geometry

Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996

Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3]  Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3]  Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál

[1]  Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]  Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006

Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika Y1


Matematika 1

Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.

[1]  Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.

[1]  Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3]  Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1]  O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2]  D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3]  D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)

Matematika 4B

Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.

[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995

Matematika 4E

Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.

[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.

Mathematics 1

This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 3


Mathematics 4B

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1]   Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]   Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3]   Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1]  Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2]  Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3]  http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Numerická matematika

Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.


Projekt 2


Spolehlivost systémů

Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.

[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT

Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Matem. metody ve fyz. geodézii 1

Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.

[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.

Konstruktivní geometrie - repetitorium

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 11 - repetitorium G

Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.

[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007

Matematika 1 - repetitorium

Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.

[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.

Matematika 3 - repetitorium

Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002

Seminář k Matematice 3

V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.

[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005

Seminář k Matematice 4

Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/

Základy informatiky

Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple™.

[1] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2] Rhinoceros: Tutoriály
[3] Maple: Manuál pro začátečníky

Základy deskriptivní geometrie

Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.


Aplikovaná geometrie


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Numerické modelování


Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Počítačové zobrazování objektů


Aplikovaná matematika I


Aplikovaná matematika II


Aplikovaná matematika a numerické metody


Aplikovaná matematika a numerické metody I


Aplikovaná matematika a numerické metody II


Aplikovaná matematika a numerické metody III


Aplikace funkcionální analýzy


Diferenciální geometrie I


Dynamické systémy


Variační metody řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic řádu 2k


Fraktální geometrie


Matematická statistika pro inženýrské obory


Matematika (vybrané statě)


Metrické a lineární prostory


Matematické struktury


Matematická statistika


Matematická statistika I


Matematická statistika II


Mathematics for Applications+Numerical Methods 1


Mathematics for Applications+Numerical Methods 2


Mathematic Statistics 1


Mathematic Statistics 2


Numerické metody


Numerické metody v nelineární pružnosti


Objektové programování - .NET


Obyčejné a parciální diferenciální rovnice


Pravděpodobnost a matematická statistika


Praktikum numerických metod - MATLAB


Softwarové zabezpečení výpočetní techniky


Vektorový a tenzorový počet


Vysoce výkonné metody pro vědecko-technické výpočty


Bakalářská práce


Diplomový seminář


Diplomový seminář


Diplomová práce


Diploma project


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál


Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce – per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrál


Matematika Y2


Matematika 1

Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy – příklady. Úloha u′′ + λu = f, u(0) = u(ℓ) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na λ. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Mathematics 2

Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Algoritmy a základy numerické matem.

Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.


Matem. metody ve fyz. geodézii 2

Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.

[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.

Matematické metody ve fyzikální geodézii 3


Konstruktivní geometrie - repetitorium A

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 21 - repetitorium G

Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 2 - repetitorium

Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.

[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).

Seminář k Matematice 2

Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.

[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.

Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematická statistika pro techniky

Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.

[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT

Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics

Bakalářská práce


Bachelor Project


Constructive geometry

Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996

Constructive geometry

This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Diplomový seminář


Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál


Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce – per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrál


Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika Y1


Matematika 1

Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy – příklady. Úloha u′′ + λu = f, u(0) = u(ℓ) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na λ. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)

Matematika 4B

Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.

[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995

Matematika 4E

Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.

[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.

Mathematics 1

Real functions of a real variable. Sequences, limits, convergence, divergence, the number e. Functions, properties, composite, inverse. Limits, continuity. Derivatives, differentials, applications. Local extremes, asymptotes. Global extremes. Taylor’s theorem. Linear algebra. Vector spaces, R2, R3, Rn. Matrices, operations. Systems of linear equations, solutions, solvability. Gaussian elimination. Matrix multiplication, inverse matrices, matrix equations. Determinants, Cramer’s rule. Analytic geometry. Straight lines. Planes. Equations, parametric representation. Relationships, deviations, distances. Products of vectors. Applications.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 3


Mathematics 4B

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Numerická matematika

Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.


Projekt (profesní zaměření)


Projekt 2


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Spolehlivost systémů

Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.

[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT

Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Matem. metody ve fyz. geodézii 1

Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.

[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.

Konstruktivní geometrie - repetitorium

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 11 - repetitorium G

Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.

[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007

Matematika 1 - repetitorium

Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.

[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.

Matematika 3 - repetitorium

Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002

Seminář k Matematice 3

V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.

[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005

Seminář k Matematice 4

Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/

Základy informatiky

Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple™.

[1] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2] Rhinoceros: Tutoriály
[3] Maple: Manuál pro začátečníky

Základy deskriptivní geometrie

Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.


Aplikovaná geometrie


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Konstruktivní geometrie - výběrová

Těžištěm modulu jsou stavební aplikace a jejich geometrický popis. Přitom je používána kromě klasických metod počítačová grafika. Předmět je určen pro studenty se základními znalostmi stereometrie a zobrazovacích metod a je vhodný pro ty, kteří ovládající základy práce s některým grafickým programem (např. CAD, Rhinoceros). Je alternativou povinného kurzu Konstruktivní geometrie.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004

Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Ortogonální systémy funkcí


Tenzorový počet

Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň

Bakalářská práce


Diplomový seminář


Diplomová práce


Diploma project


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál


Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce – per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrál


Matematika 1

Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy – příklady. Úloha u′′ + λu = f, u(0) = u(ℓ) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na λ. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3A

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T4

Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.

[1] Rektorys K.: Přehled užité matematiky II, Prometheus 1995

Mathematics 2

Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006

Numerická matematika


Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

101XANM

Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.


Matem. metody ve fyz. geodézii 2

Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.

[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.

Konstruktivní geometrie - repetitorium A

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 21 - repetitorium G

Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 2 - repetitorium

Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.

[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).

Seminář k Matematice 2

Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.

[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.

Základy informatiky


Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematická statistika pro techniky

Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.

[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT

Numerické modelování


Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics

Constructive geometry

Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996

Constructive geometry

This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie s důrazem na kosoúhlé promítání, zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich analytické vyjádření.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Matematika R1


Matematika R2


Mathematics 1

Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 3

Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997

Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1

Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy – příklady. Úloha u′′ + λu = f, u(0) = u(ℓ) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na λ. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)

Matematika 4B

Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.

[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995

Matematika 4E

Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.

[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.

Matematika T3

Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.

[1] Boček L.: Tenzorový počet, SNTL 1976

Mathematics 1

Real functions of a real variable. Sequences, limits, convergence, divergence, the number e. Functions, properties, composite, inverse. Limits, continuity. Derivatives, differentials, applications. Local extremes, asymptotes. Global extremes. Taylor’s theorem. Linear algebra. Vector spaces, R2, R3, Rn. Matrices, operations. Systems of linear equations, solutions, solvability. Gaussian elimination. Matrix multiplication, inverse matrices, matrix equations. Determinants, Cramer’s rule. Analytic geometry. Straight lines. Planes. Equations, parametric representation. Relationships, deviations, distances. Products of vectors. Applications.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 3


Mathematics 4B

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Projekt (profesní zaměření)


Projekt 2


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Matem. metody ve fyz. geodézii 1

Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.

[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.

Konstruktivní geometrie - repetitorium

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 11 - repetitorium G

Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.

[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007

Matematika 1 - repetitorium

Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.

[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.

Matematika 3 - repetitorium

Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002

Seminář k Matematice 3

V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.

[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005

Seminář k Matematice 4

Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/

Základy informatiky

Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple™.

[1] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2] Rhinoceros: Tutoriály
[3] Maple: Manuál pro začátečníky

Základy informatiky


Základy deskriptivní geometrie

Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.


Aplikovaná geometrie

Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Konstruktivní geometrie - výběrová

Těžištěm modulu jsou stavební aplikace a jejich geometrický popis. Přitom je používána kromě klasických metod počítačová grafika. Předmět je určen pro studenty se základními znalostmi stereometrie a zobrazovacích metod a je vhodný pro ty, kteří ovládající základy práce s některým grafickým programem (např. CAD, Rhinoceros). Je alternativou povinného kurzu Konstruktivní geometrie.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004

Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Numerické modelování


Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Ortogonální systémy funkcí


Tenzorový počet

Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň

Bakalářská práce


Bachelor Project


Diplomový seminář


Diplomová práce


Diploma project


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie s důrazem na kosoúhlé promítání, zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich analytické vyjádření.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998

Konstruktivní geometrie 2

Šroubové plochy – cyklické šroubové plochy. Rotační jednodílný hyperboloid – přímky plochy a jejich vlastnosti, zborcený čtyřúhelník a část plochy uvnitř, chladicí věž, zastřešení; vytváření sítí na ploše pomocí přímek, hyperbol, kružnic, šroubovic. Hyperbolický paraboloid – přímky plochy a jejich vlastnosti, síť přímek a síť parabol; různé segmenty plochy – zborcený čtyřúhelník, sedlo, spojování těchto prvků; rovnice HP ze zborceného čtyřúhelníku. Konoidy – ukázka zadání – přímý, šikmý; různé řídicí křivky – parabola, polokružnice, kružnice, šroubovice, jiná řídicí křivka; ukázky aplikací – zastřešení, přechodová plocha, ozdobné prvky. Oblouky – marseillský, montpellierský. Trúba – Štramberk, zobecnění plochy, plocha eliptického pohybu. Fréziérův cylindroid. Translační plochy – klenby, pruská placka × česká placka. Klínové plochy – souvislost s HP a translačními plochami. Osvětlení – osvětlení v perspektivě; technické osvětlení na půdorysnu; osvětlení dutin (nik); technické osvětlení na nárysnu.

[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998

Mathematics 2

Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika 1

Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, Vydavatelství ČVUT, 2007
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T2

Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.

[1] Kilčevskij N.A.: Základy tenzorového počtu a jeho použití v mechanice, SNTL 1956

Matematika T4

Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.

[1] Rektorys K.: Přehled užité matematiky II, Prometheus 1995

Mathematics 2

Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Numerická matematika


Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Aplikovaná matematika

Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.


Matem. metody ve fyz. geodézii 2

Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.

[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.

Gröbnerovy báze

Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.

[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KOG a KGA1. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů. Předmět je vhodný jako teoretický základ pro zpracování semestrálního projektu v předmětu KOG2.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Kvalitativní vlastnosti dynamických sys.

Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.

[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications

Matematika 21 - repetitorium G

Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika pro magistry

Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.

[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977

Matematika 2 - repetitorium


Numerická matematika a modelování

Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.

Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Seminář k Matematice 2

Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.

[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.

Teorie Navierových-Stokesových rovnic


Všudypřítomné fraktály

Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.

[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.

Aplikovaná matematika

V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.


