Fakulta stavební -- K 101 - Katedra matematiky
semestr letní 2023/24
Předmět je zaměřen na studium kvalitativních vlastností matematických modelů přenosu tepla a vlhkosti v porézních materiálech. Přednášky jsou věnovány odvození modelů transportních procesů ve vícefázových systémech a řešení odpovídajících počátečně-okrajových problémů. Hlavní témata (osnova) předmětu: Bilanční rovnice, bilance hmoty a energie. Bilanční rovnice ve vícefázových systémech, přenos tepla a hmoty v porézních materiálech. Konstitutivní rovnice, Darcyho zákon, Fourierův zákon, Fickův zákon, stavové rovnice, tepelně vlhkostní parametry v transportních modelech. Matematická formulace problému, počáteční a okrajové podmínky. Rotheho metoda, Faedova-Galerkinova metoda. Řešení eliptických problémů generovaných metodou časové diskretizace. Existenční a konvergenční věta pro abstraktní parabolický problém. Aplikace na zjednodušené modely vedení tepla a izotermální proudění vlhkosti v porézních materiálech. Sdružený transport tepla a vlhkosti v porézních materiálech.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Birkhäuser Basel, 2013.
[3] K. Rektorys, The Method of Discretization in Time and Partial Differential Equations, Springer, 1982.
[4] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. SNTL, 1985.
[5] Doporučená literatura:
[6] G.F. Pinder, W.G. Gray, Essentials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
[7] R. Černý, P. Rovnaníková, Transport Processes in Concrete, CRC Press, 2002.
The subject is focused on qualitative properties of mathematical models of heat and moisture transport in porous materials. The lectures are devoted to derivation of models of transport processes in multiphase systems and solutions of corresponding initial-boundary value problems. The main topics of the subject: Balance equations, mass balance equations, energy balance equations, balance equations in multi-phase systems, heat and mass transport in porous materials, constitutive equations, Darcy’s law, Fourier’s law, Fick’s law, state equations, hygro-thermal parameters in transport models. Mathematical formulation of the problem, initial and boundary conditions. The method of Rothe, Faedo-Galerkin method. Solutions of elliptic problems generated by the method of discretization in time, existence and convergence theorem for the abstract parabolic problem, applications on simplified models of heat transport and isothermal moisture flow in porous materials. Coupled heat and moisture transport in porous materials.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění matematicky zaměřené práce nabízí systém Maple. Účastníci získají elementární osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Rozdíly mezi systémem počítačové algebry (Computer Algebra System, CAS) a numericky orientovaným softwarem (např. Matlab). Jádro Maple a knihovny (packages). Dvě základní formy interakce s prostředím Maple – worksheet a document, různé módy interakce (výběr z hlavního menu, kontextové menu, textové příkazy). Systém nápovědy. Základní pojmy a operace: proměnná, výraz, funkce, procedura, úpravy výrazů a funkcí, derivace, integrace, cykly, podmíněné příkazy, zavádění omezujících předpokladů, funkce definované po částech. Grafy funkcí jedné proměnné, dvou proměnných. Kombinování více grafů do jednoho obrázku, anotace grafů. Nastavení barev, typu a velikosti písma. Export obrázků v různých grafických formátech. Práce s pokročilejšími matematickými nástroji: řešení obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční i okrajové úlohy), lineární algebra. Možnosti numerických výpočtů. Důležitou součástí je samostatná seminární práce posluchačů motivovaná tématem (třeba jen dílčím) jejich disertační práce.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Maple.
