CTU

České vysoké učení technické v Praze

Fakulta stavební

K 101 - Katedra matematiky

Předměty aktuálního semestru -- zimní 2017/18

přejděte na archiv


semestr zimní 2017/18


semestr letní 2016/17


Aplikovaná matematika I

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika II

Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.


Aplikovaná matematika a numerické metody

Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.


Aplikovaná matematika a numerické metody I

Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.


Aplikovaná matematika a numerické metody II

Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.


Aplikovaná matematika a numerické metody III

Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.


Aplikace funkcionální analýzy

Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.


Diferenciální geometrie I

Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.


Dynamické systémy

Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.


Variační metody řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic řádu 2k

Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.


Fraktální geometrie


Matematická statistika

Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab


Matematika (vybrané statě)

Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".


Metrické a lineární prostory

1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.


Matematické struktury

Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.


Matematická statistika

Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.


Matematická statistika I

1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.

[1]  Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.

Matematická statistika II

1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.

[1]  Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[2]  
[3]  doplňkové materiály

Numerické metody

Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.


Numerické metody v nelineární pružnosti

Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.


Objektové programování - .NET

Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.


Obyčejné a parciální diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.


Praktikum numerických metod - MATLAB

MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.


Softwarové zabezpečení výpočetní techniky

Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.


Vektorový a tenzorový počet

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.

[1]  1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974

Vysoce výkonné metody pro vědecko-technické výpočty

Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Constructive geometry

Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses. 1. Graphic communication in construction practice, part of geometry in building process 2. Multiview Projection-attributes, procedures, applications 3. Helix-attributes, construction, tangent line, applications 4. Helical Surfaces-classification, application, construction, modelling in SW SketchUp 5. Axonometric Projection-attributes, procedures, applications 6. Oblique Projection-solids and surfaces 7. Oblique Projection-shades and shadows 8. Quadrics-classification, applications, sketching 9. Quadrics-modelling in SW SketchUp 10. Perspective-attributes, procedures, applications 11. Perspective-solids and arcs, nets 12. Frenet Trihedron-calculation, application 13. Curvature and osculating circle-calculation, application

[1]  Černý, J.: Geometry, textbook of FCE CTU at Prague, 1996
[2]  Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Projekt


Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3]  Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3]  Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.

[1]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2]  Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál

[1]  Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]  Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006

Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.

[1]  Ralston A.: Základy numerické matematiky, Academia Praha 1973.
[2]   Rektorys K a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus Praha 1995.
[3]   Edit. by Will Light: Advances in Numerical Analysis, Clarendon Press.

Matematika 1

Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.

[1]  Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.

[1]  Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3]  Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1]  O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2]  D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3]  D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 4

1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice, Geršgorinova věta. 2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti, symetrické a pozitivně definitní matice a jejich vlastnosti. 3. Soustavy lineárních algebraických rovnic, přímé metody jejich řešení. 4. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice. 5. Stabilita osově zatíženého nosníku, obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, problém vlastních čísel a vlastních funkcí. 6. Diferenciální operátory, skalární součin funkcí, řešitelnost okrajových úloh. 7. Variační princip pro jednorozměrné úlohy s pozitivně definitním diferenciálním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení. 8. Variační metody pro přibližné řešení (Ritzova metoda, metoda konečných prvků). 9. Laplaceův operátor, harmonické funkce, Poissonova rovnice ve 2D a s různými okrajovými podmínkami, aplikace (ustálené tepelné pole, průhyb membrány), variační princip, Ritzova metoda, metoda konečných prvků. 10. Metoda sítí pro přibližné řešení klasicky formulovaných okrajových úloh v 1D. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D, Liebmannova iterace (informativně). 11. Matematický model kmitání struny a matematický model kmitání obdélníkové membrány, numerické řešení modelu kmitání struny metodou sítí, stabilita metody. 12. Matematický model neustáleného tepelného pole s jednou prostorovou proměnnou a se dvěma prostorovými proměnnými, jeho numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilita metody. 13. Rezerva

[1]  [1] Elektronické studijní materiály na webové stránce předmětu, např. J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4; J. Chleboun: Matematika 4 - příručka pro přežití; J. Chleboun: Texty k přednáškám
[2]  [2] O. Zindulka: Matematika 3, kap. 4, 5, 6; Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2007
[3]  [3] K. Rektorys: Matematika 43,Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2001

Matematika 1G

Vlastnosti množin čísel. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace funkce a její význam. Absolutní extrém funkce. Aproximace funkce diferenciálem a Taylorovým polynomem. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor. Maticový počet, inverzní matice. Vnější součin vektorů. Determinant. Vektorový součin vektorů. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Metoda nejmenších čtverců.

