CTU

České vysoké učení technické v Praze

Fakulta stavební

K 101 - Katedra matematiky

Předměty aktuálního semestru -- letní 2016/17

přejděte na archiv


semestr letní 2016/17


Aplikovaná matematika

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.


Advanced Mathematics for Engineers with Applications

This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.

[1]  References:
[2]  [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3]  2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4]  [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5]  Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6]  [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7]  Springer, Berlin, 1994.
[8]  [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9]  [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10]  [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11]  [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.

Aplikovaná matematika I

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika a numerické metody

Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.


Aplikovaná matematika a numerické metody I

Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.


Aplikovaná matematika a numerické metody II

Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.


Aplikovaná matematika a numerické metody III

Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.


Aplikace funkcionální analýzy

Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.


Diferenciální geometrie I

Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.


Dynamické systémy

Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.


Variační metody řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic řádu 2k

Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.


Fraktální geometrie


Matematická statistika

Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab


Matematika (vybrané statě)

Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".


Metrické a lineární prostory

1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.


Matematické struktury

Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.


Matematická statistika

Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.


Matematická statistika I

1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.

[1]  Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.

Matematická statistika II

1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.

[1]  Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[2]  
[3]  doplňkové materiály

Mathematics for Applications+Numerical Methods 2

Numerical methods of numerical linear algabra and analysis


Mathematic Statistics 2

Advanced mathematical statistics with engineering applications

[1]  Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2]  Duxbury

Numerické metody

Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.


Numerické metody v nelineární pružnosti

Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.


Objektové programování - .NET

Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.


Obyčejné a parciální diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.


Praktikum numerických metod - MATLAB

MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.


Softwarové zabezpečení výpočetní techniky

Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.


Vektorový a tenzorový počet

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.

[1]  1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974

Vysoce výkonné metody pro vědecko-technické výpočty

Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Diplomový seminář


Projekt


Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3]  Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3]  Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.

Konstruktivní geometrie

Kótované promítání, ortografická projekce. Axonometrie. Kosoúhlé promítání.Gnómonická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy.

[1]  Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 2004
[2]  Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3]  Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000.

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál

[1]  Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]  Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006

Matematika 1

Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.

[1]  Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.

[1]  Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3]  Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1]  O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2]  D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3]  D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 2G

Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných. Totální diferenciál, linearizace funkce. Derivace vyšších řádů. Taylorův polynom. Extrémy funkce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Funkce dvou proměnných, vrstevnice, grafy. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál, linearizace funkce. Taylorův polynom 2. stupně, graf. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.

[1]  Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.

Matematické metody v řízení


Probability and Statistics


Methods of Time Discretization

The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.


Mathematics 1

This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 2

1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994

Mathematics 4B

1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.

[1]  [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2]  [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3]  [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1]   Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]   Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3]   Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1]  Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2]  Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004, http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Numerical Methods

The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.


Projekt - statistika

Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.


Pravděpodobnost a matem. statistika

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.

[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.

Algoritmy a základy numerické matem.

Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.


Matem. metody ve fyz. geodézii 2

Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.

[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.

Matematické metody ve fyzikální geodézii 3


Konstruktivní geometrie - repetitorium A

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 21 - repetitorium G

Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.

[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Matematika 2 - repetitorium

Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.

[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).

Seminář k Matematice 2

Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.

[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.

Metoda časové diskretizace

Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).

[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.

Matematická statistika pro techniky

Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.

[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT

Numerické metody

Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody

 

Zpět na:
Stránku ČVUT
Stránku fakulty
Seznam kateder

Problémy, připomínky a doporučení směrujte prosím na
webmaster@fsv.cvut.cz