Fakulta stavební -- K 101 - Katedra matematiky
semestr zimní 2023/24
semestr letní 2022/23
semestr zimní 2022/23
semestr letní 2021/22
semestr zimní 2021/22
semestr letní 2020/21
semestr zimní 2020/21
semestr letní 2019/20
semestr zimní 2019/20
semestr letní 2018/19
semestr zimní 2018/19
semestr letní 2017/18
semestr zimní 2017/18
semestr letní 2016/17
semestr zimní 2016/17
semestr letní 2015/16
semestr zimní 2015/16
semestr letní 2014/15
semestr zimní 2014/15
semestr letní 2013/14
semestr zimní 2013/14
semestr letní 2012/13
semestr zimní 2012/13
semestr letní 2011/12
semestr zimní 2011/12
semestr letní 2010/11
semestr zimní 2010/11
semestr letní 2009/10
semestr zimní 2009/10
semestr letní 2008/09
semestr zimní 2008/09
semestr letní 2007/08
semestr zimní 2007/08
semestr před rokem 2007
Předmět je zaměřen na studium kvalitativních vlastností matematických modelů přenosu tepla a vlhkosti v porézních materiálech. Přednášky jsou věnovány odvození modelů transportních procesů ve vícefázových systémech a řešení odpovídajících počátečně-okrajových problémů. Hlavní témata (osnova) předmětu: Bilanční rovnice, bilance hmoty a energie. Bilanční rovnice ve vícefázových systémech, přenos tepla a hmoty v porézních materiálech. Konstitutivní rovnice, Darcyho zákon, Fourierův zákon, Fickův zákon, stavové rovnice, tepelně vlhkostní parametry v transportních modelech. Matematická formulace problému, počáteční a okrajové podmínky. Rotheho metoda, Faedova-Galerkinova metoda. Řešení eliptických problémů generovaných metodou časové diskretizace. Existenční a konvergenční věta pro abstraktní parabolický problém. Aplikace na zjednodušené modely vedení tepla a izotermální proudění vlhkosti v porézních materiálech. Sdružený transport tepla a vlhkosti v porézních materiálech.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Birkhäuser Basel, 2013.
[3] K. Rektorys, The Method of Discretization in Time and Partial Differential Equations, Springer, 1982.
[4] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. SNTL, 1985.
[5] Doporučená literatura:
[6] G.F. Pinder, W.G. Gray, Essentials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
[7] R. Černý, P. Rovnaníková, Transport Processes in Concrete, CRC Press, 2002.
The subject is focused on qualitative properties of mathematical models of heat and moisture transport in porous materials. The lectures are devoted to derivation of models of transport processes in multiphase systems and solutions of corresponding initial-boundary value problems. The main topics of the subject: Balance equations, mass balance equations, energy balance equations, balance equations in multi-phase systems, heat and mass transport in porous materials, constitutive equations, Darcy’s law, Fourier’s law, Fick’s law, state equations, hygro-thermal parameters in transport models. Mathematical formulation of the problem, initial and boundary conditions. The method of Rothe, Faedo-Galerkin method. Solutions of elliptic problems generated by the method of discretization in time, existence and convergence theorem for the abstract parabolic problem, applications on simplified models of heat transport and isothermal moisture flow in porous materials. Coupled heat and moisture transport in porous materials.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění matematicky zaměřené práce nabízí systém Maple. Účastníci získají elementární osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Rozdíly mezi systémem počítačové algebry (Computer Algebra System, CAS) a numericky orientovaným softwarem (např. Matlab). Jádro Maple a knihovny (packages). Dvě základní formy interakce s prostředím Maple – worksheet a document, různé módy interakce (výběr z hlavního menu, kontextové menu, textové příkazy). Systém nápovědy. Základní pojmy a operace: proměnná, výraz, funkce, procedura, úpravy výrazů a funkcí, derivace, integrace, cykly, podmíněné příkazy, zavádění omezujících předpokladů, funkce definované po částech. Grafy funkcí jedné proměnné, dvou proměnných. Kombinování více grafů do jednoho obrázku, anotace grafů. Nastavení barev, typu a velikosti písma. Export obrázků v různých grafických formátech. Práce s pokročilejšími matematickými nástroji: řešení obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční i okrajové úlohy), lineární algebra. Možnosti numerických výpočtů. Důležitou součástí je samostatná seminární práce posluchačů motivovaná tématem (třeba jen dílčím) jejich disertační práce.
The goal is to make students familiar with basic mathematical tools provided by the computer algebra system (CAS) Maple. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Differences between CAS and numerical software (Matlab, for instance). Maple core and packages. Maple worksheet and document modes; interaction with the user – palettes, context menu, line commands. Help system. Basic terms and operations: variable, expression, function, procedure, symbolic manipulation with expressions and functions, differentiation, integration, loops, conditional execution, assumptions, etc. Plots and animations, customizing plots (color, text, font, etc.), multiple plots. Exporting. Advanced tools: solving ordinary differential equations, initial and boundary value, problems, linear algebra. Numerical calculation. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tématické okruhy jsou: Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav Řešení problému vlastních čísel Aproximace funkcí Numerická kvadratura Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan:, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. Solving nonlinear equations and their systems Eigenvalue problem Approximation of functions Numerical quadrature Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] G. I. Marčuk: Metody numerické matematiky, Academia, 1987
[6] Doporučená literatura:
[7] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Cílem je seznámit posluchače s některými kvalitativními vlastnostmi obyčejných diferenciálních rovnic a také s konceptem dynamického systému. Obsah: Lineární systémy, nelineární systémy - lokální teorie, nelineární systémy – globální teorie, nelineární systémy - vybrané kapitoly bifurkační teorie
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer, Third Edition, 2000.
The course covers selected chapters from the qualitative theory of ordinary differential equations and also of dynamical systems. Contents: Linear systems, nonlinear systems – local theory, nonlinear systems – global theory, nonlinear systems - selected topics of bifucation theory.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Cílem je seznámit posluchače s vybranými kapitolami teorie dynamických systémů. Obsah: Systémy se stabilním asymptotickým chováním, lineární zobrazení a lineární diferenciální rovnice, rekurence a rovnoměrné rozdělení, konzervativní systémy, jednoduché systémy s komplikovanou orbitální strukturou, entropie a chaos, hyperbolické dynamiky, homoklinické trajektorie, paradoxní atraktory. Kapitoly z ergodické teorie a topologických dynamik
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: B. Haselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics (with a panorama of recent developments), Cambridge University Press, New York, 2003.
[3] A. Katok., B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems,
[4] Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
The course covers selected topics of the theory of dynamical systems. Contents: Systems with stable asymptotic behavior, linear maps and linear differential equations, recurrence and equidistribution, conservative systems, simple systems with complicated orbit structure, entropy and chaos, hyperbolic dynamics, homoclinic tangles, strange attractors.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Fyzikální odvození typických nerovnovážných úloh fyziky spojitých prostředí, formulace a interpretace počátečních a okrajových podmínek, klasifikace rovnic (parabolické, hyperbolické), metody řešení (Galerkin, časová diskretizace) včetně rekapitulace základní teorie Sobolevových prostorů a vět o vnoření, kvalitativní vlastnosti řešení jako např. stabilita versus nestabilita trajektorií, vznik rázových vln, systémy s pamětí.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda, Parciální diferenciální rovnice II: Evoluční rovnice. Matematika pro vysoké školy technické. SNTL Praha, 1986.
Physical derivation of typical nonequilibrium problems in continuum physics, formulation and interpretation of initial and boundary conditions, classification of PDEs (parabolic, hyperbolic), solution methods (Galerkin, time discretization) including a survey of the basic theory of Sobolev spaces and embedding theorems, qualitative properties of solutions as, e. g., stability or instability of solution trajectories, occurrence of shock waves, or systems with memory.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Přednášky budou věnovány studiu Hilbertových a Banachových prostorů a operátorů na nich s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Řekneme si něco o základních větách funkcionální analýzy, tj. Hahnova-Banachova, Banachova-Steinhausova věta a věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Boudou zavedeny pojmy duál a reflexivita, kvadratický funkcionál, dokázána věta o minimu a souvislost s operátorovou rovnicí. Dále dokážeme Rieszovu větu o reprezentaci a Laxova-Milgramovu větu. Zavedeme slabou konvergenci a dokážeme větu o slabé kompaktnosti jednotkové koule. Ukážeme si, že konvexní spojitý koercivní funkcionál na reflexivním prostoru má minimum. Zmíníme Browderovu větu o monotónních operátorech. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of Hilbert and Banach spaces and operators on them with regard to applications in the theory of partial differential equations. We say basic theorems of the functional analysis, Hahn-Banach''s, Banach-Steinhaus''s theorem, and the theorem on open mapping and on the closed graph. The concept of dual space and reflexivity, the quadratic functional, the theorem about the minimum and the relation with the operator equation have been introduced. Furthermore, we can prove Riesz''s theorem on representation and Lax-Milgram''s theorem. We will introduce a weak convergence and we will prove a weak compactness of the unit ball. We show that the convex continuous coercive functional in the reflexive Banach space has a minimum. Let''s mention Browder''s theorem about monotone operators. Finally, we will show applications on elliptical problems.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Metrika a topologie euklidovských prostorů. Příklady fraktálních množin: Cantorova množina, Sierpinského trojúhelník a koberec, Kochova křivka, Mengerova houba. Elementární teorie míry. Lebesgueova míra, Hausdorffova míra. Box-counting a Hausdorffova dimenze. Výpočet dimenze. Příklady. Samopodobné množiny. Iterated function systems. Hutchisonův operátor. Atraktor. Věta o kolaci. Barnsleyovo kapradí a další samoafinní množiny.
Metric and topology of Euclidean spaces. Examples of fractal sets: Cantor set, Sierpinski triangke and carpet, Koch curve, Menger sponge. Elementary measure theory. Lebesgue measure, Hausdorff measure. Box-counting and Hausdorff dimension. Calculation of dimension. Examples. Self-similar sets. Iterated function systems. Hutchison operator. Attractors. Collation Theorem. Barnsley fern and other self-affine sets.
Geostatistika se zabývá odhady a předpovědí stochastických jevů na Zemi, pracuje s polohově lokalizovanými daty tzv. geodaty a aplikuje obecné statistické postupy na modelování a vyvozování závěrů o geostatistických problémech.