[3] Elektronické příručky volně dostupné na webových stránkách fy Maplesoft https://www.maplesoft.com/documentation_center/
[4] J. Urbánek: Matematika s programem Maple, MU Brno, 2012
[5] Doporučená:
[6] J. Hřebíček, Z. Pospíšil, J. Urbánek: Úvod do matematického modelování s využitím Maple, MU Brno, 2010, ISBN 978-80-7204-691-1
The goal is to make students familiar with basic mathematical tools provided by the computer algebra system (CAS) Maple. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Differences between CAS and numerical software (Matlab, for instance). Maple core and packages. Maple worksheet and document modes; interaction with the user – palettes, context menu, line commands. Help system. Basic terms and operations: variable, expression, function, procedure, symbolic manipulation with expressions and functions, differentiation, integration, loops, conditional execution, assumptions, etc. Plots and animations, customizing plots (color, text, font, etc.), multiple plots. Exporting. Advanced tools: solving ordinary differential equations, initial and boundary value, problems, linear algebra. Numerical calculation. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tématické okruhy jsou: Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav Řešení problému vlastních čísel Aproximace funkcí Numerická kvadratura Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan:, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. Solving nonlinear equations and their systems Eigenvalue problem Approximation of functions Numerical quadrature Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] G. I. Marčuk: Metody numerické matematiky, Academia, 1987
[6] Doporučená literatura:
[7] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Cílem je seznámit posluchače s některými kvalitativními vlastnostmi obyčejných diferenciálních rovnic a také s konceptem dynamického systému. Obsah: Lineární systémy, nelineární systémy - lokální teorie, nelineární systémy – globální teorie, nelineární systémy - vybrané kapitoly bifurkační teorie
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer, Third Edition, 2000.
The course covers selected chapters from the qualitative theory of ordinary differential equations and also of dynamical systems. Contents: Linear systems, nonlinear systems – local theory, nonlinear systems – global theory, nonlinear systems - selected topics of bifucation theory.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Cílem je seznámit posluchače s vybranými kapitolami teorie dynamických systémů. Obsah: Systémy se stabilním asymptotickým chováním, lineární zobrazení a lineární diferenciální rovnice, rekurence a rovnoměrné rozdělení, konzervativní systémy, jednoduché systémy s komplikovanou orbitální strukturou, entropie a chaos, hyperbolické dynamiky, homoklinické trajektorie, paradoxní atraktory. Kapitoly z ergodické teorie a topologických dynamik
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: B. Haselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics (with a panorama of recent developments), Cambridge University Press, New York, 2003.
[3] A. Katok., B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems,
[4] Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
The course covers selected topics of the theory of dynamical systems. Contents: Systems with stable asymptotic behavior, linear maps and linear differential equations, recurrence and equidistribution, conservative systems, simple systems with complicated orbit structure, entropy and chaos, hyperbolic dynamics, homoclinic tangles, strange attractors.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Fyzikální odvození typických nerovnovážných úloh fyziky spojitých prostředí, formulace a interpretace počátečních a okrajových podmínek, klasifikace rovnic (parabolické, hyperbolické), metody řešení (Galerkin, časová diskretizace) včetně rekapitulace základní teorie Sobolevových prostorů a vět o vnoření, kvalitativní vlastnosti řešení jako např. stabilita versus nestabilita trajektorií, vznik rázových vln, systémy s pamětí.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda, Parciální diferenciální rovnice II: Evoluční rovnice. Matematika pro vysoké školy technické. SNTL Praha, 1986.