Konstruktivní geometrie - výběrová

Těžištěm modulu jsou stavební aplikace a jejich geometrický popis. Přitom je používána kromě klasických metod počítačová grafika. Předmět je určen pro studenty se základními znalostmi stereometrie a zobrazovacích metod a je vhodný pro ty, kteří ovládající základy práce s některým grafickým programem (např. CAD, Rhinoceros). Je alternativou povinného kurzu Konstruktivní geometrie.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004

Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Numerické modelování


Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics

Bakalářská práce


Constructive geometry

Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996

Diplomová práce


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie s důrazem na kosoúhlé promítání, zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich analytické vyjádření.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Mathematics 3

Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997

Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1

Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, Vydavatelství ČVUT, 2007
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)

Matematika 4B

Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.

[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995

Matematika 4E

Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.

[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.

Matematika T1

Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika T3

Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.

[1] Boček L.: Tenzorový počet, SNTL 1976

Mathematics 1

Real functions of a real variable. Sequences, limits, convergence, divergence, the number e. Functions, properties, composite, inverse. Limits, continuity. Derivatives, differentials, applications. Local extremes, asymptotes. Global extremes. Taylor’s theorem. Linear algebra. Vector spaces, R2, R3, Rn. Matrices, operations. Systems of linear equations, solutions, solvability. Gaussian elimination. Matrix multiplication, inverse matrices, matrix equations. Determinants, Cramer’s rule. Analytic geometry. Straight lines. Planes. Equations, parametric representation. Relationships, deviations, distances. Products of vectors. Applications.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 4B

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Projekt (profesní zaměření)


Projekt 2


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Spolehlivost systémů

Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.

[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT

Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Matem. metody ve fyz. geodézii 1

Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.

[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.

Konstruktivní geometrie - repetitorium A

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie - repetitorium

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 11 - repetitorium G

Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.

[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007

Matematika 1 - repetitorium

Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.

[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.

Matematika 3 - repetitorium

Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002

Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Seminář k Matematice 3


Seminář k Matematice 4


Aplikovaná geometrie

Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Konstruktivní geometrie - výběrová

Těžištěm modulu jsou stavební aplikace a jejich geometrický popis. Přitom je používána kromě klasických metod počítačová grafika. Předmět je určen pro studenty se základními znalostmi stereometrie a zobrazovacích metod a je vhodný pro ty, kteří ovládající základy práce s některým grafickým programem (např. CAD, Rhinoceros). Je alternativou povinného kurzu Konstruktivní geometrie.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004

Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Numerické modelování


Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Ortogonální systémy funkcí


Tenzorový počet

Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň

Základy informatiky

Předmět je určen studentům, kteří mají zájem o využítí počítačů na řešení technických problémů. Doplňuje a rozšiřuje výuku předmětu matematika o možnost realizace teoretických postupů na počítači. Maticové operace, řešení soustav rovnic, řešení nelineárních rovnic, práce s daty, 2D a 3D grafika. Problémy z oblasti aplikované matematiky směrované na řešení technických problémů, finanční matematiky. Používaný software Matlab, MS Excel, ukázkově grafický software, MS Visual Studio. Seznámení se studentskými softwarovými licenčními možnostmi. Průběžná kontrola porozumění látce. Na předmět ve druhém ročníku navazují nepovinné předměty Matematický seminář 101XMS3 a 101XMS4.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky - počítačové modelování v MATLABu. Praha, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2005.

Bakalářská práce


Diplomový seminář


Diplomová práce


Diploma project


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie s důrazem na kosoúhlé promítání, zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich analytické vyjádření.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998

Konstruktivní geometrie 2

Principy geometrického osvětlení: Osvětlení v promítacích metodách, osvětlení dutin. Technické osvětlení na vodorovnou a svislou rovinu. Osvětlení architektonických prvků a osvětlení interieru. Plochy: Vytvořující principy vybraných ploch architektonické praxe. Prostředky modelování křivek a ploch v softwarech. Semestrální projekt – komplexní geometrický návrh kompozice.

[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998

Mathematics 2

Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2007

Matematika 1

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, Vydavatelství ČVUT, 2007
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4G

Posloupnosti funkcí a funkční řady. Konvergence a operace s řadami. Mocninné řady, asymptotický rozvoj. Fourierova trigonometrická řada. Aplikace řad. Lineární operátor, transformace v rovině a prostoru. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru. Bilineární a kvadratická forma. Transformace obecné rovnice kuželosečky na kanonický tvar.

[1] Kočandrlová, M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika G1

Numerické řešení algebraické rovnice pro jednu neznámou. Metoda půlení intervalu a metoda sečen, Newtonova metoda. Iterační metoda prostá a třetího řádu. Řešení Keplerovy rovnice. Maticový počet a řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (opakování).Blokové matice. Normy a podmíněnost matice. Iterační metody řešení soustav. Jacobiova, Gaussova-Seidelova, gradientní metoda. Porovnání rychlosti konvergence řešení soustav. Vlastní čísla symetrických matic. Úplný a částečný problém vlastních čísel. Mocninná metoda pro extremální vlastní číslo. Interpolace a aproximace funkce jedné proměnné. Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom (opakování). Kubická spline-funkce. Aproximace spline-funkcí. Interpolační křivky. Fergusonova a Bézierova kubika, B-spline křivka.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007

Matematika T2

Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.

[1] Kilčevskij N.A.: Základy tenzorového počtu a jeho použití v mechanice, SNTL 1956

Matematika T4

Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.

[1] Rektorys K.: Přehled užité matematiky II, Prometheus 1995

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Numerická matematika


Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Aplikovaná matematika

Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.


Gröbnerovy báze

Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.

[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KOG a KGA1. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů. Předmět je vhodný jako teoretický základ pro zpracování semestrálního projektu v předmětu KOG2.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Kvalitativní vlastnosti dynamických sys.

Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.

[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications

Matematika 21 - repetitorium G


Matematika pro magistry

Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.

[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977

Matematika 2 - repetitorium


Numerická matematika a modelování

Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.

Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Seminář k Matematice 2


Teorie Navierových-Stokesových rovnic


Všudypřítomné fraktály

Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.

[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.

Aplikovaná matematika

V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.


Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Numerické modelování


Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics

Základy informatiky

Předmět je určen studentům, kteří mají zájem o využítí počítačů na řešení technických problémů. Doplňuje a rozšiřuje výuku předmětu matematika o možnost realizace teoretických postupů na počítači. Maticové operace, řešení soustav rovnic, řešení nelineárních rovnic, práce s daty, 2D a 3D grafika. Problémy z oblasti aplikované matematiky směrované na řešení technických problémů, finanční matematiky. Používaný software Matlab, MS Excel, ukázkově grafický software, MS Visual Studio. Seznámení se studentskými softwarovými licenčními možnostmi. Průběžná kontrola porozumění látce. Na předmět ve druhém ročníku navazují nepovinné předměty Matematický seminář 101XMS3 a 101XMS4.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky - počítačové modelování v MATLABu. Praha, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2005.

Algoritmy a zákl. numerické matematiky

Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace


Bakalářská práce


Bachelor Project


Constructive geometry

This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Diplomová práce


Diploma project


Konstruktivní geometrie A


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Mathematics 1

Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 3

Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997

Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)

Matematika 4B

Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.

[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995

Matematika 4E

Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.

[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.

Matematika T1

Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika T3

Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.

[1] Boček L.: Tenzorový počet, SNTL 1976

Matematika 1A


Matematika A2


Matematika 3A


Projekt (profesní zaměření)


Projekt 2


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Spolehlivost systémů


Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Konstruktivní geometrie - repetitorium A


Konstruktivní geometrie - repetitorium


Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 11 - repetitorium G


Matematika 1 - repetitorium


Matematika 3 - repetitorium


Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Seminář k Matematice 3


Seminář k Matematice 4


Aplikovaná geometrie

Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Konstruktivní geometrie - výběrová


Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Numerické modelování


Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Ortogonální systémy funkcí


Tenzorový počet

Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň

Základy informatiky

Předmět je určen studentům, kteří mají zájem o využítí počítačů na řešení technických problémů. Doplňuje a rozšiřuje výuku předmětu matematika o možnost realizace teoretických postupů na počítači. Maticové operace, řešení soustav rovnic, řešení nelineárních rovnic, práce s daty, 2D a 3D grafika. Problémy z oblasti aplikované matematiky směrované na řešení technických problémů, finanční matematiky. Používaný software Matlab, MS Excel, ukázkově grafický software, MS Visual Studio. Seznámení se studentskými softwarovými licenčními možnostmi. Průběžná kontrola porozumění látce. Na předmět ve druhém ročníku navazují nepovinné předměty Matematický seminář 101XMS3 a 101XMS4.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky - počítačové modelování v MATLABu. Praha, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2005.

Bakalářská práce


Diplomový seminář


Diplomová práce


Diploma project


Konstruktivní geometrie A


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998

Konstruktivní geometrie 2

Principy geometrického osvětlení: Osvětlení v promítacích metodách, osvětlení dutin. Technické osvětlení na vodorovnou a svislou rovinu. Osvětlení architektonických prvků a osvětlení interieru. Plochy: Vytvořující principy vybraných ploch architektonické praxe. Prostředky modelování křivek a ploch v softwarech. Semestrální projekt – komplexní geometrický návrh kompozice.

[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998

Mathematics 2

Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2007

Matematika 1

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3A

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4G

Posloupnosti funkcí a funkční řady. Konvergence a operace s řadami. Mocninné řady, asymptotický rozvoj. Fourierova trigonometrická řada. Aplikace řad. Lineární operátor, transformace v rovině a prostoru. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru. Bilineární a kvadratická forma. Transformace obecné rovnice kuželosečky na kanonický tvar.

[1] Kočandrlová, M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika G1

Numerické řešení algebraické rovnice pro jednu neznámou. Metoda půlení intervalu a metoda sečen, Newtonova metoda. Iterační metoda prostá a třetího řádu. Řešení Keplerovy rovnice. Maticový počet a řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (opakování).Blokové matice. Normy a podmíněnost matice. Iterační metody řešení soustav. Jacobiova, Gaussova-Seidelova, gradientní metoda. Porovnání rychlosti konvergence řešení soustav. Vlastní čísla symetrických matic. Úplný a částečný problém vlastních čísel. Mocninná metoda pro extremální vlastní číslo. Interpolace a aproximace funkce jedné proměnné. Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom (opakování). Kubická spline-funkce. Aproximace spline-funkcí. Interpolační křivky. Fergusonova a Bézierova kubika, B-spline křivka.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007

Matematika T2

Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.

[1] Kilčevskij N.A.: Základy tenzorového počtu a jeho použití v mechanice, SNTL 1956

Matematika 1A


Matematika A2


Numerická matematika


Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Aplikovaná matematika

Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.


Gröbnerovy báze

Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.

[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KOG a KGA1. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů. Předmět je vhodný jako teoretický základ pro zpracování semestrálního projektu v předmětu KOG2.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Kvalitativní vlastnosti dynamických sys.

Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.

[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications

Matematika pro magistry

Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.

[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977

Matematika 21 - repetitorium

Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 2.


Numerická matematika a modelování

Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.

Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Teorie Navierových-Stokesových rovnic


Všudypřítomné fraktály

Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.

[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.

Aplikovaná matematika

V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.


Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Numerické modelování


Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics

Základy informatiky

Předmět je určen studentům, kteří mají zájem o využítí počítačů na řešení technických problémů. Doplňuje a rozšiřuje výuku předmětu matematika o možnost realizace teoretických postupů na počítači. Maticové operace, řešení soustav rovnic, řešení nelineárních rovnic, práce s daty, 2D a 3D grafika. Problémy z oblasti aplikované matematiky směrované na řešení technických problémů, finanční matematiky. Používaný software Matlab, MS Excel, ukázkově grafický software, MS Visual Studio. Seznámení se studentskými softwarovými licenčními možnostmi. Průběžná kontrola porozumění látce. Na předmět ve druhém ročníku navazují nepovinné předměty Matematický seminář 101XMS3 a 101XMS4.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky - počítačové modelování v MATLABu. Praha, Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2005.

Algoritmy a zákl. numerické matematiky

Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace


Bakalářská práce


Bachelor Project


Constructive geometry

This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Diplomový seminář


Diplomová práce


Diploma project


Konstruktivní geometrie A


Konstruktivní geometrie A


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Mathematics 1

Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 3

Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997

Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1G


Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3A

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)

Matematika 4B

Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.

[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995

Matematika 4E

Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.

[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.

Matematika 4S

Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e

[1] J. Jirásko: Matematika 35 – Matematická logika, ČVUT, 1997
[2] J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984
[3] A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001

Matematika T1

Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika T3

Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.

[1] Boček L.: Tenzorový počet, SNTL 1976

Matematika 1A


Matematika A2


Projekt (předdiplomní)


Projekt 2


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Spolehlivost systémů


Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Analýza citlivosti a její aplikace

Analýza citlivosti – zkoumání reakce sledované veličiny na změnu vstupních parametrů matematického modelu. Analýza citlivosti u jednoduchých úloh stavební mechaniky. Aplikace v optimalizaci, identifikaci parametrů a v úlohách s nejistými vstupními daty. Matlab – nástroj pro počítačové modelování. Studenti budou numericky řešit aplikačně zaměřené problémy v prostředí Matlab, jeho předběžná znalost není podmínkou.


Konstruktivní geometrie - repetitorium

Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice. Křivky, výpočet křivostí.


Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 11 - repetitorium

Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 1.


Matematika 31 - repetitorium

Plocha jako graf funkce dvou promněných, tělesa definovaná implicitně, kvadriky, transformace souřadnic a jejich využití pro výpočet dvojných a trojných integrálů. Rovinné a prostorové křivky. Křivkové integrály prvního a druhého druhu. Aplikace vícenásobných a křivkových integrálů.,


Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Aplikovaná geometrie

Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.


Applied Geometry


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Mathematical Modelling


Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Numerické modelování


Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Orthogonal systems of functions

Ortogonální systémy funkcí, Fourierova řada. Systémy Legendreových a sférických funkcí. Řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích. Fourierova řada pro gravitační potenciál.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993

Ortogonální systémy funkcí


Tensor calculus

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.

[1] Heinbockel J.H.: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, ISBN 1-55369-133-4, Trafford

Tenzorový počet

Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň

Základy informatiky

Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.

[1] Kletečka, Fořt: Autocad
[2] Doňar, Zaplatílek: Matlab pro začátečníky
[3] webové stránky předmětu

Bakalářská práce


Bachelor Project


Diplomový seminář


Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A


Konstruktivní geometrie 2

Plochy, výtvarné zákony ploch, geometrické vlastnosti. Zobrazení ploch v konstrukcích, přechodové plochy, prutové konstrukce. Osvětlení, technické na půdorysnu a nárysnu, osvětlení v perspektivě. Doplňková témata, průniky ploch (těles), klenby, střechy, zlatý řez, technické křivky.


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie 1A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání a zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich anylytické vyjádření.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000

Konstruktivní geometrie 2

Principy geometrického osvětlení: Osvětlení v promítacích metodách, osvětlení dutin. Technické osvětlení na vodorovnou a svislou rovinu. Osvětlení architektonických prvků a osvětlení interieru. Plochy: Vytvořující principy vybraných ploch architektonické praxe. Prostředky modelování křivek a ploch v softwarech. Semestrální projekt – komplexní geometrický návrh kompozice.

[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne, E., Klix, W., D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.

Mathematics 2

Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2007
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2007
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika 1

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3A

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4G

Posloupnosti funkcí a funkční řady. Konvergence a operace s řadami. Mocninné řady, asymptotický rozvoj. Fourierova trigonometrická řada. Aplikace řad. Lineární operátor, transformace v rovině a prostoru. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru. Bilineární a kvadratická forma. Transformace obecné rovnice kuželosečky na kanonický tvar.

[1] Kočandrlová, M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika G1

Numerické řešení algebraické rovnice pro jednu neznámou. Metoda půlení intervalu a metoda sečen, Newtonova metoda. Iterační metoda prostá a třetího řádu. Řešení Keplerovy rovnice. Maticový počet a řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (opakování).Blokové matice. Normy a podmíněnost matice. Iterační metody řešení soustav. Jacobiova, Gaussova-Seidelova, gradientní metoda. Porovnání rychlosti konvergence řešení soustav. Vlastní čísla symetrických matic. Úplný a částečný problém vlastních čísel. Mocninná metoda pro extremální vlastní číslo. Interpolace a aproximace funkce jedné proměnné. Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom (opakování). Kubická spline-funkce. Aproximace spline-funkcí. Interpolační křivky. Fergusonova a Bézierova kubika, B-spline křivka.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[3] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T2

Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.

[1] Kilčevskij N.A.: Základy tenzorového počtu a jeho použití v mechanice, SNTL 1956

Matematika T4

Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.

[1] Rektorys K.: Přehled užité matematiky II, Prometheus 1995

Matematika A2


Numerická matematika

Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.


Numerická matematika


Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Aplikovaná matematika


Aplikovaná matematika

Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.


Kapitoly z dějim matematiky

Antické vlivy na vývoj matematiky. Arabská matematika a zapomenuté znalosti. Úlohy čínské matematiky. Pyramidy, kalendář a matematické umění mayské kultury. Renesanční umění a matematika, počátky perspektivy, vývoj numerace. Cardano a řešení rovnic a jejich soustav (determinanty, matice, Gaussova eliminační metoda). Svět fyziky a matematika, počátky variačních principů, Keplerova rovnice, Keplerovy zákony. Vznik diferenciálního a integrálního počtu a l'Hospitalův Kurs analýzy. Analytická geometrie roviny a prostoru. Fermat a praktické aplikace teorie čísel. Matematický model pražského orloje. Od měření kruhu k číslu pi a přibližným výpočtům. Použití matematiky v architektuře. Literatura k jednotlivým tématům bude uvedena v přednáškách.

[1] Kline, M.: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford, 1990.
[2] Dieudonné, J.: Geschichte der Mathematik, 1700-1900, DVW, Berlin, 1985
[3] The Inter-IREM Commission: History of Mathematics - Histories of Problems, Ellipses, Paris, 1997

Kapitoly z vývoje numerických metod

Algoritmy pro aritmetické operace. Sumerské dělení, operace na čínském abaku. Číselné soustavy. Dvojková a počítačová aritmetika. Optimalizace výpočtů. Metoda "Regula falsi" - řešení rovnic a jejich soustav. Operace s maticemi, magickými ctverci. Eukleidův algoritmus a jeho aplikace - ekvivalence racionálních čísel - Bezoutova identita, řetězové zlomky, Eulerovo vyjádření čísla e, počet kořenů rovnice, Sturmova věta, Od měření kruhu k výpočtu pi, geometrické a analytické přístupy, použití řad. Řešení rovnic postupnými aproximacemi - Metoda Herona z Alexandrie, metoda Theona z Alexandrie, středověké binomické algoritmy. Numerická řešení rovnic - tabulky Al Tusiho, Vietova metoda, Keplerova rovnice, Bernoulliova metoda rekurentních řad, aproximace řetězovými zlomky. Horner aneb transformace polynomických rovnic. Algoritmy v teorii čísel - Eratosthenovo síto, Kriteria dělitelnosti, kvadratická residua, testy prvočíselnosti, Fermat a faktorizační algoritmy. Řešení soustav rovnic. Aproximace kvadratur. Aproximace řešení diferenciálních rovnic. Rychlost konvergence. Pro četné příklady bude využit software Mathematica.

[1] Bressoud, D., Wagon S.: A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing, Springer, New York, 2000,
[2] Chabert, J. L. et al. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip, Springer, Berlin Heidelberg, 1999.

Gröbnerovy báze

Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.

[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KOG a KGA1. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů. Předmět je vhodný jako teoretický základ pro zpracování semestrálního projektu v předmětu KOG2.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J.: Konstruktivní geometrie - Křivky a plochy se softwarem Mathematica, doplňkové skriptum ČVUT, 1999
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Kvalitativní vlastnosti dynamických sys.

Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.

[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications
[2] Jozef Bobok: Texty k přednášce, 2007.

Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Je vhodnější pro studenty zapsat si tento předmět jako YMCD, který je stejný a jsou z něho navíc započítány dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematika pro magistry

Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.

[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha, 1999.

Matematika 21 - repetitorium

Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 2.


Numerická matematika a modelování

Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.

Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody

Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Matematika 12 - problémy vyšší matem.


Teorie Navierových-Stokesových rovnic


Všudypřítomné fraktály

Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.

[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.

Výběrová přednáška z matematiky


Aplikovaná matematika

V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.


Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematika I2

Tenzorový počet: Definice a příklady tenzorů. Tenzorová algebra a analýza. Tenzory v křivočarých souřadnicích. Aplikace tenzorů v mechanice bodů a těles.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
[2] Kilčevskij N. A.: Základy tenzorového počtu a jeho použití v mechanice, SNTL 1956

Numerické modelování


Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody

Základy informatiky

Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.

[1] Kletečka, Fořt: Autocad
[2] Doňar, Zaplatílek: Matlab pro začátečníky
[3] webové stránky předmětu

Algoritmy a zákl. numerické matematiky

Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace


Bakalářská práce


Bachelor Project


Constructive geometry

This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Diplomový seminář


Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Mathematics 1

Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 3

Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997

Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3A

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)

Matematika 4B

Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.

[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995

Matematika 4E

Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.

[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.

Matematika 4S

Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e

[1] J. Jirásko: Matematika 35 – Matematická logika, ČVUT, 1997
[2] J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984
[3] A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001

Matematika T1

Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika T3

Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.