Povinná literatura:
[1] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
Geostatistics is concerned with the estimation and prediction problems for stochastic phenomena on the Earth, using data obtained at a limited number of spatial locations called geodata. It refers to the application of general statistical principles of modeling and inference to geostatistical problems.
Povinná literatura:
[1] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
Cílem předmětu je uvést posluchače doktorandského studia do problematiky parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Obsahem předmětu bude: Laplaceova a Poissonova rovnice jakožto matematické modely ustáleného rozložení teploty v homogenním tělese. Klasická formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Dirichletova, Neumannova a Newtonova okrajová podmínka. Kvalitativní vlastnosti řešení Laplaceovy a Poissonovy rovnice, princip maxima, Harnackova nerovnost. Apriorní odhady řešení a odhady řešení v okolí hranice. Zobecnění kvalitativní teorie řešení pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
The aim of this course is to provide doctoral students with an introduction in the theory of elliptic partial differential equations. The subjects of study are the following: the Laplace and Poisson equations, classical formulation of a boundary condition for the Laplace and Poisson equations, the Dirichlet, Neumann and Newton boundary conditions. Qualitative properties of solutions to the Laplace’s and Poisson’s equations, maximum principle, the Harnack inequality. A priory estimates of solutions and behavior of solutions near the boundary. Generalization of the qualitative theory of solutions to Laplace’s and Poisson’s equations for linear elliptic second order equations.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Topologie a metrika v rovině a prostoru a euklidovských prostorech; konvergence, spojité funkce a zobrazení. Metrické prostory. Topologie metrických prostorů, konvergence, spojité funkce a zobrazení, Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Úplné metrické prostory, Banachovo lemma o pevném bodu. Kompaktní metrické prostory. Kompaktnost v euklidovských prostorech. Lipschitzovské a holderovské funkce. Topologie na množině. Otevřené, uzavřené množiny, uzávěr, hranice. Báze. Spojité funkce a zobrazení. Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Kartézské součiny, projekce. Souvislé a totálně nesouvislé prostory. Kompaktnost. Tichonovova věta pro konečně mnoho prostorů. Věta Arzelá-Ascoli. Stoneova-Weierstrassova věta.
Topology and metric in the plane and Euclidean spaces; convergence, continuous functions and mappings. Metric spaces. Topology of metric spaces, convergence, continuous functions and mappings, Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Complete metric spaces, Banach Fixed Point Lemma. Compact metric spaces. Compactness in Euclidean spaces. Lipschitz and Holder functions. Topology on a set. Open and closed sets, closure, boundary. Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Cartesian products, projections. Connected and totally disconnected spaces. Compactness. Tychonoff Theorem for finitely many spaces. Arzelá-Acoli Theorem. Stone-Weierstrass Theorem.
Hilbertovy prostory Bilinearní formy a funkcionály Kvadraticky funkcionál, symetrie, positivní definitnost, věta o minimu a souvislost s rovnicí Rieszova věta a Laxova-Milgramova věta Metoda konečných prvků, konvergence (obecně i pro nesymetrický operátor)- Rieszova a Galerkinova metoda Může konvergovat jakkoliv pomalu Za lepší regularity konverguje lépe Metoda nejmenších čtverců Variační zločiny Volba bázových funkcí: h-verze, p-verze, hp-verze, hierarchické báze, kaskáda Konstrukce lineárního systému Metody řešení vzniklých soustav - přímé postupy - iterativní postupy - možnosti předpodmínění
Hilbert''s spaces Bilinear forms and functionals Quadratic functional, symmetry, positive definitness, theorem about the minimum and relation to the equation Riesz''s theorem and Lax-Milgram''s theorem Finite element method, convergence (generally for nonsymmetric operator) - Riesz‘s and Galerkin‘s method It can converge slowly Better regularity converges better The least square method Variational crimes Selection of base functions: h-version, p-version, hp-version, hierarchical base, cascade Linear system preparation Methods of solution of the resulting systems - direct procedures - iterative procedures - possibilities of preconditioning
Cílem je seznámit posluchače se základními postupy při hledáni minima reálné funkce jedné proměnné nebo více proměnných, a to jak bez omezení, tak s omezeními. Získané poznatky si posluchači procvičí na úlohách řešených samostatně softwarem nebo programovacím jazykem, který si zvolí (Matlab, SciLab, Octave, Python, C, Fortran atd.). Obsah: Minimalizace funkcí jedné reálné proměnné. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných bez omezení. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda sdružených směrů, kvazinewtonovské metody. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných s omezeními. Lagrangeovy multiplikátory. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda penalty, metoda aktivní množiny omezení, metoda projekce gradientu, metoda SQP (Sequential Quadratic Programming), metoda vnitřního bodu. Úvod do lineárního programování, simplexová metoda
The goal is to make students familiar with common methods for the minimization of functions of one or several real variables. Unconstrained as well as constrained minimization are considered. By using software tools (Matlab, SciLab, Octave, Python, etc.), course participants are expected to present a solution to a minimization problem motivated by the subject of their research. Topics: Minimization of functions of one real variable. Unconstrained minimization of functions of several real variables. Conditions for local optimality. Conjugate gradient method, quasi-Newton methods. Constrained minimization of functions of several real variables. Lagrange multipliers. Conditions for local optimality. Penalty method, active set method, gradient projection method, SQP method (Sequential Quadratic Programming). Introduction to linear programming, simplex method.
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s moderními metodami parciálních diferenciálních rovnic. Obsahem předmětu bude: Zavedení pojmu zobecněná derivace a definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Variační formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Laxovo- Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost slabého řešení okrajové úlohy. Úvod do problematiky regularrity slabého řešení, globální a vnitřní regularita. Greenův operátor,. Zobecnění moderních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
Povinná literatura:
[1] Gilbarg, David; Trudinger, Neil. S.: Elliptic partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[2] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012.
Cílem předmětu je odvození matematických modelů ustáleného i neustáleného proudění nestlačitelných tekutin. Obsahem předmětu je: Základní vlastnosti vektorového a tenzorového počtu, základní funkční prostory (Lebesgueovy a Sobolevovy prostory) a některé známé věty integrálního počtu, které budou aplikovány pro odvození matematických modelů (Greenova věta, Stokesova věta, Gaussova-Ostrogradského věta). Pojem kontinua a základní kinematické pojmy, jako jsou tenzor deformací a tenzor malých deformací, tenzor rychlosti deformací, Eulerův a Lagrangeův popis pohybu částic, Reynoldsova transportní věta. Objemové síly, plošné síly, tenzor napětí a jeho vlastnosti ( symetrie). Konstitutivní rovnice, Stokesovská tekutina. Základní typy stokesovských tekutin, ideální tekutina, newtonovská tekutina, tlak tekutiny a dynamický tenzor napětí. Odvození matematických modelů proudění nestlačitelné tekutiny, formulace okrajové úlohy pro ustálené a počátečně-okrajové úlohy pro neustálené proudění nestlačitelné tekutiny.
[1] Brdička, Miroslav; Samek, Ladislav; Sopko, Bruno.: Mechanika kontinua. ČSAV, Praha 2000.
[2] Feistauer, M. Mathematical methods in fluid dynamics. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 67. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[3] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidellberg, 2012.
[4] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
The aim of the subject is to derive mathematical models of steady and nonsteady flow of incompressible fluids. Course contents: Vector and tenzor calculus, function spaces (Lebesque and Sobolev spaces), some known theorems of integral calculus that will be applied to derive mathematical models (Green''s theorem, Stokes theorem, Gauss-Ostrograph''s theorem), continuum and its kinematics, tenzor of small deformations, tenzor of velocity of deformation, Eulerian and Lagrangian description of motion, Reynolds transport theorem, the volume forces, the surface forces, the stress tenzor and its properties, constitutive equations, Stokesian fluids, basic types of Stokesian fluids: ideal fluid, Newtonian fluid, the pressure, the dynamic stress tensor, mathematical models of flow of incompressible fluid, formulation of boundary value problems for steady and nonsteady flow of incompressible fluid.
Pojem časové řady. Stacionární časové řady. Základní charakteristiky a jejich odhady. ARMA modely. Frekvenční analýza časových řad. Pojem spektrální hustoty. Markovské posloupnosti s konečnou množinou stavů. MCMC a Metropolisův-Hastingsův algoritmus. Idea MCMC pro spojitou množinu stavů.
[1] Jiří Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL 1976.
[2] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series - Theory and Methods, Springer, 1991.
Notion of time series. Stationary time series. Basic characteristics and their estimates. ARMA models. Frequency analysis of time series. Markovian sequences with finite number of states. Stationary distribution and method MCMC. Idea of MCMC for a continuous set of states.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Rozdělení příbuzná s normálními (chí-kvadrát, t-rozdělení). Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. Teorie odhadů – metoda maximální věrohodnosti a metoda momentů. Bayesovy odhady. Metoda hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími parametry. Nelineární regrese. Lineární a nelineární model v rámci bayesovského odhadování.
[1] Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL 1985.
[2] Daniela Jarušková: Matematická statistika, skripta ČVUT, 2011.
[3] Anthony OHagan, Jonathan Forster: Kendall ´s advanced theory of statistics – Bayesian inference, Oxford University Press 1994
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
Cílem je seznámit posluchače s některými nestochastickými metodami pro popis nejistoty v parametrech vstupujících do matematického modelu a pro získání informace o nejistotě ve veličině vystupující z modelu (quantity of interest). Obsah: Aleatorická a epistemická nejistota. Představení úloh s nejistými daty s důrazem na diferenciální rovnice. Různé přístupy ke kvantifikaci nejistot. Metoda nejhoršího a nejlepšího scénáře. Základní pojmy teorie fuzzy množin (funkce příslušnosti, alfa-řez, Zadehův princip rozšíření). Fuzzifikace, různé konstrukce funkce příslušnosti a její varianta v Information Gap Theory Y. Ben-Haima. Úvod do Dempsterovy-Shaferovy teorie (DST), funkce belief a plauzibility, Dempsterovo kombinační pravidlo. Pravděpodobnostně zaměřená interpretace DST. Aplikace na inženýrské úlohy s nejistými daty a s netriviálním stavovým problémem. Stavební kameny algoritmů pro jejich numerické řešení – minimalizace funkcí více proměnných, analýza citlivosti, metoda konečných prvků.