Physical derivation of typical nonequilibrium problems in continuum physics, formulation and interpretation of initial and boundary conditions, classification of PDEs (parabolic, hyperbolic), solution methods (Galerkin, time discretization) including a survey of the basic theory of Sobolev spaces and embedding theorems, qualitative properties of solutions as, e. g., stability or instability of solution trajectories, occurrence of shock waves, or systems with memory.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Přednášky budou věnovány studiu Hilbertových a Banachových prostorů a operátorů na nich s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Řekneme si něco o základních větách funkcionální analýzy, tj. Hahnova-Banachova, Banachova-Steinhausova věta a věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Boudou zavedeny pojmy duál a reflexivita, kvadratický funkcionál, dokázána věta o minimu a souvislost s operátorovou rovnicí. Dále dokážeme Rieszovu větu o reprezentaci a Laxova-Milgramovu větu. Zavedeme slabou konvergenci a dokážeme větu o slabé kompaktnosti jednotkové koule. Ukážeme si, že konvexní spojitý koercivní funkcionál na reflexivním prostoru má minimum. Zmíníme Browderovu větu o monotónních operátorech. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of Hilbert and Banach spaces and operators on them with regard to applications in the theory of partial differential equations. We say basic theorems of the functional analysis, Hahn-Banach''s, Banach-Steinhaus''s theorem, and the theorem on open mapping and on the closed graph. The concept of dual space and reflexivity, the quadratic functional, the theorem about the minimum and the relation with the operator equation have been introduced. Furthermore, we can prove Riesz''s theorem on representation and Lax-Milgram''s theorem. We will introduce a weak convergence and we will prove a weak compactness of the unit ball. We show that the convex continuous coercive functional in the reflexive Banach space has a minimum. Let''s mention Browder''s theorem about monotone operators. Finally, we will show applications on elliptical problems.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Metrika a topologie euklidovských prostorů. Příklady fraktálních množin: Cantorova množina, Sierpinského trojúhelník a koberec, Kochova křivka, Mengerova houba. Elementární teorie míry. Lebesgueova míra, Hausdorffova míra. Box-counting a Hausdorffova dimenze. Výpočet dimenze. Příklady. Samopodobné množiny. Iterated function systems. Hutchisonův operátor. Atraktor. Věta o kolaci. Barnsleyovo kapradí a další samoafinní množiny.
Metric and topology of Euclidean spaces. Examples of fractal sets: Cantor set, Sierpinski triangke and carpet, Koch curve, Menger sponge. Elementary measure theory. Lebesgue measure, Hausdorff measure. Box-counting and Hausdorff dimension. Calculation of dimension. Examples. Self-similar sets. Iterated function systems. Hutchison operator. Attractors. Collation Theorem. Barnsley fern and other self-affine sets.
Geostatistika se zabývá odhady a předpovědí stochastických jevů na Zemi, pracuje s polohově lokalizovanými daty tzv. geodaty a aplikuje obecné statistické postupy na modelování a vyvozování závěrů o geostatistických problémech.
Povinná literatura:
[1] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
Geostatistics is concerned with the estimation and prediction problems for stochastic phenomena on the Earth, using data obtained at a limited number of spatial locations called geodata. It refers to the application of general statistical principles of modeling and inference to geostatistical problems.
Povinná literatura:
[1] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
Cílem předmětu je uvést posluchače doktorandského studia do problematiky parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Obsahem předmětu bude: Laplaceova a Poissonova rovnice jakožto matematické modely ustáleného rozložení teploty v homogenním tělese. Klasická formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Dirichletova, Neumannova a Newtonova okrajová podmínka. Kvalitativní vlastnosti řešení Laplaceovy a Poissonovy rovnice, princip maxima, Harnackova nerovnost. Apriorní odhady řešení a odhady řešení v okolí hranice. Zobecnění kvalitativní teorie řešení pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
The aim of this course is to provide doctoral students with an introduction in the theory of elliptic partial differential equations. The subjects of study are the following: the Laplace and Poisson equations, classical formulation of a boundary condition for the Laplace and Poisson equations, the Dirichlet, Neumann and Newton boundary conditions. Qualitative properties of solutions to the Laplace’s and Poisson’s equations, maximum principle, the Harnack inequality. A priory estimates of solutions and behavior of solutions near the boundary. Generalization of the qualitative theory of solutions to Laplace’s and Poisson’s equations for linear elliptic second order equations.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Topologie a metrika v rovině a prostoru a euklidovských prostorech; konvergence, spojité funkce a zobrazení. Metrické prostory. Topologie metrických prostorů, konvergence, spojité funkce a zobrazení, Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Úplné metrické prostory, Banachovo lemma o pevném bodu. Kompaktní metrické prostory. Kompaktnost v euklidovských prostorech. Lipschitzovské a holderovské funkce. Topologie na množině. Otevřené, uzavřené množiny, uzávěr, hranice. Báze. Spojité funkce a zobrazení. Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Kartézské součiny, projekce. Souvislé a totálně nesouvislé prostory. Kompaktnost. Tichonovova věta pro konečně mnoho prostorů. Věta Arzelá-Ascoli. Stoneova-Weierstrassova věta.