[1] Boček L.: Tenzorový počet, SNTL 1976

Matematika A2


Projekt (předdiplomní)


Projekt 2


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Analýza citlivosti a její aplikace

Analýza citlivosti – zkoumání reakce sledované veličiny na změnu vstupních parametrů matematického modelu. Analýza citlivosti u jednoduchých úloh stavební mechaniky. Aplikace v optimalizaci, identifikaci parametrů a v úlohách s nejistými vstupními daty. Matlab – nástroj pro počítačové modelování. Studenti budou numericky řešit aplikačně zaměřené problémy v prostředí Matlab, jeho předběžná znalost není podmínkou.


Konstruktivní geometrie - repetitorium

Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice. Křivky, výpočet křivostí.


Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 11 - repetitorium

Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 1.


Matematika 31 - repetitorium

Plocha jako graf funkce dvou promněných, tělesa definovaná implicitně, kvadriky, transformace souřadnic a jejich využití pro výpočet dvojných a trojných integrálů. Rovinné a prostorové křivky. Křivkové integrály prvního a druhého druhu. Aplikace vícenásobných a křivkových integrálů.,


Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Aplikovaná geometrie

Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.


Applied Geometry


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Mathematical Modelling


Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Numerické modelování


Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Orthogonal systems of functions

Ortogonální systémy funkcí, Fourierova řada. Systémy Legendreových a sférických funkcí. Řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích. Fourierova řada pro gravitační potenciál.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993

Ortogonální systémy funkcí


Tensor calculus

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.

[1] Heinbockel J.H.: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, ISBN 1-55369-133-4, Trafford

Tenzorový počet

Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň

Základy informatiky

Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.

[1] Kletečka, Fořt: Autocad
[2] Doňar, Zaplatílek: Matlab pro začátečníky
[3] webové stránky předmětu

Bakalářská práce


Bachelor Project


Diplomový seminář


Konstruktivní geometrie 2

Plochy, výtvarné zákony ploch, geometrické vlastnosti. Zobrazení ploch v konstrukcích, přechodové plochy, prutové konstrukce. Osvětlení, technické na půdorysnu a nárysnu, osvětlení v perspektivě. Doplňková témata, průniky ploch (těles), klenby, střechy, zlatý řez, technické křivky.


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie 1A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie a zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich anylytické vyjádření.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000

Mathematics 2

Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2007
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2007
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika 1

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3A

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4G

Posloupnosti funkcí a funkční řady. Konvergence a operace s řadami. Mocninné řady, asymptotický rozvoj. Fourierova trigonometrická řada. Aplikace řad. Lineární operátor, transformace v rovině a prostoru. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru. Bilineární a kvadratická forma. Transformace obecné rovnice kuželosečky na kanonický tvar.

[1] Kočandrlová, M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika 4S

Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e

[1] J. Jirásko: Matematika 35 – Matematická logika, ČVUT, 1997
[2] J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984
[3] A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001

Matematika G1

Numerické řešení algebraické rovnice pro jednu neznámou. Metoda půlení intervalu a metoda sečen, Newtonova metoda. Iterační metoda prostá a třetího řádu. Řešení Keplerovy rovnice. Maticový počet a řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (opakování).Blokové matice. Normy a podmíněnost matice. Iterační metody řešení soustav. Jacobiova, Gaussova-Seidelova, gradientní metoda. Porovnání rychlosti konvergence řešení soustav. Vlastní čísla symetrických matic. Úplný a částečný problém vlastních čísel. Mocninná metoda pro extremální vlastní číslo. Interpolace a aproximace funkce jedné proměnné. Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom (opakování). Kubická spline-funkce. Aproximace spline-funkcí. Interpolační křivky. Fergusonova a Bézierova kubika, B-spline křivka.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[3] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T2

Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.

[1] Kilčevskij N.A.: Základy tenzorového počtu a jeho použití v mechanice, SNTL 1956

Matematika T4

Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.

[1] Rektorys K.: Přehled užité matematiky II, Prometheus 1995

Numerická matematika

Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.


Numerical Mathematics


Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Project - professional specialisation


Projekt - profesní zaměření


Project - Statistics

This subject follows the subject Statistics, which is taught in a winter semester. Every student will solve a larger problem from geodesy,mathematics, probability,data processing and so on, using statistical methods and software R-project.


Aplikovaná matematika


Aplikovaná matematika

Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.


Kapitoly z dějim matematiky

Antické vlivy na vývoj matematiky. Arabská matematika a zapomenuté znalosti. Úlohy čínské matematiky. Pyramidy, kalendář a matematické umění mayské kultury. Renesanční umění a matematika, počátky perspektivy, vývoj numerace. Cardano a řešení rovnic a jejich soustav (determinanty, matice, Gaussova eliminační metoda). Svět fyziky a matematika, počátky variačních principů, Keplerova rovnice, Keplerovy zákony. Vznik diferenciálního a integrálního počtu a l'Hospitalův Kurs analýzy. Analytická geometrie roviny a prostoru. Fermat a praktické aplikace teorie čísel. Matematický model pražského orloje. Od měření kruhu k číslu pi a přibližným výpočtům. Použití matematiky v architektuře. Literatura k jednotlivým tématům bude uvedena v přednáškách.

[1] Kline, M.: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford, 1990.
[2] Dieudonné, J.: Geschichte der Mathematik, 1700-1900, DVW, Berlin, 1985
[3] The Inter-IREM Commission: History of Mathematics - Histories of Problems, Ellipses, Paris, 1997

Kapitoly z vývoje numerických metod

Algoritmy pro aritmetické operace. Sumerské dělení, operace na čínském abaku. Číselné soustavy. Dvojková a počítačová aritmetika. Optimalizace výpočtů. Metoda "Regula falsi" - řešení rovnic a jejich soustav. Operace s maticemi, magickými ctverci. Eukleidův algoritmus a jeho aplikace - ekvivalence racionálních čísel - Bezoutova identita, řetězové zlomky, Eulerovo vyjádření čísla e, počet kořenů rovnice, Sturmova věta, Od měření kruhu k výpočtu pi, geometrické a analytické přístupy, použití řad. Řešení rovnic postupnými aproximacemi - Metoda Herona z Alexandrie, metoda Theona z Alexandrie, středověké binomické algoritmy. Numerická řešení rovnic - tabulky Al Tusiho, Vietova metoda, Keplerova rovnice, Bernoulliova metoda rekurentních řad, aproximace řetězovými zlomky. Horner aneb transformace polynomických rovnic. Algoritmy v teorii čísel - Eratosthenovo síto, Kriteria dělitelnosti, kvadratická residua, testy prvočíselnosti, Fermat a faktorizační algoritmy. Řešení soustav rovnic. Aproximace kvadratur. Aproximace řešení diferenciálních rovnic. Rychlost konvergence. Pro četné příklady bude využit software Mathematica.

[1] Bressoud, D., Wagon S.: A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing, Springer, New York, 2000,
[2] Chabert, J. L. et al. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip, Springer, Berlin Heidelberg, 1999.

Gröbnerovy báze

Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.

[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Kvalitativní vlastnosti dynamických sys.

Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.

[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications
[2] Jozef Bobok: Texty k přednášce, 2007.

Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Je vhodnější pro studenty zapsat si tento předmět jako YMCD, který je stejný a jsou z něho navíc započítány dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematika pro magistry

Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.

[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha, 1999.

Matematika 21 - repetitorium

Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 2.


Numerická matematika a modelování

Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.

Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody

Numerické metody v prostředí .NET

Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT

Pokročilé programování .NET

Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.

[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009

Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Matematika 12 - problémy vyšší matem.


Teorie Navierových-Stokesových rovnic


Všudypřítomné fraktály

Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.

[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.

Výběrová přednáška z matematiky


Aplikovaná matematika

V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.


Mathematical Modelling


Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematika I2

Tenzorový počet: Definice a příklady tenzorů. Tenzorová algebra a analýza. Tenzory v křivočarých souřadnicích. Aplikace tenzorů v mechanice bodů a těles.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
[2] Kilčevskij N. A.: Základy tenzorového počtu a jeho použití v mechanice, SNTL 1956

Numerické modelování


Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody

Základy informatiky

Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.

[1] Kletečka, Fořt: Autocad
[2] Doňar, Zaplatílek: Matlab pro začátečníky
[3] webové stránky předmětu

Algoritmy a zákl. numerické matematiky

Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace


Bakalářská práce


Constructive geometry

This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Diplomová práce


Diploma project


Konstruktivní geometrie

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie 1A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie a zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich anylytické vyjádření.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Mathematics 1

Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, textbook, Vydavatelství ČVUT, 2007.
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 3

Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997

Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2

Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999

Matematika 2G

Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3A

Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový a plošný integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy. Tok vektorového pole plochou, divergence. Integrální věty.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)

Matematika 4B

Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.

[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995

Matematika 4E

Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.

[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.

Matematika 4S

Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e

[1] J. Jirásko: Matematika 35 – Matematická logika, ČVUT, 1997
[2] J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984
[3] A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001

Matematika T1

Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT 2008

Matematika T3

Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.

[1] Boček L.: Tenzorový počet, SNTL 1976

Mathematics 4B

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Projekt (předdiplomní)


Projekt 2


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Analýza citlivosti a její aplikace

Analýza citlivosti – zkoumání reakce sledované veličiny na změnu vstupních parametrů matematického modelu. Analýza citlivosti u jednoduchých úloh stavební mechaniky. Aplikace v optimalizaci, identifikaci parametrů a v úlohách s nejistými vstupními daty. Matlab – nástroj pro počítačové modelování. Studenti budou numericky řešit aplikačně zaměřené problémy v prostředí Matlab, jeho předběžná znalost není podmínkou.


Konstruktivní geometrie - repetitorium

Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice. Křivky, výpočet křivostí.


Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 11 - repetitorium

Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 1.


Matematika 31 - repetitorium

Plocha jako graf funkce dvou promněných, tělesa definovaná implicitně, kvadriky, transformace souřadnic a jejich využití pro výpočet dvojných a trojných integrálů. Rovinné a prostorové křivky. Křivkové integrály prvního a druhého druhu. Aplikace vícenásobných a křivkových integrálů.,


Numerická matematika a modelování

Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.

Numerické metody v prostředí .NET


Pokročilé programování .NET


Pojistná matematika

Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).

[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi

Aplikovaná geometrie

Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.


Applied Geometry


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Mathematical Modelling


Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Matematika I1

Teorie matic. Vlastnosti symetrických matic, vlastní čísla a vlastní vektory matic. Spektrální vlastnosti matic, mocniny matic, maticové mnohočleny. Iterační metody řešení soustav.

[1] Fiedler M.: Speciální matice a jejich použití v NM, SNTL, 1981

Matematika T1

Numerická matematika Kontraktivní operátor - Banachova věta o pevném bodě, metoda postupných aproximací. Jednokrokové i vícekrokové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou. Metoda sítí pro okrajové úlohy. Odhad chyby řešení. Problém vlastních čísel. Aproximace, interpolace a splain integrální křivky řešení.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Numerické modelování


Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Ortogonální systémy funkcí

Ortogonální systémy funkcí, Fourierova řada. Systémy Legendreových a sférických funkcí. Řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích. Fourierova řada pro gravitační potenciál.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993

Ortogonální systémy funkcí


Tensor calculus

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.