The goal is to make students familiar with some non-stochastic methods for uncertainty quantification. Uncertainty is considered in parameters entering mathematical models. Consequently, the model output represented by a quantity of interest is also uncertain and this uncertainty is to be assessed. Topics: Aleatoric and epistemic uncertainty. Differential equations with uncertain data. Various approaches to uncertainty quantification. The worst- and best-case scenario method. Elements of fuzzy set theory (membership function, alpha-cut, Zadeh’s extension principle). Fuzzification, various definitions of membership functions, a connection to information gap theory by Y. Ben-Haim. An introduction to the Dempster-Shafer theory (DST), belief and plauzibility, Dempster’s rule of combination. Probabilistic interpretation of DST. Application to engineering problems with uncertain data and a non-trivial state problem. Tools for solving such problems – minimization algorithms, sensitivity analysis, finite element method.
Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Míka, S.: Matematická analýza III : tenzorová analýza , Plzeň : Západočeská univerzita, 1993.
[3] [2] Heinbockel, J. H.: Introduction to Tensosoučr Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[4] [3] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Pachová, Frey: Vektorová a tenzorová analýza, SNTL 1964
Je nutný kontakt s vyučujjícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutné kontaktovat garanta předmětu.
Dle zadání diplomové práce.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Fotogrammetrie. Křivky, parametrický popis. Šroubové plochy. Kvadriky. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Další plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[6] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:
Nezařazeno:
[2] 0-01-03309-0
Povinná literatura:
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010
Nezařazeno:
[6] ISBN 978-80-01-04524-4
Doporučená literatura:
[7] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[8] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Kurz integrálního počtu funkcí jedné proměnné, diferenciálního počtu funkcí více proměnných a řešení základních typů obyčejných diferenciálních rovnic.
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'''' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005, ISBN 80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005, ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'''' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Základní kurz zaměřený na integrální počet funkcí jedné proměnné, diferenciální počet funkcí více proměnných a úvod do obyčejných diferenciálních rovnic.
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.
https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/bakalari/eng/ls/MT02/
Spectral theory of matrices and linear operators. Boundary value problems, in particular those modeling the beam. Variational principle, variational methods.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.
Pokročilé metody matematické statistiky. Sekvenční testy, bayesovské a robustni metody. Software R-projekt.
Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1G, popř. Matematika 2G.
Předmět je volitelným doplňkem předmětu 101KGA1. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky. Jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z 101KGA1.
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KGA1
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021
[2] Černý, J.: Konstruktivní geometrie – Křivky a plochy se softwarem Mathematica, doplňkové skriptum ČVUT, 1999
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
[1] Není pevně stanoven.
https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/cau/ls/xmg2
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
Předmět seznámí studenty s základy programování v jednom z nejrozšířenějších moderních programovacích jazyků - Python.
[1] The Python Tutorial https://docs.python.org/3/tutorial/index.html
Seminář ukazuje, jak lze systém počítačové algebry využít k hlubšímu pochopení probírané látky a k analytickému (případně numerickému) řešení úloh, s nimiž se studující setkávají.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii a dalších.
Inferenční statistika. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné veličiny a jejich charakteristiky. Základní metody matematické statistiky. Lineární regrese.
Základní kurz numerických výpočtů pro aplikované úlohy.
Předmět je zaměřen na studium kvalitativních vlastností matematických modelů přenosu tepla a vlhkosti v porézních materiálech. Přednášky jsou věnovány odvození modelů transportních procesů ve vícefázových systémech a řešení odpovídajících počátečně-okrajových problémů. Hlavní témata (osnova) předmětu: Bilanční rovnice, bilance hmoty a energie. Bilanční rovnice ve vícefázových systémech, přenos tepla a hmoty v porézních materiálech. Konstitutivní rovnice, Darcyho zákon, Fourierův zákon, Fickův zákon, stavové rovnice, tepelně vlhkostní parametry v transportních modelech. Matematická formulace problému, počáteční a okrajové podmínky. Rotheho metoda, Faedova-Galerkinova metoda. Řešení eliptických problémů generovaných metodou časové diskretizace. Existenční a konvergenční věta pro abstraktní parabolický problém. Aplikace na zjednodušené modely vedení tepla a izotermální proudění vlhkosti v porézních materiálech. Sdružený transport tepla a vlhkosti v porézních materiálech.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Birkhäuser Basel, 2013.
[3] K. Rektorys, The Method of Discretization in Time and Partial Differential Equations, Springer, 1982.
[4] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. SNTL, 1985.
[5] Doporučená literatura:
[6] G.F. Pinder, W.G. Gray, Essentials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
[7] R. Černý, P. Rovnaníková, Transport Processes in Concrete, CRC Press, 2002.
The subject is focused on qualitative properties of mathematical models of heat and moisture transport in porous materials. The lectures are devoted to derivation of models of transport processes in multiphase systems and solutions of corresponding initial-boundary value problems. The main topics of the subject: Balance equations, mass balance equations, energy balance equations, balance equations in multi-phase systems, heat and mass transport in porous materials, constitutive equations, Darcy’s law, Fourier’s law, Fick’s law, state equations, hygro-thermal parameters in transport models. Mathematical formulation of the problem, initial and boundary conditions. The method of Rothe, Faedo-Galerkin method. Solutions of elliptic problems generated by the method of discretization in time, existence and convergence theorem for the abstract parabolic problem, applications on simplified models of heat transport and isothermal moisture flow in porous materials. Coupled heat and moisture transport in porous materials.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění matematicky zaměřené práce nabízí systém Maple. Účastníci získají elementární osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Rozdíly mezi systémem počítačové algebry (Computer Algebra System, CAS) a numericky orientovaným softwarem (např. Matlab). Jádro Maple a knihovny (packages). Dvě základní formy interakce s prostředím Maple – worksheet a document, různé módy interakce (výběr z hlavního menu, kontextové menu, textové příkazy). Systém nápovědy. Základní pojmy a operace: proměnná, výraz, funkce, procedura, úpravy výrazů a funkcí, derivace, integrace, cykly, podmíněné příkazy, zavádění omezujících předpokladů, funkce definované po částech. Grafy funkcí jedné proměnné, dvou proměnných. Kombinování více grafů do jednoho obrázku, anotace grafů. Nastavení barev, typu a velikosti písma. Export obrázků v různých grafických formátech. Práce s pokročilejšími matematickými nástroji: řešení obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční i okrajové úlohy), lineární algebra. Možnosti numerických výpočtů. Důležitou součástí je samostatná seminární práce posluchačů motivovaná tématem (třeba jen dílčím) jejich disertační práce.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Maple.
[3] Elektronické příručky volně dostupné na webových stránkách fy Maplesoft https://www.maplesoft.com/documentation_center/
[4] J. Urbánek: Matematika s programem Maple, MU Brno, 2012
[5] Doporučená:
[6] J. Hřebíček, Z. Pospíšil, J. Urbánek: Úvod do matematického modelování s využitím Maple, MU Brno, 2010, ISBN 978-80-7204-691-1
The goal is to make students familiar with basic mathematical tools provided by the computer algebra system (CAS) Maple. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Differences between CAS and numerical software (Matlab, for instance). Maple core and packages. Maple worksheet and document modes; interaction with the user – palettes, context menu, line commands. Help system. Basic terms and operations: variable, expression, function, procedure, symbolic manipulation with expressions and functions, differentiation, integration, loops, conditional execution, assumptions, etc. Plots and animations, customizing plots (color, text, font, etc.), multiple plots. Exporting. Advanced tools: solving ordinary differential equations, initial and boundary value, problems, linear algebra. Numerical calculation. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tématické okruhy jsou: Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav Řešení problému vlastních čísel Aproximace funkcí Numerická kvadratura Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan:, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. Solving nonlinear equations and their systems Eigenvalue problem Approximation of functions Numerical quadrature Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] G. I. Marčuk: Metody numerické matematiky, Academia, 1987
[6] Doporučená literatura:
[7] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Cílem je seznámit posluchače s některými kvalitativními vlastnostmi obyčejných diferenciálních rovnic a také s konceptem dynamického systému. Obsah: Lineární systémy, nelineární systémy - lokální teorie, nelineární systémy – globální teorie, nelineární systémy - vybrané kapitoly bifurkační teorie
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer, Third Edition, 2000.
The course covers selected chapters from the qualitative theory of ordinary differential equations and also of dynamical systems. Contents: Linear systems, nonlinear systems – local theory, nonlinear systems – global theory, nonlinear systems - selected topics of bifucation theory.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Cílem je seznámit posluchače s vybranými kapitolami teorie dynamických systémů. Obsah: Systémy se stabilním asymptotickým chováním, lineární zobrazení a lineární diferenciální rovnice, rekurence a rovnoměrné rozdělení, konzervativní systémy, jednoduché systémy s komplikovanou orbitální strukturou, entropie a chaos, hyperbolické dynamiky, homoklinické trajektorie, paradoxní atraktory. Kapitoly z ergodické teorie a topologických dynamik
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: B. Haselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics (with a panorama of recent developments), Cambridge University Press, New York, 2003.
[3] A. Katok., B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems,
[4] Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
The course covers selected topics of the theory of dynamical systems. Contents: Systems with stable asymptotic behavior, linear maps and linear differential equations, recurrence and equidistribution, conservative systems, simple systems with complicated orbit structure, entropy and chaos, hyperbolic dynamics, homoclinic tangles, strange attractors.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Fyzikální odvození typických nerovnovážných úloh fyziky spojitých prostředí, formulace a interpretace počátečních a okrajových podmínek, klasifikace rovnic (parabolické, hyperbolické), metody řešení (Galerkin, časová diskretizace) včetně rekapitulace základní teorie Sobolevových prostorů a vět o vnoření, kvalitativní vlastnosti řešení jako např. stabilita versus nestabilita trajektorií, vznik rázových vln, systémy s pamětí.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda, Parciální diferenciální rovnice II: Evoluční rovnice. Matematika pro vysoké školy technické. SNTL Praha, 1986.