[1]  Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 3G

Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta, substituce. Míra množiny. Křivkový integrál. Vektorová pole, práce síly, potenciál.Greenova věta. Aplikace dvojného, trojného a křivkového integrálu. Parametrizace křivky a plochy. Tok plochou, divergence pole. Plošný integrál.

[1]  J. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT Praha, 2004. K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, Prometheus Praha, 2000.

Probability and Statistics


Mathematics 1

This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 3


Mathematics 4B

1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.

[1]  [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2]  [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3]  [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007

Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1]   Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2]   Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3]   Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1]  Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2]  Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3]  Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1]  Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2]  Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004, http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Numerická matematika

Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.


Projekt 2


Spolehlivost systémů

Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.

[1]  Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2]  Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3]  Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT

Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)

[1]  Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000. , Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997.

Matem. metody ve fyz. geodézii 1

Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.

[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.

Konstruktivní geometrie - repetitorium

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 1 - repetitorium G

Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.

[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007

Matematika 3 - repetitorium G


Matematika 1 - repetitorium

Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.

[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.

Matematika 3 - repetitorium

Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002

Numerická matematika a modelování

Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.

Seminář k Matematice 3

V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.

[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005

Seminář k Matematice 4

Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/

Základy deskriptivní geometrie

Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.


Aplikovaná geometrie

Ukázky různých typů geometrických objektů - křivek a ploch, jejichž výběr je zaměřen na geodetické a kartografické aplikace. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D, vizualizaci získaných modelů a jejich matematické vyjádření. Používaným nástrojem je plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros.

[1]  J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie
[2]  Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[3]  Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[4]  Rhinoceros: Uživatelská příručka

Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.

[1]  Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.

Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Počítačové zobrazování objektů

Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple.

[1]  Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2]  Rhinoceros: Uživatelská příručka
[3]  Maple: Manuál pro začátečníky
[4]  http://mat.fsv.cvut.cz/lakoma/

Aplikovaná matematika

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika I

Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.


Aplikovaná matematika II


Aplikovaná matematika a numerické metody

Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.


Aplikovaná matematika a numerické metody I

Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.


Aplikovaná matematika a numerické metody II

Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.


Aplikovaná matematika a numerické metody III

Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.


Aplikace funkcionální analýzy

Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.


Diferenciální geometrie I

Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.


Dynamické systémy

Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.


Variační metody řešení lineárních eliptických diferenciálních rovnic řádu 2k

Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.


Fraktální geometrie


Matematická statistika

Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab


Matematika (vybrané statě)

Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".


Metrické a lineární prostory

1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.


Matematické struktury

Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.


Matematická statistika

Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.


Matematická statistika I

1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.


Matematická statistika II

1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.


Numerické metody

Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.


Numerické metody v nelineární pružnosti

Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.


Objektové programování - .NET

Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.


Obyčejné a parciální diferenciální rovnice

Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.


Pravděpodobnost a matematická statistika

Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.


Praktikum numerických metod - MATLAB

MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.


Softwarové zabezpečení výpočetní techniky

Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.


Vektorový a tenzorový počet

Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.


Vysoce výkonné metody pro vědecko-technické výpočty

Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Bakalářská práce


Constructive geometry

Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.

[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996

Projekt


Diplomová práce


Konstruktivní geometrie A

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007

Konstruktivní geometrie R

Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Konstruktivní geometrie

Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Matematika R1

Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál


Matematika R2

Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.


Mathematics 4

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 1

Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.

Matematika 2

Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II

Matematika 3

Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.

[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011

Matematika 4


Matematika 1G

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.

[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika 3G

Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.

[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996

Probability and Statistics


Mathematics 1

This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.

[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010

Mathematics 3


Mathematics 4B

The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.


Matematika 4B


Matematika 1A

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.

[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.

Matematika A2

Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.

[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006

Matematika 3A

Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/

Numerická matematika

Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.


Projekt 2


Spolehlivost systémů

Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.

[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT

Statistika

Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.


Stochastické metody v ŽP

Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)


Matem. metody ve fyz. geodézii 1

Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.

[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.

Konstruktivní geometrie - repetitorium

Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976

Křivky a plochy ve stavebních aplikacích

Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.

[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998

Kapitoly se současné matematiky

Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).


Matematika 1 - repetitorium G

Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.

[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007

Matematika 3 - repetitorium G


Matematika 1 - repetitorium

Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.

[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.

Matematika 3 - repetitorium

Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.

[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002

Numerická matematika a modelování

Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.

[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.

Seminář k Matematice 3

V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.

[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005

Seminář k Matematice 4

Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.

[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/

Základy deskriptivní geometrie

Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.


Aplikovaná geometrie


Aplikovaná statistika

Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.


Matematika 4 - výběrová

Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.

[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)

Počítačové zobrazování objektů


 

Zpět na:
Stránku ČVUT
Stránku fakulty
Seznam kateder

Problémy, připomínky a doporučení směrujte prosím na
webmaster@fsv.cvut.cz