[1] Heinbockel J.H.: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, ISBN 1-55369-133-4, Trafford

Tenzorový počet

Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň

Základy informatiky

Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.

[1] Kletečka, Fořt: Autocad
[2] Doňar, Zaplatílek: Matlab pro začátečníky
[3] webové stránky předmětu

Bakalářská práce


Bachelor Project


Konstruktivní geometrie 2

Plochy, výtvarné zákony ploch, geometrické vlastnosti. Zobrazení ploch v konstrukcích, přechodové plochy, prutové konstrukce. Osvětlení, technické na půdorysnu a nárysnu, osvětlení v perspektivě. Doplňková témata, průniky ploch (těles), klenby, střechy, zlatý řez, technické křivky.


Konstruktivní geometrie


Konstruktivní geometrie 1A


Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000

Mathematics 2

Anotace stejná jako 101MA2

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika 1

Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor - pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice - zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic - homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty - determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 1

Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor – pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice – zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic – homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty – determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 1

Lineární algebra a analytická geometrie Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření – báze a dimenze, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika – Gaussova eliminace. Vektorový prostor Rn. Násobení matic, soustavy algebraických rovnic, Gaussova eliminace, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné proměnné Polynomy – lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou polynomy. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu. Derivace – definice, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál.

[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 2

Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál - Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál - základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné - funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice - motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní-speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 2

Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál – Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál – základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné – funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice – motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní -speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 2

Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných Totální diferenciál – linearizace fce. Derivace vyšších řádů – Taylorův polynom. Extrém fce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.

[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy - lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3

Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy – lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3

Riemannův integrál funkce jedné a více proměnných Obdélníková a lichoběžníková metoda výpočtu integrálu, definice a vlastnosti integrálu, střední hodnota fce, fce horní meze integrálu.Metody výpočtu a aplikace integrálu. Integrální součty pro fci 2

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Lineární operátory a jejich aplikace Lineární operátory, maticová reprezentace, transformace souřadnic. Lineární, bilineární a kvadratická forma. Vlastní čísla a vektory symetrických matic, obecná rovnice elipsy a její transformace. Číselné a fikční řady Konvergence a součet řady čísel. Konvergence funkčních řad, Taylorova řada. Aplikace v geodézii.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika G1

Křivkový a plošný integrál, integrální věty v tenzorovém tvaru. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích.


Matematika T2

Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty.


Matematika T4

Ortogonální systémy funkcí, řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích, systém Legendreových polynomů, Legendreových a kulových funkcí, Fourierova řada gravitačního potenciálu Země.


Numerická matematika


Projekt - statistika


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Aplikovaná matematika


Aplikovaná matematika


Kapitoly z dějim matematiky


Kapitoly z vývoje numerických metod


Gröbnerovy báze


Kvalitativní vlastnosti dynamických sys.


Metoda časové diskretizace


Matematika pro magistry


Matematika 21 - repetitorium

Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 2.


Numerická matematika a modelování


Numerické metody


Numerické metody v prostředí .NET


Pokročilé programování .NET


Pojistná matematika


Matematika 12 - problémy vyšší matem.


Teorie Navierových-Stokesových rovnic


Všudypřítomné fraktály


Výběrová přednáška z matematiky


Aplikovaná matematika

Programování jednoduchých statistických procedur ve zvoleném počítačovém systému (Matlab, S++, R).


Metoda časové diskretizace


Matematika I2

Lineární operátory a zobrazení. Lineární operátory na vektorových prostorech, afinní a projektivní zobrazení, shodnost a podobnost v rovině a prostoru, středová kolineace. Lineární optimalizační úloha v normovaném a rovnicovém tvaru.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Numerické modelování


Numerické metody


Základy informatiky

Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.

[1] Kletečka, Fořt: Autocad
[2] Doňar, Zaplatílek: Matlab pro začátečníky
[3] webové stránky předmětu

Algoritmy a zákl. numerické matematiky

Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace


Constructive geometry

Anotace stejná jako 101KOG

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Konstruktivní geometrie


Konstruktivní geometrie 1A


Mathematics 1

Anotace stejná jako 101MA1

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 3

Anotace stejná jako 101MA3

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997

Mathematics 4

Students know mathematical models of problems in civil engineering practice and they are able to solve them by various analytical and numerical methods.


Matematika 1

Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor - pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice - zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic - homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty - determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 1

Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor – pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice – zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic – homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty – determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 1

Lineární algebra a analytická geometrie Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření – báze a dimenze, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika – Gaussova eliminace. Vektorový prostor Rn. Násobení matic, soustavy algebraických rovnic, Gaussova eliminace, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné proměnné Polynomy – lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou polynomy. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu. Derivace – definice, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál.

[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 2

Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál - Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál - základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné - funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice - motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní-speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 2

Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál – Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál – základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné – funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice – motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní -speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 2

Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných Totální diferenciál – linearizace fce. Derivace vyšších řádů – Taylorův polynom. Extrém fce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.

[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 3

Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy - lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3

Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy – lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3

Riemannův integrál funkce jedné a více proměnných Obdélníková a lichoběžníková metoda výpočtu integrálu, definice a vlastnosti integrálu, střední hodnota fce, fce horní meze integrálu.Metody výpočtu a aplikace integrálu. Integrální součty pro fci 2

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4B


Matematika 4E


Matematika 4S

Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e

[1] J. Jirásko: Matematika 35 – Matematická logika, ČVUT, 1997
[2] J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984
[3] A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001

Matematika T1

Numerická matematika. Kontraktivní operátor, Banachova věta o pevném bodě, metoda postupných aproximací. Jednokrokové i vícekrokové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou. Metoda sítí pro okrajové úlohy. Odhad chyby řešení. Problém vlastních čísel. Aproximace, interpolace, spline.


Matematika T3

Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Statistika


Stochastické metody v ŽP

Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Konstruktivní geometrie - repetitorium

Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice. Křivky, výpočet křivostí.


Matematika 11 - repetitorium

Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 1.


Matematika 31 - repetitorium

Plocha jako graf funkce dvou promněných, tělesa definovaná implicitně, kvadriky, transformace souřadnic a jejich využití pro výpočet dvojných a trojných integrálů. Rovinné a prostorové křivky. Křivkové integrály prvního a druhého druhu. Aplikace vícenásobných a křivkových integrálů.,


Numerická matematika a modelování


Numerické metody v prostředí .NET


Pokročilé programování .NET


Pojistná matematika


Aplikovaná geometrie

Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Matematika 4 - výběrová


Matematika 4

Rovnice matematické fyziky a techniky a jejich vlastnosti. Soustavy rovnic 1. a 2. řádu. Okrajové a počáteční podmínky. Klasické, variační a slabé formulace. Počítačové realizace. Fourierova, Ritzova a projekční metody. Metoda konečných a hraničních prvků. Integrální rovnice. Víceúrovňové a multigridní metody. DDM (metoda rozkladu oblasti), FETI optimalizace. Variační nerovnosti. Nesymetrické úlohy. GMRES., , , versus iterační metody řešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic. Víceúrovňové metody. Multigridní metody. DDM (metoda rozkladu oblasti), FETI Optimalizace. Variační nerovnosti. Nesymetrické úlohy. GMRES.


Matematika I1

Diferenciální geometrie křivek a ploch. Rovinné a prostorové křivky v geodézii. Lokální báze v bodě křivky a plochy. Rotace Frenetova trojhranu. Kubické křivky počítačové grafiky.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T1

Numerická matematika Kontraktivní operátor - Banachova věta o pevném bodě, metoda postupných aproximací. Jednokrokové i vícekrokové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou. Metoda sítí pro okrajové úlohy. Odhad chyby řešení. Problém vlastních čísel. Aproximace, interpolace a splain integrální křivky řešení.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Numerické modelování


Numerická matematika a modelování

Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.


Ortogonální systémy funkcí


Tenzorový počet


Základy informatiky


Advanced Mathematics 1

A survey of basic mathematical tool from calculus, linear algebra and computational methods.Initial value problems for ODE`s.Elements of PDE`s: Green’s formula, Green function. Equations of Mathematical Physics: methods of their solution and approximate solution Method of Fourier, principles of FEM.

[1] Z. Bittnar, J. Šejnoha: Numerical Methods in Mechanics. Vol. I and II.
[2] D. Braess: Finite Element Methods.
[3] P.G. Ciarlet: Introduction a l’analyse numerique matricielle et `a l’optimisation

Aplikovaná geometrie

Základy diferenciální geometrie pro geometrický popis konstrukcí, zvl. skořepin. Počítačová a výpočetní geometrie, geometrické základy pro počítačové modelování křivek a ploch. Geometrie v CAD a modelářských softwarech. Ukázky vybraných typů ploch pro architektonickou praxi – příhradové, visuté, lanové, membránové konstrukce a jejich geometrie.

[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Bakalářská práce


Constructive geometry

Anotace stejná jako 101KOG

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.

Dynamické systémy

Přednáška představuje úvod do problematiky dynamických systémů. Zabývá se základními pojmy teorie, na příkladech vysvětluje v čem spočívá tzv. chaos, co je to atraktor, jak rozumět nestabilitě systému. Obsah přednášky bude do značné míry záviset na domluvě se zájemci.

[1] Medveď M. Dynamické systémy VEDA, Bratislava, 1988
[2] Hasselblatt B., Katok A. Introduction to the Modern Theory of Dynamocal Systems Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995
[3] Broer H.W., Dumortier F., van Strien S.J., Takens F. Structures in Dynamics (finite dimensional deterministic studies) Nort-Holland Elsevier Science Publisher B.V., Amsterdam, 1991.

Konstruktivní geometrie 10

Promítací metody: Axonometrie, typy axonometrií, přímé metody, zářezová metoda. Kótované promítání a jeho vybrané aplikace. Skicování. Perspektiva. Transformace v rovině a v prostoru: Základní typy transformací a jejich popis. Aplikace 2D transformací na modelování mozaik, parketáží, 2.5 D a 3D modelování těles a ploch. Křivky a plochy technické praxe: Příklady technických křivek, šroubovice. Vybrané typy ploch: rotační plochy, kvadratické plochy, šroubové plochy, příklady přímkových ploch. Užití ploch v praxi. Vytváření kompozic ploch a jejich modelování.

[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.