Physical derivation of typical nonequilibrium problems in continuum physics, formulation and interpretation of initial and boundary conditions, classification of PDEs (parabolic, hyperbolic), solution methods (Galerkin, time discretization) including a survey of the basic theory of Sobolev spaces and embedding theorems, qualitative properties of solutions as, e. g., stability or instability of solution trajectories, occurrence of shock waves, or systems with memory.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Přednášky budou věnovány studiu Hilbertových a Banachových prostorů a operátorů na nich s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Řekneme si něco o základních větách funkcionální analýzy, tj. Hahnova-Banachova, Banachova-Steinhausova věta a věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Boudou zavedeny pojmy duál a reflexivita, kvadratický funkcionál, dokázána věta o minimu a souvislost s operátorovou rovnicí. Dále dokážeme Rieszovu větu o reprezentaci a Laxova-Milgramovu větu. Zavedeme slabou konvergenci a dokážeme větu o slabé kompaktnosti jednotkové koule. Ukážeme si, že konvexní spojitý koercivní funkcionál na reflexivním prostoru má minimum. Zmíníme Browderovu větu o monotónních operátorech. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of Hilbert and Banach spaces and operators on them with regard to applications in the theory of partial differential equations. We say basic theorems of the functional analysis, Hahn-Banach''s, Banach-Steinhaus''s theorem, and the theorem on open mapping and on the closed graph. The concept of dual space and reflexivity, the quadratic functional, the theorem about the minimum and the relation with the operator equation have been introduced. Furthermore, we can prove Riesz''s theorem on representation and Lax-Milgram''s theorem. We will introduce a weak convergence and we will prove a weak compactness of the unit ball. We show that the convex continuous coercive functional in the reflexive Banach space has a minimum. Let''s mention Browder''s theorem about monotone operators. Finally, we will show applications on elliptical problems.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Metrika a topologie euklidovských prostorů. Příklady fraktálních množin: Cantorova množina, Sierpinského trojúhelník a koberec, Kochova křivka, Mengerova houba. Elementární teorie míry. Lebesgueova míra, Hausdorffova míra. Box-counting a Hausdorffova dimenze. Výpočet dimenze. Příklady. Samopodobné množiny. Iterated function systems. Hutchisonův operátor. Atraktor. Věta o kolaci. Barnsleyovo kapradí a další samoafinní množiny.
Metric and topology of Euclidean spaces. Examples of fractal sets: Cantor set, Sierpinski triangke and carpet, Koch curve, Menger sponge. Elementary measure theory. Lebesgue measure, Hausdorff measure. Box-counting and Hausdorff dimension. Calculation of dimension. Examples. Self-similar sets. Iterated function systems. Hutchison operator. Attractors. Collation Theorem. Barnsley fern and other self-affine sets.
Geostatistika se zabývá odhady a předpovědí stochastických jevů na Zemi, pracuje s polohově lokalizovanými daty tzv. geodaty a aplikuje obecné statistické postupy na modelování a vyvozování závěrů o geostatistických problémech.
Povinná literatura:
[1] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
Geostatistics is concerned with the estimation and prediction problems for stochastic phenomena on the Earth, using data obtained at a limited number of spatial locations called geodata. It refers to the application of general statistical principles of modeling and inference to geostatistical problems.
Povinná literatura:
[1] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
Cílem předmětu je uvést posluchače doktorandského studia do problematiky parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Obsahem předmětu bude: Laplaceova a Poissonova rovnice jakožto matematické modely ustáleného rozložení teploty v homogenním tělese. Klasická formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Dirichletova, Neumannova a Newtonova okrajová podmínka. Kvalitativní vlastnosti řešení Laplaceovy a Poissonovy rovnice, princip maxima, Harnackova nerovnost. Apriorní odhady řešení a odhady řešení v okolí hranice. Zobecnění kvalitativní teorie řešení pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
The aim of this course is to provide doctoral students with an introduction in the theory of elliptic partial differential equations. The subjects of study are the following: the Laplace and Poisson equations, classical formulation of a boundary condition for the Laplace and Poisson equations, the Dirichlet, Neumann and Newton boundary conditions. Qualitative properties of solutions to the Laplace’s and Poisson’s equations, maximum principle, the Harnack inequality. A priory estimates of solutions and behavior of solutions near the boundary. Generalization of the qualitative theory of solutions to Laplace’s and Poisson’s equations for linear elliptic second order equations.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Topologie a metrika v rovině a prostoru a euklidovských prostorech; konvergence, spojité funkce a zobrazení. Metrické prostory. Topologie metrických prostorů, konvergence, spojité funkce a zobrazení, Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Úplné metrické prostory, Banachovo lemma o pevném bodu. Kompaktní metrické prostory. Kompaktnost v euklidovských prostorech. Lipschitzovské a holderovské funkce. Topologie na množině. Otevřené, uzavřené množiny, uzávěr, hranice. Báze. Spojité funkce a zobrazení. Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Kartézské součiny, projekce. Souvislé a totálně nesouvislé prostory. Kompaktnost. Tichonovova věta pro konečně mnoho prostorů. Věta Arzelá-Ascoli. Stoneova-Weierstrassova věta.
Topology and metric in the plane and Euclidean spaces; convergence, continuous functions and mappings. Metric spaces. Topology of metric spaces, convergence, continuous functions and mappings, Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Complete metric spaces, Banach Fixed Point Lemma. Compact metric spaces. Compactness in Euclidean spaces. Lipschitz and Holder functions. Topology on a set. Open and closed sets, closure, boundary. Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Cartesian products, projections. Connected and totally disconnected spaces. Compactness. Tychonoff Theorem for finitely many spaces. Arzelá-Acoli Theorem. Stone-Weierstrass Theorem.
Hilbertovy prostory Bilinearní formy a funkcionály Kvadraticky funkcionál, symetrie, positivní definitnost, věta o minimu a souvislost s rovnicí Rieszova věta a Laxova-Milgramova věta Metoda konečných prvků, konvergence (obecně i pro nesymetrický operátor)- Rieszova a Galerkinova metoda Může konvergovat jakkoliv pomalu Za lepší regularity konverguje lépe Metoda nejmenších čtverců Variační zločiny Volba bázových funkcí: h-verze, p-verze, hp-verze, hierarchické báze, kaskáda Konstrukce lineárního systému Metody řešení vzniklých soustav - přímé postupy - iterativní postupy - možnosti předpodmínění
Hilbert''s spaces Bilinear forms and functionals Quadratic functional, symmetry, positive definitness, theorem about the minimum and relation to the equation Riesz''s theorem and Lax-Milgram''s theorem Finite element method, convergence (generally for nonsymmetric operator) - Riesz‘s and Galerkin‘s method It can converge slowly Better regularity converges better The least square method Variational crimes Selection of base functions: h-version, p-version, hp-version, hierarchical base, cascade Linear system preparation Methods of solution of the resulting systems - direct procedures - iterative procedures - possibilities of preconditioning
Cílem je seznámit posluchače se základními postupy při hledáni minima reálné funkce jedné proměnné nebo více proměnných, a to jak bez omezení, tak s omezeními. Získané poznatky si posluchači procvičí na úlohách řešených samostatně softwarem nebo programovacím jazykem, který si zvolí (Matlab, SciLab, Octave, Python, C, Fortran atd.). Obsah: Minimalizace funkcí jedné reálné proměnné. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných bez omezení. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda sdružených směrů, kvazinewtonovské metody. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných s omezeními. Lagrangeovy multiplikátory. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda penalty, metoda aktivní množiny omezení, metoda projekce gradientu, metoda SQP (Sequential Quadratic Programming), metoda vnitřního bodu. Úvod do lineárního programování, simplexová metoda
[1] Povinná:
[2] D. G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, Springer, Cham, 2016
[3] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, New York, 2006 E. G. Birgin, J. M. Martínez: Practical Augmented Lagrangian Methods for Constrained Optimization,SIAM, Philadelphia, 2014
[4] Doporučená:
[5] L. Lukšan: Numerické optimalizační metody, Technical report No. 1152, Ústav informatiky AV ČR, Praha, 2017
[6] http://www.cs.cas.cz/luksan/lekce4.pdf
The goal is to make students familiar with common methods for the minimization of functions of one or several real variables. Unconstrained as well as constrained minimization are considered. By using software tools (Matlab, SciLab, Octave, Python, etc.), course participants are expected to present a solution to a minimization problem motivated by the subject of their research. Topics: Minimization of functions of one real variable. Unconstrained minimization of functions of several real variables. Conditions for local optimality. Conjugate gradient method, quasi-Newton methods. Constrained minimization of functions of several real variables. Lagrange multipliers. Conditions for local optimality. Penalty method, active set method, gradient projection method, SQP method (Sequential Quadratic Programming). Introduction to linear programming, simplex method.
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s moderními metodami parciálních diferenciálních rovnic. Obsahem předmětu bude: Zavedení pojmu zobecněná derivace a definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Variační formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Laxovo- Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost slabého řešení okrajové úlohy. Úvod do problematiky regularrity slabého řešení, globální a vnitřní regularita. Greenův operátor,. Zobecnění moderních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
Povinná literatura:
[1] Gilbarg, David; Trudinger, Neil. S.: Elliptic partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[2] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012.
Cílem předmětu je odvození matematických modelů ustáleného i neustáleného proudění nestlačitelných tekutin. Obsahem předmětu je: Základní vlastnosti vektorového a tenzorového počtu, základní funkční prostory (Lebesgueovy a Sobolevovy prostory) a některé známé věty integrálního počtu, které budou aplikovány pro odvození matematických modelů (Greenova věta, Stokesova věta, Gaussova-Ostrogradského věta). Pojem kontinua a základní kinematické pojmy, jako jsou tenzor deformací a tenzor malých deformací, tenzor rychlosti deformací, Eulerův a Lagrangeův popis pohybu částic, Reynoldsova transportní věta. Objemové síly, plošné síly, tenzor napětí a jeho vlastnosti ( symetrie). Konstitutivní rovnice, Stokesovská tekutina. Základní typy stokesovských tekutin, ideální tekutina, newtonovská tekutina, tlak tekutiny a dynamický tenzor napětí. Odvození matematických modelů proudění nestlačitelné tekutiny, formulace okrajové úlohy pro ustálené a počátečně-okrajové úlohy pro neustálené proudění nestlačitelné tekutiny.
[1] Brdička, Miroslav; Samek, Ladislav; Sopko, Bruno.: Mechanika kontinua. ČSAV, Praha 2000.
[2] Feistauer, M. Mathematical methods in fluid dynamics. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 67. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[3] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidellberg, 2012.