Topology and metric in the plane and Euclidean spaces; convergence, continuous functions and mappings. Metric spaces. Topology of metric spaces, convergence, continuous functions and mappings, Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Complete metric spaces, Banach Fixed Point Lemma. Compact metric spaces. Compactness in Euclidean spaces. Lipschitz and Holder functions. Topology on a set. Open and closed sets, closure, boundary. Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Cartesian products, projections. Connected and totally disconnected spaces. Compactness. Tychonoff Theorem for finitely many spaces. Arzelá-Acoli Theorem. Stone-Weierstrass Theorem.
Hilbertovy prostory Bilinearní formy a funkcionály Kvadraticky funkcionál, symetrie, positivní definitnost, věta o minimu a souvislost s rovnicí Rieszova věta a Laxova-Milgramova věta Metoda konečných prvků, konvergence (obecně i pro nesymetrický operátor)- Rieszova a Galerkinova metoda Může konvergovat jakkoliv pomalu Za lepší regularity konverguje lépe Metoda nejmenších čtverců Variační zločiny Volba bázových funkcí: h-verze, p-verze, hp-verze, hierarchické báze, kaskáda Konstrukce lineárního systému Metody řešení vzniklých soustav - přímé postupy - iterativní postupy - možnosti předpodmínění
Hilbert''s spaces Bilinear forms and functionals Quadratic functional, symmetry, positive definitness, theorem about the minimum and relation to the equation Riesz''s theorem and Lax-Milgram''s theorem Finite element method, convergence (generally for nonsymmetric operator) - Riesz‘s and Galerkin‘s method It can converge slowly Better regularity converges better The least square method Variational crimes Selection of base functions: h-version, p-version, hp-version, hierarchical base, cascade Linear system preparation Methods of solution of the resulting systems - direct procedures - iterative procedures - possibilities of preconditioning
Cílem je seznámit posluchače se základními postupy při hledáni minima reálné funkce jedné proměnné nebo více proměnných, a to jak bez omezení, tak s omezeními. Získané poznatky si posluchači procvičí na úlohách řešených samostatně softwarem nebo programovacím jazykem, který si zvolí (Matlab, SciLab, Octave, Python, C, Fortran atd.). Obsah: Minimalizace funkcí jedné reálné proměnné. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných bez omezení. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda sdružených směrů, kvazinewtonovské metody. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných s omezeními. Lagrangeovy multiplikátory. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda penalty, metoda aktivní množiny omezení, metoda projekce gradientu, metoda SQP (Sequential Quadratic Programming), metoda vnitřního bodu. Úvod do lineárního programování, simplexová metoda
[1] Povinná:
[2] D. G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, Springer, Cham, 2016
[3] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, New York, 2006 E. G. Birgin, J. M. Martínez: Practical Augmented Lagrangian Methods for Constrained Optimization,SIAM, Philadelphia, 2014
[4] Doporučená:
[5] L. Lukšan: Numerické optimalizační metody, Technical report No. 1152, Ústav informatiky AV ČR, Praha, 2017
[6] http://www.cs.cas.cz/luksan/lekce4.pdf
The goal is to make students familiar with common methods for the minimization of functions of one or several real variables. Unconstrained as well as constrained minimization are considered. By using software tools (Matlab, SciLab, Octave, Python, etc.), course participants are expected to present a solution to a minimization problem motivated by the subject of their research. Topics: Minimization of functions of one real variable. Unconstrained minimization of functions of several real variables. Conditions for local optimality. Conjugate gradient method, quasi-Newton methods. Constrained minimization of functions of several real variables. Lagrange multipliers. Conditions for local optimality. Penalty method, active set method, gradient projection method, SQP method (Sequential Quadratic Programming). Introduction to linear programming, simplex method.