Konstruktivní geometrie 2


Konstr.geometrie 21 (Deskriptivní geometrie)

Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného a šikmého snímku. Osvětlení a jeho základní principy. Technické osvětlení s aplikacemi. Plochy stavební praxe, přímkové rozvinutelné a zborcené plochy, šroubové plochy, translační plochy. Zastřešení. Semestrální práce.

[1] Černý J., Kočandrlová M. Konstruktivní geometrie ČVUT Praha, 1998
[2] Černý J., Kočandrlová M. Konstruktivní geometrie 10 ČVUT Praha, 2000
[3] Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces CRC Press, 1993

Konstruktivní geometrie 22

Technické křivky a jejich příklady. Modelování křivek na počítači. Křivky v počítačové grafice - parametrické kubiky, Bezierovy křivky, B-spline křivky, NURBSy. Plochy v technické praxi a jejich modelování pomocí software Mathematica. Interpolační a aproximační plochy.

[1] Granát L., Sechovský H. Počítačová grafika SNTL Praha, 1980
[2] Žára J. Počítačová grafika - principy a algoritmy Grada, 1992
[3] Schapper R. Grafik mit Mathematica Addison Wesley, 1994

Základy analýzy v komplexním oboru

Cílem přednášky je seznámit studenty se základy analýzy v komplexním oboru a to zejména s vlastnostmi komplexnich čísel C, se základními komplexními funkcemi, jejich derivacemi, křivkami v C, křivkovým integrálem. Obsahem přednášky budou dále holomorfní funkce, mocninné a Laurentovy řady.

[1] Černý Ilja Základy analýzy v komplexním oboru Academia, Praha 1967
[2] Rudin Walter Analýza v reálném & komplexním oboru Academia, Praha 1977

Konstruktivní geometrie


Konstruktivní geometrie

Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.

[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000

Konstruktivní geometrie l

Promítací metody: Axonometrie, typy axonometrií, přímé metody, zářezová metoda. Kótované promítání a jeho vybrané aplikace. Skicování. Perspektiva.Principy osvětlení.Transformace v rovině a v prostoru: Základní typy transformací a jejich popis. Aplikace 2D transformací na modelování mozaik, parketáží, 2.5 D a 3D modelování těles a ploch. Křivky a plochy technické praxe: Příklady technických křivek, šroubovice.Vybrané typy ploch a vybrané problémy užití ploch v praxi (např. průniky, klenby, zastřešení, schodiště).

[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.

Konstruktivní geometrie 2

Principy geometrického osvětlení: Osvětlení v promítacích metodách, osvětlení dutin. Technické osvětlení na vodorovnou a svislou rovinu. Osvětlení architektonických prvků a osvětlení interieru. Plochy: Vytvořující principy vybraných ploch architektonické praxe. Prostředky modelování křivek a ploch v softwarech. Semestrální projekt – komplexní geometrický návrh kompozice.

[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne, E., Klix, W., D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.

Mathematics

Anotace stejná jako 101MAMC

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Matematika

Rovnice matematické fyziky a techniky. Eliptické rovnice.Parabolické rovnice. Hyperbolické rovnice. Soustavy rovnic 1. a 2. řádu. Okrajové a počáteční podmínky. Klasické, variační a slabé formulace. Počítačové realizace. Fourierova metoda. Ritzova metoda. Projekční metody. Metoda konečných prvků. Metoda hraničních prvků. Integrální rovnice. Algebraické úlohy vniklé diskreditací okrajových a počátečních úloh metodou konečných prvků. Symetrické a pozitivně definitivní soustavy. Přímé versus iterační metody řešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic.

[1] K. Rektorys: Variační metody
[2] K. Rektorys: Metoda časové diskreditace
[3] Z. Bittnar: Metoda konečných prvků v dynamice konstrukcí

Matematika

Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu a jejich aplikace v technických úlohách. Okrajové úlohy pro diferenciální rovnice 2. řádu, vlastní čísla a vlastní funkce vybraných diferenciálních operátorů, průhyb zatíženého prutu namáhaného na vzpěr. Fourierovy řady. Základy variačních metod. Parciální diferenciální rovnice 2. řádu, rovnice desek, nosných stěn, rovnice vedení tepla, rovnice kmitů struny. Průběh teploty v izolované tyči, jejíž konce jsou udržovány na dané teplotě. Přibližné řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic ve stavebně-technických problémech metodou sítí.

[1] Ralston A.: Základy numerické matematiky, Academia Praha 1973
[2] Rektorys K a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus Praha 1995
[3] Edit. by Will Light: Advances in Numerical Analysis, Clarendon Press

Matematika

Základy teorie grafů: Pojem grafu, příklady použití grafů, druhy popisu grafů. Úlohy řešitelné v polynomiálně omezeném čase, cesty v grafech, kostry grafu,toky v sítích, párování, přiřazovací úloha. Prohledávání grafu, Eulerovské grafy, rovinné grafy. Nezávislost grafů, barevnost grafů, Hamiltonovské cesty a kružnice, problém obchodního cestujícího, heuristické metody. Petriho sítě a modelování systémů. Aplikace v ekonomických úlohách. Základy teorie fuzzy množin Fuzzy množiny – základní pojmy, operace s fuzzy množinami, fuzzy relace a jejich aplikace v ekonomickém rozhodování.

[1] J. Demel: Grafy, SNTL, 1988
[2] V. Novák: Fuzzy množiny a jejich aplikace, SNTL, 1986
[3] P. Fiala, J. Jablonský, M. Maňas: Vícekriteriální rozhodování, VŠE, 1994

Matematika

Základy teorie grafů: Pojem grafu, příklady použití grafů, druhy popisu grafů. Úlohy řešitelné v polynomiálně omezeném čase, cesty v grafech, kostry grafu,toky v sítích, párování, přiřazovací úloha. Prohledávání grafu, Eulerovské grafy, rovinné grafy. Nezávislost grafů, barevnost grafů, Hamiltonovské cesty a kružnice, problém obchodního cestujícího, heuristické metody. Petriho sítě a modelování systémů. Aplikace v ekonomických úlohách. Základy teorie fuzzy množin Fuzzy množiny – základní pojmy, operace s fuzzy množinami, fuzzy relace a jejich aplikace v ekonomickém rozhodování.

[1] J. Demel: Grafy, SNTL, 1988
[2] V. Novák: Fuzzy množiny a jejich aplikace, SNTL, 1986
[3] P. Fiala, J. Jablonský, M. Maňas: Vícekriteriální rozhodování, VŠE, 1994

Užití programu MAPLEV při řešení difer.rovnic

inž.praxe Základní znalosti o použití programu MAPLE V. Grafické možnosti programu MAPLE V. Řešení soustavy algebraických rovnic. Příklady úloh z mechaniky vedoucí na parciální diferenciální rovnice (např. stabilita konstrukcí, transport tepla a vlhkosti, šíření vln v pružném prostředí). Řešení (s použitím programu MAPLE V) některých statických úloh pomocí variačních a jiných metod. Vlastní kmity konstrukcí (pruty, desky). Časově závislé úlohy a jejich řešení. Fourierova metoda, Galerkinova metoda a další.

[1] Gardner W., Hřebíček J. Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and Matlab Springer, 1997
[2] Heck A. Introduction to Maple Springer, 1996
[3] Wylie C.R,Jr. Advanced Engineering Mathematics McGraw-Hill Book Company, 1960

Mathematics 1

Anotace stejná jako 101MA1

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 2

Anotace stejná jako 101MA2

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 3

Anotace stejná jako 101MA3

[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997

Výběrová matematika

Předmět je určen studentům se zájmem o hlubší znalosti matematiky a matematických metod, které v základním kurzu jsou obsaženy jen informativně a které odborně koncipují inženýry pro budoucí vědecko-výzkumnou práci. Součástí předmětu je podrobnější teoretický základ, důkazy vybraných matematických vět, technicky zaměřené úlohy a jejich analýza. Detailní obsah může být přizpůsoben zaměření a zájmu přihlášených. Pro zájemce může být předmět ukončen též zkouškou.

[1] Budinský, B., Charvát Matematika I
[2] Budinský, B., Charvát, J Matematika II

Matematika 1

Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor - pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice - zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic - homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty - determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 1

Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor – pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice – zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic – homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty – determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 1

Lineární algebra a analytická geometrie Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření – báze a dimenze, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika – Gaussova eliminace. Vektorový prostor Rn. Násobení matic, soustavy algebraických rovnic, Gaussova eliminace, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné proměnné Polynomy – lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou polynomy. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu. Derivace – definice, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál.

[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 2

Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál - Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál - základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné - funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice - motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní-speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 2

Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál – Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál – základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné – funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice – motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní -speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 2

Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných Totální diferenciál – linearizace fce. Derivace vyšších řádů – Taylorův polynom. Extrém fce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.

[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 22 (Kapitoly z dějin matematiky)

Geometrie, zeměměřictví a stavitelství v nejstarších civilizacích. Matematika v raném Řecku a v době rozkvětu Alexandrie. Matematika ve středověku a v době renesance. Význam symboliky při řešení rovnic (Descartes, Newton). Počátky analytické geometrie. Počátky numerické matematiky. Vznik determinantů, číselné soustavy. Diferenciální rovnice v 18. století. Vznik deskriptivní geometrie. Lineární algebra a vznik teorie matic v 19. století. Analýza v 19. století. Aplikace historických metod v současnosti.

[1] Kline M. The Mathematical Thought from Ancient to Modern Times NY 1972
[2] Stillwell J. Mathematics and Its History Springer NY, 1989
[3] C'Connor J., Robertson E. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html

Matematika 3

Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy - lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R.,Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3

Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy – lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.

[1] B. Budinský, J. Charvát: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[3] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998

Matematika 3

Riemannův integrál funkce jedné a více proměnných Obdélníková a lichoběžníková metoda výpočtu integrálu, definice a vlastnosti integrálu, střední hodnota fce, fce horní meze integrálu.Metody výpočtu a aplikace integrálu. Integrální součty pro fci 2

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 30

Dvojný integrál. Trojný integrál. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Podle oboru dále číselné a funkční řady, aproximace funkce - interpolace, metoda nejmenších čtverců, spline funkce. Fourierovy řady. Numerické řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice.

[1] Budinský B., Charvát J. Matematika II SNTL, 1990
[2] Vospěl Z. Numerická analýza a programování II ČVUT Praha, 1988
[3] Charvát J., Hála M., Kelar V., Šibrava Z. Příklady k Matematice II ČVUT Praha, 1992

Matematika 31

Lineární operátory - operátory na vektorových prostorech se skalárním součinem, aplikace ve vyrovnávacím počtu, transformace geodetických a astronomických soustav souřadnic. Lineární, bilineární a kvadratická forma - elipsa chyb.