[4] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
The aim of the subject is to derive mathematical models of steady and nonsteady flow of incompressible fluids. Course contents: Vector and tenzor calculus, function spaces (Lebesque and Sobolev spaces), some known theorems of integral calculus that will be applied to derive mathematical models (Green''s theorem, Stokes theorem, Gauss-Ostrograph''s theorem), continuum and its kinematics, tenzor of small deformations, tenzor of velocity of deformation, Eulerian and Lagrangian description of motion, Reynolds transport theorem, the volume forces, the surface forces, the stress tenzor and its properties, constitutive equations, Stokesian fluids, basic types of Stokesian fluids: ideal fluid, Newtonian fluid, the pressure, the dynamic stress tensor, mathematical models of flow of incompressible fluid, formulation of boundary value problems for steady and nonsteady flow of incompressible fluid.
Pojem časové řady. Stacionární časové řady. Základní charakteristiky a jejich odhady. ARMA modely. Frekvenční analýza časových řad. Pojem spektrální hustoty. Markovské posloupnosti s konečnou množinou stavů. MCMC a Metropolisův-Hastingsův algoritmus. Idea MCMC pro spojitou množinu stavů.
[1] Jiří Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL 1976.
[2] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series - Theory and Methods, Springer, 1991.
Notion of time series. Stationary time series. Basic characteristics and their estimates. ARMA models. Frequency analysis of time series. Markovian sequences with finite number of states. Stationary distribution and method MCMC. Idea of MCMC for a continuous set of states.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Rozdělení příbuzná s normálními (chí-kvadrát, t-rozdělení). Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. Teorie odhadů – metoda maximální věrohodnosti a metoda momentů. Bayesovy odhady. Metoda hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími parametry. Nelineární regrese. Lineární a nelineární model v rámci bayesovského odhadování.
[1] Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL 1985.
[2] Daniela Jarušková: Matematická statistika, skripta ČVUT, 2011.
[3] Anthony OHagan, Jonathan Forster: Kendall ´s advanced theory of statistics – Bayesian inference, Oxford University Press 1994
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Advanced mathematical statistics with engineering applications
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
Cílem je seznámit posluchače s některými nestochastickými metodami pro popis nejistoty v parametrech vstupujících do matematického modelu a pro získání informace o nejistotě ve veličině vystupující z modelu (quantity of interest). Obsah: Aleatorická a epistemická nejistota. Představení úloh s nejistými daty s důrazem na diferenciální rovnice. Různé přístupy ke kvantifikaci nejistot. Metoda nejhoršího a nejlepšího scénáře. Základní pojmy teorie fuzzy množin (funkce příslušnosti, alfa-řez, Zadehův princip rozšíření). Fuzzifikace, různé konstrukce funkce příslušnosti a její varianta v Information Gap Theory Y. Ben-Haima. Úvod do Dempsterovy-Shaferovy teorie (DST), funkce belief a plauzibility, Dempsterovo kombinační pravidlo. Pravděpodobnostně zaměřená interpretace DST. Aplikace na inženýrské úlohy s nejistými daty a s netriviálním stavovým problémem. Stavební kameny algoritmů pro jejich numerické řešení – minimalizace funkcí více proměnných, analýza citlivosti, metoda konečných prvků.
[1] Povinná:
[2] B. M. Ayyub, G. J. Klir: Uncertainty Modelling and Analysis in Engineering and Sciences, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2006
[3] B. Möller, M. Beer: Fuzzy Randomness – Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics, Springer, Berlin, 2010
[4] W. Fellin a kol. (ed.): Analyzing Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2005
[5] Doporučená:
[6] A. Bernardini, F. Tonon: Bounding Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2010
[7] I. Hlaváček, J. Chleboun, I. Babuška: Uncertain Input Data Problems and the Worst Scenario Method, Elsevier, Amsterdam, 2004.
The goal is to make students familiar with some non-stochastic methods for uncertainty quantification. Uncertainty is considered in parameters entering mathematical models. Consequently, the model output represented by a quantity of interest is also uncertain and this uncertainty is to be assessed. Topics: Aleatoric and epistemic uncertainty. Differential equations with uncertain data. Various approaches to uncertainty quantification. The worst- and best-case scenario method. Elements of fuzzy set theory (membership function, alpha-cut, Zadeh’s extension principle). Fuzzification, various definitions of membership functions, a connection to information gap theory by Y. Ben-Haim. An introduction to the Dempster-Shafer theory (DST), belief and plauzibility, Dempster’s rule of combination. Probabilistic interpretation of DST. Application to engineering problems with uncertain data and a non-trivial state problem. Tools for solving such problems – minimization algorithms, sensitivity analysis, finite element method.
Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Míka, S.: Matematická analýza III : tenzorová analýza , Plzeň : Západočeská univerzita, 1993.
[3] [2] Heinbockel, J. H.: Introduction to Tensosoučr Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[4] [3] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Pachová, Frey: Vektorová a tenzorová analýza, SNTL 1964
Je nutný kontakt s vyučujjícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Je nutné kontaktovat garanta předmětu.
[1] Je nutné kontaktovat garanta předmětu.
Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
[1] Je nutný kontakt s vyučujícím/garantem.
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Fotogrammetrie. Křivky, parametrický popis. Šroubové plochy. Kvadriky. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Další plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[6] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2019, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:
Nezařazeno:
[2] 0-01-03309-0
Povinná literatura:
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010
Nezařazeno:
[6] ISBN 978-80-01-04524-4
Doporučená literatura:
[7] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[8] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Kurz integrálního počtu funkcí jedné proměnné, diferenciálního počtu funkcí více proměnných a řešení základních typů obyčejných diferenciálních rovnic.
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'''' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
V rámci předmětu jsou vyloženy některé kapitoly z teorie pravděpodobnosti a vybrané statistické metody. Vyložená látka je ilustrována příklady se zaměřením na ekonomické aplikace a aplikace v teorii řízení. K řešení příkladů je využíván Excel a volně dostupný statistický software Jamovi.
[1] Jarušková, D. (2011): Pravděpodobnost a matematická statistika, Praha: ČVUT, Fakulta stavební
[3] Jarušková, D., Hála, M. (2011): Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Praha: ČVUT, Fakulta stavební
Základní kurz zaměřený na integrální počet funkcí jedné proměnné, diferenciální počet funkcí více proměnných a úvod do obyčejných diferenciálních rovnic.
Povinná literatura:
[1] Kočandrlová M., Černý J.: Geo-Matematika I, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2. vydání, 2020, ISBN 978-80-01-06671-3
[2] Charvát, J.; Kelar, V.; Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1
[3] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I, II Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.
[1] Basic study materials are lectures.
https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/bakalari/eng/ls/MT02/
[1] https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/bakalari/eng/ls/MT02/references
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.
Povinná literatura:
[1] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001 ISBN-13: 978-0486414546
[2] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing, ISBN-13: 978-1133103714
[3] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation, ISBN 9781421407944
Doporučená literatura:
[4] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003, ISBN 0387954104, 9780387954103
Pokročilé metody matematické statistiky. Sekvenční testy, bayesovské a robustni metody. Software R-projekt.
Povinná literatura:
[1] Wald Abraham: Sequential Analysis, Courier Corporation 2013,ISBN 978-0-486-61579-0
[2] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[3] Jurečková Jana and Picek Jan :Robust Statistical Methods with R,Chapman and Hall/CRC 2006,ISBN 978-1-58488-454-5
Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1G, popř. Matematika 2G.
[1] [1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, Prometheus Praha, 2000.
[2] [2] Pultarová, I., Novák, J., Novák, P.: Základy informatiky. Počítačové modelování v Matlabu, skripta FSv ČVUT v Praze, 2005.
[3] [3] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-matematika I, skripta FSv ČVUT v Praze, 2007.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 2 navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 3 navazuje na předměty Matematické metody ve fyzikální geodézii 1 a 2. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201 s.
Předmět je volitelným doplňkem předmětu 101KGA1. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky. Jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z 101KGA1.
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021, ISBN 978-80-01-06049-0
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KGA1
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2021
[2] Černý, J.: Konstruktivní geometrie – Křivky a plochy se softwarem Mathematica, doplňkové skriptum ČVUT, 1999
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
[1] Není pevně stanoven.
https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/cau/ls/xmg2
[1] https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/cau/ls/xmg2
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] [1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
[2] https://mat.fsv.cvut.cz/vyuka/cau/zs/xm1r
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] [1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
Seminář ukazuje, jak lze systém počítačové algebry využít k hlubšímu pochopení probírané látky a k analytickému (případně numerickému) řešení úloh, s nimiž se studující setkávají.
[1] [1] Webová stránka dr. A. Němečka http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html s odkazy na studijní materiály.
[2] [2] J. Hřebíček: Systémy počítačové algebry. Soubor PDF na http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[3] [3] Systém nápovědy, jenž je součástí sw Maple.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii a dalších.
[1] Základním studijním materiálem jsou přednášky předmětu.
Inferenční statistika. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné veličiny a jejich charakteristiky. Základní metody matematické statistiky. Lineární regrese.
[1] Jarušková D., Hála M.: Matematická statistika, skripta ČVUT.
[2] Též na webovské stránce D. Jaruškové.
Základní kurz numerických výpočtů pro aplikované úlohy.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizace získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a modul pro parametrické modelování Grasshopper.
[1] Rhinoceros - Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
[2] Rhinoceros: Uživatelská příručka
[3] http://moodle.cvut.cz
Předmět je zaměřen na studium kvalitativních vlastností matematických modelů přenosu tepla a vlhkosti v porézních materiálech. Přednášky jsou věnovány odvození modelů transportních procesů ve vícefázových systémech a řešení odpovídajících počátečně-okrajových problémů. Hlavní témata (osnova) předmětu: Bilanční rovnice, bilance hmoty a energie. Bilanční rovnice ve vícefázových systémech, přenos tepla a hmoty v porézních materiálech. Konstitutivní rovnice, Darcyho zákon, Fourierův zákon, Fickův zákon, stavové rovnice, tepelně vlhkostní parametry v transportních modelech. Matematická formulace problému, počáteční a okrajové podmínky. Rotheho metoda, Faedova-Galerkinova metoda. Řešení eliptických problémů generovaných metodou časové diskretizace. Existenční a konvergenční věta pro abstraktní parabolický problém. Aplikace na zjednodušené modely vedení tepla a izotermální proudění vlhkosti v porézních materiálech. Sdružený transport tepla a vlhkosti v porézních materiálech.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Birkhäuser Basel, 2013.
[3] K. Rektorys, The Method of Discretization in Time and Partial Differential Equations, Springer, 1982.
[4] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. SNTL, 1985.
[5] Doporučená literatura:
[6] G.F. Pinder, W.G. Gray, Essentials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
[7] R. Černý, P. Rovnaníková, Transport Processes in Concrete, CRC Press, 2002.