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s moderními metodami parciálních diferenciálních rovnic. Obsahem předmětu bude: Zavedení pojmu zobecněná derivace a definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Variační formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Laxovo- Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost slabého řešení okrajové úlohy. Úvod do problematiky regularrity slabého řešení, globální a vnitřní regularita. Greenův operátor,. Zobecnění moderních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
Povinná literatura:
[1] Gilbarg, David; Trudinger, Neil. S.: Elliptic partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[2] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012.
Cílem předmětu je odvození matematických modelů ustáleného i neustáleného proudění nestlačitelných tekutin. Obsahem předmětu je: Základní vlastnosti vektorového a tenzorového počtu, základní funkční prostory (Lebesgueovy a Sobolevovy prostory) a některé známé věty integrálního počtu, které budou aplikovány pro odvození matematických modelů (Greenova věta, Stokesova věta, Gaussova-Ostrogradského věta). Pojem kontinua a základní kinematické pojmy, jako jsou tenzor deformací a tenzor malých deformací, tenzor rychlosti deformací, Eulerův a Lagrangeův popis pohybu částic, Reynoldsova transportní věta. Objemové síly, plošné síly, tenzor napětí a jeho vlastnosti ( symetrie). Konstitutivní rovnice, Stokesovská tekutina. Základní typy stokesovských tekutin, ideální tekutina, newtonovská tekutina, tlak tekutiny a dynamický tenzor napětí. Odvození matematických modelů proudění nestlačitelné tekutiny, formulace okrajové úlohy pro ustálené a počátečně-okrajové úlohy pro neustálené proudění nestlačitelné tekutiny.
[1] Brdička, Miroslav; Samek, Ladislav; Sopko, Bruno.: Mechanika kontinua. ČSAV, Praha 2000.
[2] Feistauer, M. Mathematical methods in fluid dynamics. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 67. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[3] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidellberg, 2012.
[4] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
The aim of the subject is to derive mathematical models of steady and nonsteady flow of incompressible fluids. Course contents: Vector and tenzor calculus, function spaces (Lebesque and Sobolev spaces), some known theorems of integral calculus that will be applied to derive mathematical models (Green''s theorem, Stokes theorem, Gauss-Ostrograph''s theorem), continuum and its kinematics, tenzor of small deformations, tenzor of velocity of deformation, Eulerian and Lagrangian description of motion, Reynolds transport theorem, the volume forces, the surface forces, the stress tenzor and its properties, constitutive equations, Stokesian fluids, basic types of Stokesian fluids: ideal fluid, Newtonian fluid, the pressure, the dynamic stress tensor, mathematical models of flow of incompressible fluid, formulation of boundary value problems for steady and nonsteady flow of incompressible fluid.
Pojem časové řady. Stacionární časové řady. Základní charakteristiky a jejich odhady. ARMA modely. Frekvenční analýza časových řad. Pojem spektrální hustoty. Markovské posloupnosti s konečnou množinou stavů. MCMC a Metropolisův-Hastingsův algoritmus. Idea MCMC pro spojitou množinu stavů.
[1] Jiří Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL 1976.
[2] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series - Theory and Methods, Springer, 1991.
Notion of time series. Stationary time series. Basic characteristics and their estimates. ARMA models. Frequency analysis of time series. Markovian sequences with finite number of states. Stationary distribution and method MCMC. Idea of MCMC for a continuous set of states.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Rozdělení příbuzná s normálními (chí-kvadrát, t-rozdělení). Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. Teorie odhadů – metoda maximální věrohodnosti a metoda momentů. Bayesovy odhady. Metoda hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími parametry. Nelineární regrese. Lineární a nelineární model v rámci bayesovského odhadování.
[1] Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL 1985.
[2] Daniela Jarušková: Matematická statistika, skripta ČVUT, 2011.