[1] Naylor W., Sell G.R. Teória lineárnych operátorov v technických a prírodných vedách Alfa Bratislava, 1981
[2] Sekanina M., Boček L., Kočandrle M., Šedivý J. Geometrie II SPN, 1984

Matematika 33 (Aplikovaná matematika)

Dvojný a trojný integrál přes uzavřený interval a jeho užití ve fyzice a mechanice. Gradient, divergence, rotace. Symbolické operátory. Konzervativní vektorové pole. Potenciál. Tenzory, početní operace s tenzory. Tenzorové pole. Užití tenzorů v technických výpočtech.

[1] Škrášek, Tichý Základy aplikované matematiky II SNTL Praha, 1980
[2] Madelung Matematika pre fyzikov Alfa Bratislava 1985
[3] Arsenin Matematická fyzika Alfa Bratislava, 1987

Matematika 35 (Matematická logika)

V tomto předmětu se posluchači seznámí se sémantikou a syntaxí výrokové logiky a predikátové logiky prvního řádu, základy universální algebry a teorie modelů a základy teorie Boolových algeber a Boolových funkcí a jejich aplikací. Dále jsou pojednány otázky úplnosti a kompaktnosti predikátorové logiky, mechanizace dokazování a rozhodnutelnosti.

[1] Jirásko J. Matematika 35, Matematická logika ČVUT Praha, 1997

Matematika 4

Lineární operátory a jejich aplikace Lineární operátory, maticová reprezentace, transformace souřadnic. Lineární, bilineární a kvadratická forma. Vlastní čísla a vektory symetrických matic, obecná rovnice elipsy a její transformace. Číselné a fikční řady Konvergence a součet řady čísel. Konvergence funkčních řad, Taylorova řada. Aplikace v geodézii.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 4

Rovnice matematické fyziky a techniky Klasifikace rovnic 2. a 4. řádu. Greenova formule, Greenova funkce. Vlastnosti rovnic MFT. Eliptické rovnice.Parabolické rovnice. Hyperbolické rovnice. Soustavy rovnic 1. a 2. řádu. Okrajové a počáteční podmínky. Klasické, variační a slabé formulace. Počítačové realizace. Fourierova metoda. Ritzova metoda. Projekční metody. Metoda konečných prvků. Metoda hraničních prvků. Integrální rovnice. Algebraické úlohy vniklé diskreditací okrajových a počátečních úloh metodou konečných prvků. Symetrické a pozitivně definitivní soustavy. Přímé versus iterační metody řešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic. Víceúrovňové metody. Multigridní metody. DDM (metoda rozkladu oblasti), FETI Optimalizace. Variační nerovnosti. Nesymetrické úlohy. GMRES. Volné téma. Rezerva.

[1] Z. Bittnar, J. Šejnoha: Numerické metody mechaniky
[2] K. Rektorys: Metoda časové diskreditace
[3] K. Rektorys: Variační metody

Matematika 4

Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e

[1] J. Jirásko: Matematika 35 – Matematická logika, ČVUT, 1997
[2] J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984
[3] A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001

Matematika 41

Základy diferenciální geometrie křivek - rotace Frenetova trojhranu křivky, elementy drah družic a družicocentrické souřadnice. Základy diferenciální geometrie ploch - vektorová pole na ploše, 1. a 2. tenzor plochy a kovariantní derivace na ploše, geometrie referenčního elipsoidu.

[1] Kočandrle M. Diferenciální geometrie SPN, 1997
[2] Vanýsek V. Základy astronomie a astrofyziky Academia, 1980

Matematika 42 (Diferenciální rovnice)

Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Numerické metody řešení. Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami. Problém vlastních čísel. Metoda sítí pro výpočet přibližného řešení okrajové úlohy a pro přibližný výpočet vlastních čísel. Základy funkcionální analýzy, prostor L2(a,b), ortogonální a ortonormální systém funkcí. Parciální diferenciální rovnice vyskytující se ve stavebně inženýrských problémech. Fourierovy řady. Variační metody.

[1] Vospěl Z. Numerická analýza a programování II ČVUT Praha, 1988
[2] Rektorys K. Matematika V ČVUT Praha, 1989
[3] Bubeník F., Pultar M., Pultarová I. Matematické vzorce a metody ČVUT Praha, 1997

Matematika 43 (Diferenciální rovnice)

Fourierovy řady. Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami. Problém vlastních čísel. Metoda sítí pro výpočet přibližného řešení okrajové úlohy a pro přibližný výpočet vlastních čísel. Prostor L2(a,b), ortogonální a ortonormální systém funkcí. Parciální diferenciální rovnice vyskytující se ve stavebně inženýrských problémech a některé metody jejich řešení (zejména Ritzova metoda a metoda konečných prvků).

[1] Rektorys K. Solving Ordinary and Partial Boundary Value Problems of Science and Engineering CRC Press LLC, 1999
[2] Rektorys K. a kol. Přehled užité matematiky Praha, 1995
[3] Marčuk G.I. Metody numerické matematiky (vybrané kapitoly) Praha 1987

Matematika 44 (Numerická matematika)

Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy numerické analýzy. Součástí předmětu jsou i hlavní výsledky funkcionální analýzy, ze kterých jsou numerické algoritmy odvozeny. Posluchači jsou v průběhu semestru seznámeni se základními metodami numerické algebry, numerickým řešením obyčejných i parciálních diferenciálních rovnic a numerickou integrací. Posluchači se dále seznámí s některými matematickými solvery.

[1] Vospěl Z. Numerická analýza a programování II ČVUT Praha, 1988
[2] Vitásek E. Numerické metody SNTL, 1987
[3] Wolfram S. Mathematica Addison - Weisley Publishing Company, 1991

Matematika 48 (MATHEMATICA v příkladech)

Seznámení s progranem MATHEMATICA a jeho využití pro řešení úloh ze základního kursu matematiky. Pomocí programu MATHEMATICA se budou řešit tradiční úlohy z historie matematiky různými metodami. Výhody a nevýhody použití počítače při řešení problémů matematického charakteru.

[1] Abell M., Braselton J. Mathematica By Example Academie Press, Boston, N.Y., 1993
[2] Gray T., Glynn J. Exploring Mathematics with Mathematica Addison-Wesley Reddwood City, 1991

Matematika 49 (Pojistná matematika)

Opakování základů finanční matematiky. Principy životního pojištění - úmrtnostní tabulky, komutační čísla, výpočet nettopojistného a bruttopojistného, pojistná rezerva. Základní pojmy škodního pojištění.

[1] Cipra T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou Edice HZ, Praha 1995
[2] Cipra T. Pojistná matematika v praxi Edice HZ, Praha 1994

Matematika 5: (výběrový předmět)


Matematika 51

Vektorové prostory nekonečnědimenzionální, ortogonální systémy funkcí, Schmidtův ortogonalizační proces, systém Legendreových polynomů a sférických funkcí, Fourierova řada.

[1] Vlach M. Úvod do funkcionální analýzy UK Praha, 1967
[2] Burša M., Karský G., Kostelecký J. Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země Academia, 1993

Matematika 52

Vektorové prostory nekonečnědimenzionální, ortogonální systémy funkcí, Schmidtův ortogonalizační proces, systém Legendreových polynomů a sférických funkcí, Fourierova řada.

[1] Vlach M. Úvod do funkcionální analýzy UK Praha, 1967
[2] Burša M., Karský G., Kostelecký J. Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země Academia, 1993

Matematika 53 (Numerická analýza)

Předmět se zabývá základními numerickými metodami, jako jsou metody: řešení soustav lineárních rovnic, řešení soustav nelineárních rovnic, aproximací funkcí, řešení diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou, výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů matic, kmitání mechanických soustav (tj. řešení zobecněných vlastních problémů). MA53 vyplňuje mezeru v základním kurzu matematiky a dává matematický aparát pro řešení úloh statiky, dynamiky, mechaniky aj.

[1] Marek I., Mayer P., Sekerka B. Úvod do numerické matematiky Text prezentován na www stránkách FSv ČVUT
[2] Rektorys K. Matematika 43 Obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami ČVUT Praha 1997

Matematika 56

Vektorové prostory nekonečnědimenzionální, ortogonální systémy funkcí, Schmidtův ortogonalizační proces, systém Legendreových polynomů a sférických funkcí, plošný integrál a integrální věty, Fourierova řada.

[1] Vlach M. Úvod do funkcionální analýzy UK Praha, 1967
[2] Burša M., Karský G., Kostelecký J. Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země Academia, 1993
[3] Pachová Z., Frey T. Vektorová a tenzorová analýza SNTL, 1964

Matematika 6: (výběrový předmět)


Matematika 61

Diferenciální geometrie ploch - geodetické křivky a geodetické zobrazení, ekvivalence ploch, kartografická zobrazení sféry.

[1] Kočandrle M. Diferenciální geometrie SPN, 1997
[2] Pyšek J. Matematická kartografie ZČU, 1995

Matematika 62

Diferenciální geometrie ploch - geodetické křivky a geodetické zobrazení, ekvivalence ploch, kartografická zobrazení sféry.

[1] Kočandrle M. Diferenciální geometrie SPN, 1997
[2] Pyšek J. Matematická kartografie ZČU, 1995

Matematika 66

Diferenciální geometrie ploch - geodetické křivky a geodetické zobrazení, ekvivalence ploch, kartografická zobrazení sféry, vnější formy na ploše, geometrické principy fotografických a radiotechnických metod pozorování.

[1] Kočandrle M. Diferenciální geometrie SPN, 1997
[2] Pyšek J. Matematická kartografie ZČU, 1995
[3] Tiščenko A.P. Geometričeskije metody kosmičeskoj geodezii Nauka, 1971

Matematika 76

Vektorová analýza - skalární a vektorová pole, diferenciální operátory (gradient, divergence, rotace, Laplace). Tenzorová analýza - tenzorové pole, divergence, derivace, integrální věty.

[1] Pachová Z., Frey T. Vektorová a tenzorová analýza SNTL, 1964
[2] Kučera B. Základy mechaniky tuhých těles JČMF, 1921

Matematika 86

Ortogonální lineární operátory, samoadjugované zobrazení a symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory operátoru, extrémy kvadratické formy na jednotkové sféře.

[1] Vlach M. Úvod do funkcionální analýzy UK Praha, 1967

Matematika 96

Základy počítačové grafiky - fraktální geometrie, soběpodobnost a Hausdorffova míra. Interpolační a aproximační křivky a plochy počítačové grafiky.

[1] Drs L. Plochy ve výpočetní technice SNTL, 1984
[2] Žára J., Beneš B., Felkel J. Počítačová grafika Grada, 1998

Matematika G1


Matematika T2


Matematika T4


Řešení mat. úloh programem MATLAB

Základy práce s programem MATLAB, jeho matematické a grafické funkce. Využití MATLAB pro řešení složitějších úloh - soustavy rovnic, optimalizace, přibližné řešení diferenciálních rovnic.