The subject is focused on qualitative properties of mathematical models of heat and moisture transport in porous materials. The lectures are devoted to derivation of models of transport processes in multiphase systems and solutions of corresponding initial-boundary value problems. The main topics of the subject: Balance equations, mass balance equations, energy balance equations, balance equations in multi-phase systems, heat and mass transport in porous materials, constitutive equations, Darcy’s law, Fourier’s law, Fick’s law, state equations, hygro-thermal parameters in transport models. Mathematical formulation of the problem, initial and boundary conditions. The method of Rothe, Faedo-Galerkin method. Solutions of elliptic problems generated by the method of discretization in time, existence and convergence theorem for the abstract parabolic problem, applications on simplified models of heat transport and isothermal moisture flow in porous materials. Coupled heat and moisture transport in porous materials.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tématické okruhy jsou: Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav Řešení problému vlastních čísel Aproximace funkcí Numerická kvadratura Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan:, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. Solving nonlinear equations and their systems Eigenvalue problem Approximation of functions Numerical quadrature Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] G. I. Marčuk: Metody numerické matematiky, Academia, 1987
[6] Doporučená literatura:
[7] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Cílem je seznámit posluchače s některými kvalitativními vlastnostmi obyčejných diferenciálních rovnic a také s konceptem dynamického systému. Obsah: Lineární systémy, nelineární systémy - lokální teorie, nelineární systémy – globální teorie, nelineární systémy - vybrané kapitoly bifurkační teorie
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer, Third Edition, 2000.
The course covers selected chapters from the qualitative theory of ordinary differential equations and also of dynamical systems. Contents: Linear systems, nonlinear systems – local theory, nonlinear systems – global theory, nonlinear systems - selected topics of bifucation theory.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Cílem je seznámit posluchače s vybranými kapitolami teorie dynamických systémů. Obsah: Systémy se stabilním asymptotickým chováním, lineární zobrazení a lineární diferenciální rovnice, rekurence a rovnoměrné rozdělení, konzervativní systémy, jednoduché systémy s komplikovanou orbitální strukturou, entropie a chaos, hyperbolické dynamiky, homoklinické trajektorie, paradoxní atraktory. Kapitoly z ergodické teorie a topologických dynamik
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: B. Haselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics (with a panorama of recent developments), Cambridge University Press, New York, 2003.
[3] A. Katok., B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems,
[4] Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
The course covers selected topics of the theory of dynamical systems. Contents: Systems with stable asymptotic behavior, linear maps and linear differential equations, recurrence and equidistribution, conservative systems, simple systems with complicated orbit structure, entropy and chaos, hyperbolic dynamics, homoclinic tangles, strange attractors.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Fyzikální odvození typických nerovnovážných úloh fyziky spojitých prostředí, formulace a interpretace počátečních a okrajových podmínek, klasifikace rovnic (parabolické, hyperbolické), metody řešení (Galerkin, časová diskretizace) včetně rekapitulace základní teorie Sobolevových prostorů a vět o vnoření, kvalitativní vlastnosti řešení jako např. stabilita versus nestabilita trajektorií, vznik rázových vln, systémy s pamětí.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda, Parciální diferenciální rovnice II: Evoluční rovnice. Matematika pro vysoké školy technické. SNTL Praha, 1986.
Physical derivation of typical nonequilibrium problems in continuum physics, formulation and interpretation of initial and boundary conditions, classification of PDEs (parabolic, hyperbolic), solution methods (Galerkin, time discretization) including a survey of the basic theory of Sobolev spaces and embedding theorems, qualitative properties of solutions as, e. g., stability or instability of solution trajectories, occurrence of shock waves, or systems with memory.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Přednášky budou věnovány studiu Hilbertových a Banachových prostorů a operátorů na nich s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Řekneme si něco o základních větách funkcionální analýzy, tj. Hahnova-Banachova, Banachova-Steinhausova věta a věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Boudou zavedeny pojmy duál a reflexivita, kvadratický funkcionál, dokázána věta o minimu a souvislost s operátorovou rovnicí. Dále dokážeme Rieszovu větu o reprezentaci a Laxova-Milgramovu větu. Zavedeme slabou konvergenci a dokážeme větu o slabé kompaktnosti jednotkové koule. Ukážeme si, že konvexní spojitý koercivní funkcionál na reflexivním prostoru má minimum. Zmíníme Browderovu větu o monotónních operátorech. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of Hilbert and Banach spaces and operators on them with regard to applications in the theory of partial differential equations. We say basic theorems of the functional analysis, Hahn-Banach's, Banach-Steinhaus's theorem, and the theorem on open mapping and on the closed graph. The concept of dual space and reflexivity, the quadratic functional, the theorem about the minimum and the relation with the operator equation have been introduced. Furthermore, we can prove Riesz's theorem on representation and Lax-Milgram's theorem. We will introduce a weak convergence and we will prove a weak compactness of the unit ball. We show that the convex continuous coercive functional in the reflexive Banach space has a minimum. Let's mention Browder's theorem about monotone operators. Finally, we will show applications on elliptical problems.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Metrika a topologie euklidovských prostorů. Příklady fraktálních množin: Cantorova množina, Sierpinského trojúhelník a koberec, Kochova křivka, Mengerova houba. Elementární teorie míry. Lebesgueova míra, Hausdorffova míra. Box-counting a Hausdorffova dimenze. Výpočet dimenze. Příklady. Samopodobné množiny. Iterated function systems. Hutchisonův operátor. Atraktor. Věta o kolaci. Barnsleyovo kapradí a další samoafinní množiny.
Metric and topology of Euclidean spaces. Examples of fractal sets: Cantor set, Sierpinski triangke and carpet, Koch curve, Menger sponge. Elementary measure theory. Lebesgue measure, Hausdorff measure. Box-counting and Hausdorff dimension. Calculation of dimension. Examples. Self-similar sets. Iterated function systems. Hutchison operator. Attractors. Collation Theorem. Barnsley fern and other self-affine sets.
Geostatistika se zabývá odhady a předpovědí stochastických jevů na Zemi, pracuje s polohově lokalizovanými daty tzv. geodaty a aplikuje obecné statistické postupy na modelování a vyvozování závěrů o geostatistických problémech. Témata: 1. Empirický a teoretický variogram 2. Metody odhadu teoretického variogramu 3. Anizotropní variogram 4. Krigování 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validace 9. Bayesovske metody v krigování 10. Robustní metody v krigování 11. Práce s geostatistickými balíčky softwaru R-project
Geostatistics is concerned with the estimation and prediction problems for stochastic phenomena on the Earth, using data obtained at a limited number of spatial locations called geodata. It refers to the application of general statistical principles of modeling and inference to geostatistical problems. 1. Empirical and theoretical variogram 2. Methods of estimation of theoretical variogram 3. Anizotropic variogram 4. Kriging 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validation 9. Bayesian methods in kriging 10. Robust methods in kriging 11. Geostatistical packages of softwar R-project
Cílem předmětu je uvést posluchače doktorandského studia do problematiky parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Obsahem předmětu bude: Laplaceova a Poissonova rovnice jakožto matematické modely ustáleného rozložení teploty v homogenním tělese. Klasická formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Dirichletova, Neumannova a Newtonova okrajová podmínka. Kvalitativní vlastnosti řešení Laplaceovy a Poissonovy rovnice, princip maxima, Harnackova nerovnost. Apriorní odhady řešení a odhady řešení v okolí hranice. Zobecnění kvalitativní teorie řešení pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
The aim of this course is to provide doctoral students with an introduction in the theory of elliptic partial differential equations. The subjects of study are the following: the Laplace and Poisson equations, classical formulation of a boundary condition for the Laplace and Poisson equations, the Dirichlet, Neumann and Newton boundary conditions. Qualitative properties of solutions to the Laplace’s and Poisson’s equations, maximum principle, the Harnack inequality. A priory estimates of solutions and behavior of solutions near the boundary. Generalization of the qualitative theory of solutions to Laplace’s and Poisson’s equations for linear elliptic second order equations.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Topologie a metrika v rovině a prostoru a euklidovských prostorech; konvergence, spojité funkce a zobrazení. Metrické prostory. Topologie metrických prostorů, konvergence, spojité funkce a zobrazení, Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Úplné metrické prostory, Banachovo lemma o pevném bodu. Kompaktní metrické prostory. Kompaktnost v euklidovských prostorech. Lipschitzovské a holderovské funkce. Topologie na množině. Otevřené, uzavřené množiny, uzávěr, hranice. Báze. Spojité funkce a zobrazení. Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Kartézské součiny, projekce. Souvislé a totálně nesouvislé prostory. Kompaktnost. Tichonovova věta pro konečně mnoho prostorů. Věta Arzelá-Ascoli. Stoneova-Weierstrassova věta.
Topology and metric in the plane and Euclidean spaces; convergence, continuous functions and mappings. Metric spaces. Topology of metric spaces, convergence, continuous functions and mappings, Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Complete metric spaces, Banach Fixed Point Lemma. Compact metric spaces. Compactness in Euclidean spaces. Lipschitz and Holder functions. Topology on a set. Open and closed sets, closure, boundary. Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Cartesian products, projections. Connected and totally disconnected spaces. Compactness. Tychonoff Theorem for finitely many spaces. Arzelá-Acoli Theorem. Stone-Weierstrass Theorem.
Hilbertovy prostory Bilinearní formy a funkcionály Kvadraticky funkcionál, symetrie, positivní definitnost, věta o minimu a souvislost s rovnicí Rieszova věta a Laxova-Milgramova věta Metoda konečných prvků, konvergence (obecně i pro nesymetrický operátor)- Rieszova a Galerkinova metoda Může konvergovat jakkoliv pomalu Za lepší regularity konverguje lépe Metoda nejmenších čtverců Variační zločiny Volba bázových funkcí: h-verze, p-verze, hp-verze, hierarchické báze, kaskáda Konstrukce lineárního systému Metody řešení vzniklých soustav - přímé postupy - iterativní postupy - možnosti předpodmínění
Hilbert's spaces Bilinear forms and functionals Quadratic functional, symmetry, positive definitness, theorem about the minimum and relation to the equation Riesz's theorem and Lax-Milgram's theorem Finite element method, convergence (generally for nonsymmetric operator) - Riesz‘s and Galerkin‘s method It can converge slowly Better regularity converges better The least square method Variational crimes Selection of base functions: h-version, p-version, hp-version, hierarchical base, cascade Linear system preparation Methods of solution of the resulting systems - direct procedures - iterative procedures - possibilities of preconditioning
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s moderními metodami parciálních diferenciálních rovnic. Obsahem předmětu bude: Zavedení pojmu zobecněná derivace a definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Variační formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Laxovo- Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost slabého řešení okrajové úlohy. Úvod do problematiky regularrity slabého řešení, globální a vnitřní regularita. Greenův operátor,. Zobecnění moderních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
Povinná literatura:
[1] Gilbarg, David; Trudinger, Neil. S.: Elliptic partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[2] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012.