[3] Anthony OHagan, Jonathan Forster: Kendall ´s advanced theory of statistics – Bayesian inference, Oxford University Press 1994
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
Cílem je seznámit posluchače s některými nestochastickými metodami pro popis nejistoty v parametrech vstupujících do matematického modelu a pro získání informace o nejistotě ve veličině vystupující z modelu (quantity of interest). Obsah: Aleatorická a epistemická nejistota. Představení úloh s nejistými daty s důrazem na diferenciální rovnice. Různé přístupy ke kvantifikaci nejistot. Metoda nejhoršího a nejlepšího scénáře. Základní pojmy teorie fuzzy množin (funkce příslušnosti, alfa-řez, Zadehův princip rozšíření). Fuzzifikace, různé konstrukce funkce příslušnosti a její varianta v Information Gap Theory Y. Ben-Haima. Úvod do Dempsterovy-Shaferovy teorie (DST), funkce belief a plauzibility, Dempsterovo kombinační pravidlo. Pravděpodobnostně zaměřená interpretace DST. Aplikace na inženýrské úlohy s nejistými daty a s netriviálním stavovým problémem. Stavební kameny algoritmů pro jejich numerické řešení – minimalizace funkcí více proměnných, analýza citlivosti, metoda konečných prvků.
[1] Povinná:
[2] B. M. Ayyub, G. J. Klir: Uncertainty Modelling and Analysis in Engineering and Sciences, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2006
[3] B. Möller, M. Beer: Fuzzy Randomness – Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics, Springer, Berlin, 2010
[4] W. Fellin a kol. (ed.): Analyzing Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2005
[5] Doporučená:
[6] A. Bernardini, F. Tonon: Bounding Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2010
[7] I. Hlaváček, J. Chleboun, I. Babuška: Uncertain Input Data Problems and the Worst Scenario Method, Elsevier, Amsterdam, 2004.
The goal is to make students familiar with some non-stochastic methods for uncertainty quantification. Uncertainty is considered in parameters entering mathematical models. Consequently, the model output represented by a quantity of interest is also uncertain and this uncertainty is to be assessed. Topics: Aleatoric and epistemic uncertainty. Differential equations with uncertain data. Various approaches to uncertainty quantification. The worst- and best-case scenario method. Elements of fuzzy set theory (membership function, alpha-cut, Zadeh’s extension principle). Fuzzification, various definitions of membership functions, a connection to information gap theory by Y. Ben-Haim. An introduction to the Dempster-Shafer theory (DST), belief and plauzibility, Dempster’s rule of combination. Probabilistic interpretation of DST. Application to engineering problems with uncertain data and a non-trivial state problem. Tools for solving such problems – minimization algorithms, sensitivity analysis, finite element method.
Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Míka, S.: Matematická analýza III : tenzorová analýza , Plzeň : Západočeská univerzita, 1993.
[3] [2] Heinbockel, J. H.: Introduction to Tensosoučr Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[4] [3] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Pachová, Frey: Vektorová a tenzorová analýza, SNTL 1964
Je nutný kontakt s vyučujjícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutné kontaktovat garanta předmětu.
[1] Je nutné kontaktovat garanta předmětu.
Dle zadání diplomové práce.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Fotogrammetrie. Křivky, parametrický popis. Šroubové plochy. Kvadriky. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Další plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[6] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:
Nezařazeno:
[2] 0-01-03309-0
Povinná literatura:
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010
Nezařazeno:
[6] ISBN 978-80-01-04524-4
Doporučená literatura:
[7] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[8] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Kurz integrálního počtu funkcí jedné proměnné, diferenciálního počtu funkcí více proměnných a řešení základních typů obyčejných diferenciálních rovnic.
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'''' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005, ISBN 80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005, ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Kurz integrálního počtu funkcí jedné proměnné, diferenciálního počtu funkcí více proměnných a řešení základních typů obyčejných diferenciálních rovnic.
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'''' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Základní kurz zaměřený na integrální počet funkcí jedné proměnné, diferenciální počet funkcí více proměnných a úvod do obyčejných diferenciálních rovnic.
Povinná literatura:
[1] Kočandrlová M., Černý J.: Geo-Matematika I, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2. vydání, 2020, ISBN 978-80-01-06671-3
[2] Charvát, J.; Kelar, V.; Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1
[3] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I, II Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.