[1] Using MATLAB, Version 5 The MatWorks, Inc.; 1996

Mathematics 30

The course includes integral calculus of functions of several variables with applications to geometry and physics, elements of functional analysis and the theory of approximations and interpolations of functions.

[1] Bubeník F. Mathematics for Engineers ČVUT Praha, 1997

Mathematics 42

The course includes methods of the solving of the initial value problem for systems of linear differential equations, elements of Laplace transform and its application to the initial value problem, methods of numerical analysis to the solution of the initial value problem and variational methods for the boundary value problem for ordinary and partial differential equations.

[1] Bubeník F. Mathematics for Engineers ČVUT Praha, 1997
[2] Pták P. Calculus II ČVUT Praha, 1994

Pravd?podobnost a matematická statistika


Pravděpodobnost a matematická statistika

Pojem pravděpodobnosti, nezávislost jevů, náhodná veličina a její charakteristiky, diskrétní a spojité rozdělení, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, náhodný vektor, generování náhodných čísel, metoda Monte Carlo, popisné statistiky základního souboru, odhadování parametrů, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.

[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pojem pravděpodobnosti, nezávislost jevů, náhodná veličina a její charakteristiky, diskrétní a spojité rozdělení, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, náhodný vektor, popisné statistiky základního souboru, princip statistické inference, odhadování parametrů, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.

[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997

Pravděpodobnost a matematická statistika 11

Pojem pravděpodobnosti, nezávislost jevů, náhodná veličina a její charakteristiky, diskrétní a spojité rozdělení, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, náhodný vektor, popisné statistiky základního souboru, odhadování parametrů, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese, vícerozměrná lineární regrese, aplikace na problém konkrétního statistického šetření.

[1] Jarušková D. Matematická statistika ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky ČVUT Praha, 2000

Pravděpodobnost a matematická statistika 12

Pojem pravděpodobnosti, nezávislost jevů, náhodná veličina a její charakteristiky, diskrétní a spojité rozdělení, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, náhodný vektor, popisné statistiky základního souboru, odhadování parametrů, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese, vícerozměrná lineární regrese, aplikace na problém konkrétního statistického šetření, generování náhodných veličin, metody Monte Carlo.

[1] Jarušková D. Matematická statistika ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky ČVUT Praha, 2000

Pravděpodobnost a mat. statistika 13

Úvod do teorie pravděpodobnosti - pojem pravděpodobnosti, podmíněnost, nezávislost, náhodná veličina diskrétní a spojitá. náhodné vektory. Úvod do matematické statistiky - popisná statistika, odhadování parametrů, testování hypotéz, přejímací postupy, testy dobré shody, analýza rozptylu - jednoduché třídění, regresní metody.

[1] Jarušková D. Matematická statistika ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika 12 Příklady ČVUT Praha, 1998

Programming 21

Introduction to visual object-oriented programming. Elements of the programming language: assignment statement, variables and expressions, simple data types, output and input, conditional statements, loops, etc. Creating, developing and debugging of a program in Visual Basic.

[1] John Smiley Learn to Program with Visual Basic 6 Active Path, 1998
[2] Microsoft Corporation Microsoft Visual Basic 6.0 Programmer's Guide Microsoft Press, 1998

Stochastické modely v ŽP

Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí, s kterými se vyučující setkali, ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)

[1] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997

Aplikovaná matematika


Matematika 21 - repetitorium


Numerická matematika a modelování


Matematika 12 - problémy vyšší matem.


Aplikovaná matematika


Advanced Mathematics 2

Numerical methods: Numerical Algebra, linear systems, eigenvalue problems Initial value problems Boundary value problems Variational formulations Saddle point formulations

[1] I. Marek Numerical Methods for Applied Sciences
[2] K. Rektorys Variational Methods in Science, Mathematical Phyzsics and Engineering
[3] J. Stoer, R. Bulirsch Introduction to Numerical Mathematics

Konstruktivní geometrie - repetorium


Matematika G1

Křivkový a plošný integrál, integrální věty v tenzorovém tvaru, Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika G2

Úvod do teorie komplexní proměnné. Derivace, diferenciál, potenciál, Cauchyovy-Riemannovy podmínky, konformní zobrazení.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika I1

Diferenciální geometrie křivek a ploch. Rovinné a prostorové křivky v geodézii. Lokální báze v bodě křivky a plochy. Rotace Frenetova trojhranu. Kubické křivky počítačové grafiky.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika I2

Lineární operátory a zobrazení. Lineární operátory na vektorových prostorech, afinní a projektivní zobrazení, shodnost a podobnost v rovině a prostoru, středová kolineace. Lineární optimalizační úloha v normovaném a rovnicovém tvaru.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematické metody v mechanice kapalin


Matematické metody ve vodním hospodářství


Matematika T1

Numerická matematika Kontraktivní operátor - Banachova věta o pevném bodě, metoda postupných aproximací. Jednokrokové i vícekrokové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou. Metoda sítí pro okrajové úlohy. Odhad chyby řešení. Problém vlastních čísel. Aproximace, interpolace a splain integrální křivky řešení.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T2

Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T3

Funkcionální analýza I. Operátory na metrických prostorech. Operátorové rovnice - vlastní čísla operátorů. Kontraktivní operátory a Banachova věta, numerické řešení celého problému vlastních čísel. Úvod do teorie funkce jedné proměnné, Cauchyovy-Riemannovy podmínky, konformní zobrazení.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T4

Funkcionální analýza II. Ortogonální systémy funkcí, řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích, systém Legendreových a kulových funkcí, Fourierova řada.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika T5

Základy variačního počtu. Elementární řešení extremálních úloh, metoda variací, podmíněný extrém, minimaxová teorie vlastních hodnot.

[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 11 - repetitorum CAU


Matematika 12 - problémy vyšší matem.


Matematika 21 - repetitorum CAU


Pravděpodobnost a matematická statistika

Popisná statistika, princip statistické inference, spojitá náhodná veličina a její charakteristiky, normální rozdělení, teorie odhadu. Aplikace statistických metod pro spolehlivost konstrukcí.

[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000

Pravděpodobnost a matematická statistika

Popisná statistika, princip statistické inference, spojitá náhodná veličina a její charakteristiky, normální rozdělení, teorie odhadu. Aplikace statistických metod pro spolehlivost konstrukcí.

[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000

Pravděpodobnost a matematická statistika

Základy pravděpodobnosti. Popisná statistika, spojitá náhodná veličina a její charakteristiky, normální rozdělení, teorie odhadu. Aplikace statistických metod ve vodním hospodářství.

[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000

Základy informatiky

Základní seznámení s prací na osobních počítačích, možnosti jejich využití v rámci studia. Základní orientace v hardware. Uživatelské rozhraní operačního systému. Služby sítě Internet: elektronická pošta, přenos souborů, vzdálené připojení, WWW. Základy tvorby webových stránek.Tvorba technického textu. Tabulkový procesor (např. MS Excel): tabulkové operace, funkce, grafy, technické výpočty, databázové zpracování informací, tvorba maker. Matematický software (např. Mathematica, Maple, Matlab): symbolické výpočty (derivování, integrování, řešení rovnic a soustav lineárních rovnic,...), numerické výpočty, 2D a 3D grafy. Základy algoritmizace a programování jednoduchých technických úloh.

[1] Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998.
[2] Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999.
[3] I. Pultarová, M. Pultar: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000

Základy informatiky


Základy informatiky

Základní seznámení s prací na osobních počítačích, možnosti jejich využití v rámci studia. Základní orientace v hardware. Uživatelské rozhraní operačního systému. Služby sítě Internet: elektronická pošta, přenos souborů, vzdálené připojení, WWW. Základy tvorby webových stránek.Tvorba technického textu. Tabulkový procesor (např. MS Excel): tabulkové operace, funkce, grafy, technické výpočty, databázové zpracování informací, tvorba maker. Matematický software (např. Mathematica, Maple, Matlab): symbolické výpočty (derivování, integrování, řešení rovnic a soustav lineárních rovnic,...), numerické výpočty, 2D a 3D grafy. Základy algoritmizace a programování jednoduchých technických úloh.

[1] Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998.
[2] Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999.
[3] I. Pultarová, M. Pultar: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000

Základy informatiky 21

Programovací jazyk, algoritmus. Základní prvky jazyka. Příkazy vstupu a výstupu. Řídící struktury, booleovské výrazy, podmíněné příkazy, iterační příkazy. Soubory. Funkce. Ukazatelé. Jednorozměrná a vícerozměrná pole, řetězce. Praktická realizace jednoduchých algoritmů na počítači. Základní algoritmy: algoritmy třídění, maticové operace, nulový bod funkce, numerická integrace, atd.

[1] Koníčková J. Programování 21. Programování v jazyce C a C++ ČVUT Praha, 1998

Základy informatiky 32 (Program. v C++)

Základy jazyka C++ a C#. Principy objektového programování. Distribuované aplikace. Internetové .NET aplikace.

[1] Guy Eddon, Henry Eddon Inside COM+ Base services Microsoft Press, 1999
[2] Stephen Mohr Designinig Distributed Application WROX, 1999
[3] George Shepherd, Brad King Inside ATL Microsoft Press, 1999

Základy informatiky 36 (Textový editor WORD)

Tvorba dokumentů profesionálního vzhledu, využití kvalitního a estetického proporcionálního písma, formátování textu, umisťování dalších objektů (obrázků, tabulek), práce se dvěma dokumenty.

[1] Šimek T., Vacek J. Word Computer Press Brno, Praha 1997
[2] Daněček J. Dejte inteligenci svým WWW stránkám Profess Praha, 1999
[3] Březina, Petrová Word 6.0, prův. text. procesorem Ccomp Praha, 1994

Zákl.informatiky 37 (Oper.systém WINDOWS NT)

Základy práce se systémem. Struktura sítě Windows 2000. Adresářové služby. Aplikace .NET v prostředí Windows 2000.

[1] Windows 2000 Professional Resource Kit Microsoft Press, 2000
[2] William J. Pardi XML in Action Web Technology Microsoft Press, 1999
[3] Dostálek L., Kabelová A. Velký průvodce protokoly TCP/IP a systém DNS Computer Press, Praha 1999

Zákl.informatiky 39 (MATHEMATICA v MA10)

Posluchači se seznámí s programem MATHEMATICA a užitím tohoto programu při řešení úloh, které jsou náplní základního kurzu matematiky jako jsou např. grafy funkcí, výpočty limit, derivací, integrálů, řešení základních úloh lineární algebry atd.

[1] Wolfram S. Mathematica Addison - Wesley Publishing Company, 1991

 

Zpět na:
Stránku ČVUT
Stránku fakulty
Seznam kateder

Problémy, připomínky a doporučení směrujte prosím na
webmaster@fsv.cvut.cz