Cílem předmětu je odvození matematických modelů ustáleného i neustáleného proudění nestlačitelných tekutin. Obsahem předmětu je: Základní vlastnosti vektorového a tenzorového počtu, základní funkční prostory (Lebesgueovy a Sobolevovy prostory) a některé známé věty integrálního počtu, které budou aplikovány pro odvození matematických modelů (Greenova věta, Stokesova věta, Gaussova-Ostrogradského věta). Pojem kontinua a základní kinematické pojmy, jako jsou tenzor deformací a tenzor malých deformací, tenzor rychlosti deformací, Eulerův a Lagrangeův popis pohybu částic, Reynoldsova transportní věta. Objemové síly, plošné síly, tenzor napětí a jeho vlastnosti ( symetrie). Konstitutivní rovnice, Stokesovská tekutina. Základní typy stokesovských tekutin, ideální tekutina, newtonovská tekutina, tlak tekutiny a dynamický tenzor napětí. Odvození matematických modelů proudění nestlačitelné tekutiny, formulace okrajové úlohy pro ustálené a počátečně-okrajové úlohy pro neustálené proudění nestlačitelné tekutiny.
[1] Brdička, Miroslav; Samek, Ladislav; Sopko, Bruno.: Mechanika kontinua. ČSAV, Praha 2000.
[2] Feistauer, M. Mathematical methods in fluid dynamics. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 67. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[3] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidellberg, 2012.
[4] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
The aim of the subject is to derive mathematical models of steady and nonsteady flow of incompressible fluids. Course contents: Vector and tenzor calculus, function spaces (Lebesque and Sobolev spaces), some known theorems of integral calculus that will be applied to derive mathematical models (Green's theorem, Stokes theorem, Gauss-Ostrograph's theorem), continuum and its kinematics, tenzor of small deformations, tenzor of velocity of deformation, Eulerian and Lagrangian description of motion, Reynolds transport theorem, the volume forces, the surface forces, the stress tenzor and its properties, constitutive equations, Stokesian fluids, basic types of Stokesian fluids: ideal fluid, Newtonian fluid, the pressure, the dynamic stress tensor, mathematical models of flow of incompressible fluid, formulation of boundary value problems for steady and nonsteady flow of incompressible fluid.
Pojem časové řady. Stacionární časové řady. Základní charakteristiky a jejich odhady. ARMA modely. Frekvenční analýza časových řad. Pojem spektrální hustoty. Markovské posloupnosti s konečnou množinou stavů. MCMC a Metropolisův-Hastingsův algoritmus. Idea MCMC pro spojitou množinu stavů.
[1] Jiří Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL 1976.
[2] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series - Theory and Methods, Springer, 1991.
Notion of time series. Stationary time series. Basic characteristics and their estimates. ARMA models. Frequency analysis of time series. Markovian sequences with finite number of states. Stationary distribution and method MCMC. Idea of MCMC for a continuous set of states.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Rozdělení příbuzná s normálními (chí-kvadrát, t-rozdělení). Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. Teorie odhadů – metoda maximální věrohodnosti a metoda momentů. Bayesovy odhady. Metoda hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími parametry. Nelineární regrese. Lineární a nelineární model v rámci bayesovského odhadování.
[1] Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL 1985.
[2] Daniela Jarušková: Matematická statistika, skripta ČVUT, 2011.
[3] Anthony OHagan, Jonathan Forster: Kendall ´s advanced theory of statistics – Bayesian inference, Oxford University Press 1994
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Random sample. Idea of statistical inference. Random variables and their distribution. Normal distribution. Central limit theorem. Multiple distribution. Independence. Correlation. Theory of estimation. – point and interval estimate. Hypotheses testing. Test statistic and statistical decision. P-value. Simple linear regression – parameters estimation, hypotheses testing, prediction intervals, regression diagnostic. Simulation independent realizations of random variables.
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy matematické teorie Navierových-Stokesových rovnic pro nestlačitelnou tekutinu. Obsahem předmětu je: Popis Navierových-Stokesových rovnic, zavedení základních pojmů, definice základních funkčních prostorů, popis základních vztahů mezi definovanými funkčními prostory, definice klasického a slabého řešení, vyloučení tlaku z definice slabého řešení, Helmholtzova dekompozice, některé elementární vlastnosti slabého řešení. Důkaz existence slabého řešení pomocí Galerkinovy metody v obecné oblasti, diskuse několika různých definic slabého řešení, další kvalitativní vlastnosti slabého řešení, energetická nerovnost, silná energetická nerovnost, podmínky pro energetickou rovnost, problém jednoznačnosti a regularity, základní věta o jednoznačnosti, role počátečních podmínek, stručná diskuse asymptotického chování řešení, stručná diskuse tzv. large solutions, stručná diskuse různých důkazů existence slabého řešení, tzv. mild solutions.
The goal of the subject is to inform students about the basics the mathematical theory of the Navier-Stokes equations for the incompressible fluid. The content of the subject: The description of the Navier-Stokes equations, the introduction of the fundamental concepts, the definition of the fundamental function spaces, the description of the basic relations between the function spaces, the definition of the classical and weak solution, the expulsion of the pressure from the definition of the weak solution, Helmholtz decomposition, some elementary properties of the weak solution, the proof of the existence of the weak solutions by the Galerkin method in a general domain, the discussion of several different definitions of the weak solution, qualitative properties of the weak solution, energy inequality, strong energy inequality, the sufficient conditions for the energy equality, the problem of the uniqueness and regularity, the fundamental uniqueness theorem, the role of the initial conditions, brief discussion of the asymptotic behavior of the solution, brief discussion of large solutions, brief discussion of various proofs of the existence of the weak solution, mild solutions.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Basic knowledge about the descriptive and inferential statistics
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Science, Duxbury
Advanced mathematical statistics with engineering applications
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
Předmět seznamuje studenty se základními výpočetními metodami navazujícími na úlohy lineární algebry, které vznikají v inženýrských úlohách. Budou postupně probrána následující témata. Základní pojmy lineární algebry: vektor, matice, soustava lineárních rovnic, řešitelnost. Normy vektorů a matic, vlastní čísla a vlastní vektory matic. Spektrum matice. Souřadnice vzhledem k bázi, změna báze. Schurův doplněk. Symetrické a pozitivně definitní matice. Gaussova eliminace, LU rozklad. Maticové iterační metody. Jacobiova metoda. Gaussova-Seidelova metoda. Gradientní metody. Metoda největšího spádu. Metoda sdružených gradientů. Kriteria a rychlosti konvergence uvedených metod. Podmíněnost soustavy lineárních rovnic. Metody předpodmínění. Neúplný LU rozklad. Výpočet vlastního vektoru matice. Gramova-Schmidtova ortogonalizace. Diskrétní Fourierova transformace a její vlastnosti. Cirkulentní matice.
Students are introduced to basic computational methods related to the problems of linear algebra which can be obtained in engineering problems. The following topics are studied. Basics of linear algebra: vectors, matrices, systems of linear equations, solvability. Vector and matrix norms, eigenvalues and eigenvectors. Spectra of matrices. Coordinates with respect to a basis; change of a basis. Schur complement. Symmetric and positive definite matrices. Gauss elimination. LU decomposition. Matrix iterative methods: Jacobi method, Gauss-Seidel method. Gradient methods: method of steepest descent, conjugate gradient method. Convergence criteria and convergence rate. Conditioning of a system of linear equation. Preconditioning methods. Incomplete LU decomposition. Eigenproblems. Gram-Schmidt orthogonalization. Discrete Fourier transformation and its properties. Circulent matrix.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění numericky zaměřené práce nabízí prostředí a jazyk Matlab. Účastníci získají osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Interaktivní prostředí sw Matlab, systém „toolboxů“. Elementární vlastnosti jazyka Matlab, vektory, matice, struktury, typy proměnných a funkcí. Orientace na uživatelský přístup a vědecko-technické výpočty. Vytváření a vlastnosti M-souborů. Numerické iterační algoritmy pro řešení nelineárních rovnic a soustav lineárních rovnic. Aproximace a interpolace. Metoda nejmenších čtverců a minimalizace funkcí více proměnných. Numerická integrace. Grafické vstupy a výstupy. Symbolické operace. Seznámení se z některými z aplikačních rozšíření, např. Partial Differential Equation Toolbox, Optimization Toolbox, Global Optimization Toolbox.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Matlab (anglicky).
[3] J. Koláček, K. Konečná: Jak pracovat s MATLABem, Masarykova univerzita, Brno, 2017,
[4] https://www.fce.vutbr.cz/MAT/konecna.k/vyuka/MUNI/VMS/Navod_MATLAB.pdf
[5] T. Kozubek a kol.: Lineární algebra s Matlabem, VŠB-TU Ostrava a ZUČ v Plzni, 2012, http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/linearni_algebra_s_matlabem.pdf
[6] Doporučená:
[7] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – počítačové modelování v MATLABU. Česká technika - nakladatelství ČVUT (CTN), Praha, 2005.
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language,ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale, John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach,
[5] Doporučená literatura:
[6] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
Basic principles of object-oriented programming (C ++, D, ADA, Fortran), algorithms design, component programming, coexistence of different platforms, portability of programs on various hardware platforms, security aspects of programming.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language, ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale, John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach, Jones and Bartlett Publishers,
[4] 2007
[6] Doporučená literatura:
[7] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
[8] Pecinovsky, Rudolf : OOP – Learn Object Oriented Thinking & Programming. Bruckner Publishing. ISBN 978-80-
Předmět je zaměřen na diferenciální rovnice a techniky jejich řešení. Mnoho jevů v inženýrských vědách lze popsat pomocí diferenciálních rovnic. Proto vědci a inženýři musí znát, jak modelovat praktické úlohy v jazyce difereciálních rovnic a jak tyto rovnice řešit. Obsahem předmětu bude: základní typy diferenciálních rovnic prvního řádu, jejich vlastnosti i způsoby jejich řešení (separace proměnných, homogenní, lineární rovnice, Bernoulliova a Riccatiova rovnice, exaktní rovnice), diferenciální rovnice n-tého řádu, závislost řešení na parametrech a na počátečních podmínkách, úlohy s okrajovými podmínkami, soustavy obyčejných diferenciálních rovnic.