[1] Basic study materials are lectures.
https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/bakalari/eng/ls/MT02/
[1] https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/bakalari/eng/ls/MT02/references
Spectral theory of matrices and linear operators. Boundary value problems, in particular those modeling the beam. Variational principle, variational methods.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.
Povinná literatura:
[1] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001 ISBN-13: 978-0486414546
[2] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing, ISBN-13: 978-1133103714
[3] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation, ISBN 9781421407944
Doporučená literatura:
[4] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003, ISBN 0387954104, 9780387954103
Pokročilé metody matematické statistiky. Sekvenční testy, bayesovské a robustni metody. Software R-projekt.
Povinná literatura:
[1] Wald Abraham: Sequential Analysis, Courier Corporation 2013,ISBN 978-0-486-61579-0
[2] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[3] Jurečková Jana and Picek Jan :Robust Statistical Methods with R,Chapman and Hall/CRC 2006,ISBN 978-1-58488-454-5
Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1G, popř. Matematika 2G.
[1] [1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, Prometheus Praha, 2000.
[2] [2] Pultarová, I., Novák, J., Novák, P.: Základy informatiky. Počítačové modelování v Matlabu, skripta FSv ČVUT v Praze, 2005.
[3] [3] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-matematika I, skripta FSv ČVUT v Praze, 2007.
Předmět je volitelným doplňkem předmětu 101KGA1. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky. Jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z 101KGA1.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KGA1
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021
[2] Černý, J.: Konstruktivní geometrie – Křivky a plochy se softwarem Mathematica, doplňkové skriptum ČVUT, 1999
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
[1] Není pevně stanoven.
https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/cau/ls/xmg2
[1] https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/cau/ls/xmg2
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] [1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
Předmět seznámí studenty s základy programování v jednom z nejrozšířenějších moderních programovacích jazyků - Python.
[1] The Python Tutorial https://docs.python.org/3/tutorial/index.html
Seminář ukazuje, jak lze systém počítačové algebry využít k hlubšímu pochopení probírané látky a k analytickému (případně numerickému) řešení úloh, s nimiž se studující setkávají.
[1] [1] Webová stránka dr. A. Němečka http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html s odkazy na studijní materiály.
[2] [2] J. Hřebíček: Systémy počítačové algebry. Soubor PDF na http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[3] [3] Systém nápovědy, jenž je součástí sw Maple.
Úvod do funkcionální analýzy a variačních metod Předmět je zaměřen na vybrané základy funkcionální analýzy, zejména základní vlastnosti Banachových a Hilbertových prostorů. V předmětu se studující seznámí se základy matematických pojmů a nástrojů, které tvoří teoretický fundament pro variačních formulaci okrajových a počátečních úloh a pro metody jejich přibližného řešení, jako je například metoda konečných prvků nebo Ritzova metoda.
Povinná literatura:
[1] online https://www.maths.usyd.edu.au/u/athomas/FunctionalAnalysis/daners-functional-analysis-2017.pdf
Doporučená literatura:
[2] online https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/839/1/012002/pdf
[3] J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy. Karolinum, Praha 2012, ISBN 978-80-246-2069-5
Studijní pomůcky:
[4] online http://mi21.vsb.cz/modul/info
[5] online https://is.muni.cz/el/1431/jaro2014/M6150/um/lfa-2013.pdf
[6] online http://www.cs.cas.cz/~luksan/lekce2.pdf
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii a dalších.
[1] Základním studijním materiálem jsou přednášky předmětu.
Inferenční statistika. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné veličiny a jejich charakteristiky. Základní metody matematické statistiky. Lineární regrese.
[1] Jarušková D., Hála M.: Matematická statistika, skripta ČVUT.
[2] Též na webovské stránce D. Jaruškové.
Základní kurz numerických výpočtů pro aplikované úlohy.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Problémy, připomínky a doporučení směrujte prosím na
webmaster@fsv.cvut.cz