This course provides an introduction to the mathematical theory of ordinary differential equations and methods of finding their solutions. Many models in engeneering can be expressed as differential equations. Knowledge how to select and use an apropriate model and techniques for finding its solutions is essential for scientists and engineers. The course covers core topics such as first order differential equations (separable equations, exact equations, homogeneous equations, linear equations, the Bernoulli and Riсcati equations), initial and boundary value problems, linear higher-order differential equations, systems of differential equations.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Přednášky budou věnovány studiu prostorů funkcí s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Boudou zavedeny Lebesgueovy a Sobolevovy prostory. Bude dokázána věta o hustotě hladkých funkcí a věta o rozšíření operátoru z husté podmnožiny. Dále bude zavedena Hausdorffova míra a definovány lebesgueovy prostory na hranici a prostory neceločíselného řádu. Budou dokázány věty o vnoření, o stopách, inverzní věta o stopách a kompaktní vnoření. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of function spaces with respect to applications in the theory of partial differential equations. The Lebesgue and Sobolev spaces will be introduced. The teorem about the density of smooth functions and the theorem about extending the operator from a dense subset will be proved. In addition, the Hausdorff measure will be introduced, and Lebesgue spaces on the boundary and non-integer order spaces will be defined. Proofs of embeddings, trace, inverse traces, and compact embeddings will be proved. Finally, we will show applications on elliptic problems.
Cílem je seznámit posluchače s důležitými částmi teorie nezáporných matic a také positivních operátorů. Obsah: Matice zachovávající kužel, nezáporné matice, semigrupy nezáporných matic, iterativní metody řešení lineárních systémů, konečné markovovské řetězce, příklady. Positivní operátory, spektrální teorie positivních operátorů, příklady a ukázky aplikací.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: A. Berman, J. Plemmons, Nonnegative matrices in the Mathematical Sciences, Classics in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia 1994.
[3] M. A. Krasnoselskij, Je. A. Lifshits, A. V. Sobolev, Positive Systems – The Method of Positive Operators, Sigma Series in Applied Mathematics 5, Heldermann Verlag Berlin, 1989.
The course covers selected topics of the theory of nonnegative matrices and also of positive operators. Contents: Matrices that leave a cone invariant, nonnegative matrices, semigroups of nonnegative matrices, iterative methods for linear systems, finite Markov chains, examples. Positive operators, spectral theory of positive operators, examples and possible applications.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. • Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. • Metoda hlavních komponent. • Časové řady v časové a frekvenční doméně. • Bayesovské postupy. • Vybrané Monte Carlo metody.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. • Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. • Metoda hlavních komponent. • Časové řady v časové a frekvenční doméně. • Bayesovské postupy. • Vybrané Monte Carlo metody.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s problematikou regularity slabých řešení Navierových-Stokesových rovnic (NSR) pro nestlačitelnou tekutinu. Obsahem předmětu je: Popis NSR, zavedení základních pojmů matematické teorie NSR, definice základních funkčních prostorů, definice slabého řešení, stručný důkaz existence slabého řešení pomocí Galerkinovy metody, základní věta o struktuře, epochy iregularity, Hausdorffova míra a dimenze, parabolická míra, velikost množiny časových singulárních bodů, definice tzv. vhodného řešení, regulární a singulární body, parciální regularita, lokální podmínky regularity, dimenze množiny singulárních bodů v časoprostoru, podmíněná regularita, Prodiovy-Serrinovy podmínky, podmíněná regularita založená na jedné nebo dvou komponentách rychlostního pole, podmíněná regularita založená na některých složkách gradientu rychlostního pole, podmíněná regularita založená na tlaku, gradientu tlaku, vířivosti a dalších veličinách.
The goal of the subject is to inform students about the basics of the regularity theory for the weak solutions of the Navier-Stokes equtions (NSE) for the incompressible fluid. The content of the subject: the description of NSE, the introduction of the fundamental concepts from the mathematical theory of NSE, the definition of the basic function spaces, the definition of the weak solution, a brief proof of the existence of the weak solution by the Galerkin method, structure theorem, epochs of irregularity, Hausdorff measure and dimension, parabolic measure, the size of the set of time singular points, the definition of the suitable solution, regular and singular points in spacetime, partial regularity, local regularity conditions, dimension of the set of singular points, conditional regularity, Prodi-Serrin conditions, conditional regularity in terms of one or two components of the velocity field, conditional regularity in terms of some items of the velocity gradient, conditional regularity in terms of pressure, pressure gradient, vorticity and other quantities.
Robustní statistika je soubor statistických metod, které nejsou citlivé k malým odchylkám od ideálních předpokladů, za kterých byly tyto metody odvozeny. Robustní statistika se sice již stala součástí hlavního proudu, je implementována i ve většině statistických softwarů, přesto je určitou nadstavbou nad klasickými metodami. Témata: 1. Klasická a robustní statistika 2. Odhad polohy a měřítka 3. Maximálně věrohodné odhady 4. M-odhady polohy 5. Influenční funkce 6. Bod zvratu 7. M-odhady měřítka 8. Asymptotická normalita M-odhadů 9. Balancování mezi vychýlením a rozptylem 10. Hampelova optimalita 11. Linearní model a LS metoda 12. M-odhady v linearním modelu 13. Linearní model s náhodnými prediktory 14. S-odhady(LTS) v linearním modelu
Robust statistics deals with statistical methods which are not sensitive to small depatrures from model assumptions. Robust statistics became a part of mainstream statistics only a few years ago yet it is implemented in many statistical softwars. 1. Classical and robust statistics 2.An estimation of location and scale 3. The maximum likelihood estimation 4. M-estimators of location 5. Influence function 6.Breakdown point 7. M-estimators of scale 8. Asymptotic normality of M-estimators 9. Balancing bias and variance 10. Hampel‘s optimality 11. Linear model and LS method 12. M-estimators in linear model 13. Linear model with random predictors 14. S-estimators(LTS) in linear model
Předmět seznamuje studenty se základními metodami výpočtu závislostí řešení technických úloh na náhodných vstupních datech a s metodami odhadu modelů a jejich parametrů z naměřených dat. Obsah je z velké části věnován výpočetní stránce těchto úloh, souvisejícím numerickým metodám, jejich výpočetní náročnosti a podmínkám konvergence. Jednotlivá témata jsou následující: Numerické řešení deterministické parciální diferenciální rovnice, metoda konečných prvků a metoda sítí, obě jen okrajově. Základní pojmy počtu pravděpodobnosti. Parciální diferenciální rovnice s náhodným parametrem. Metoda Monte Carlo. Kolokační metoda. Stochastická Galerkinova metoda. Prostory řešení úloh s náhodnými daty. Karhunenův-Loeveův rozvoj. Mercerovo lemma. Rozklad kovarianční matice. Rychlost konvergence vzhledem k aproximaci náhodné proměnné. Bayesovské metody. Inverzní analýza.
Students are introduced to basic solution methods for problems dependent on random input variables and for estimating of models and their parameters from measured data. The subject focuses on the computational properties of these methods, related numerical methods, their convergence conditions and efficiency. The particular topics are numerical solution of determinic partial differential equations, finite element method, finite difference method (only a sketch of them both); basic methods of computational probability; partial differenetial equations with random parameters; Monte Carlo Method; collocation method; stochastic Gallerkin method; solution spaces of problems with random data; Karhunen-Loeve expansion; Mercer’s lemma; covariance matrix decomposition; convergence with respect to random variables; Bayesian methods; inverse analysis.
Předmět je zaměřen na variační formulace a řešení základních statických a kvazistatických problémů matematické teorie pružnosti. Přednášky jsou věnovány okrajovým úlohám v teorii eliptických rovnic s důrazem na otázky existence a jednoznačnosti řešení. Hlavní témata (osnova) předmětu: Tenzor napětí, podmínky rovnováhy, tenzor deformace, rovnice kompatibility deformací, Hookův zákon. Energetické prostory funkcí. Klasická a variační formulace okrajových úloh teorie pružnosti. Rellichova věta, koercivnost deformací, Kornova nerovnost. Koercivní a slabě zdola polospojité funkcionály, Gateauxův diferenciál, variační princip. Řešení základních úloh teorie pružnosti. Pružně nepružná tělesa, modely s vnitřními parametry.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] J. Nečas, I. Hlaváček. Úvod do matematické teorie pružných a pružně plastických těles, SNTL, Praha, (1983)
[3] J. Nečas, I. Hlaváček. Mathematical Theory of Elastic and Elasto-plastic bodies: an Introduction, Elsevier (Studies in Applied Mechanics), (1981)
[4] Doporučená literatura:
[5] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha, 1999.
[6] O.John, J.Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1977.
The subject is focused on variational formulations and solutions of fundamental static and quasistatic problems in the mathematical theory of elasticity. The lectures are devoted to boundary value problems for elliptic equations with emphasis on the problems of the existence and uniqueness of solutions. The main topics of the subject: Stress tensor, equations of equilibrium, strain tensor, equations of the compatibility of strain, Hooke’s law, the spaces of functions with finite energy, classical and variational formulations of boundary value problems in the theory of elasticity, Rellich's theorem, coerciveness of strains, Korn's inequality, coercive and weakly lower semi-continuous functionals, differentiability in the Gateaux sense, solvability of problems in the theory of elasticity, variational principle, elasto-inelastic bodies, models with internal state variables
Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Míka, S.: Matematická analýza III : tenzorová analýza , Plzeň : Západočeská univerzita, 1993.
[3] [2] Heinbockel, J. H.: Introduction to Tensosoučr Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[4] [3] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Pachová, Frey: Vektorová a tenzorová analýza, SNTL 1964
Transformation of bases and transformation of vector coordinates, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and Curvilinear coordinates. Tensor function and tensor fields, differential operators. Geodesy tensors, Marussi tensor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Heinbockel: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[3] [2] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[5] Doporučená literatura:
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
Iterative methods of solving systems of linear algebraic equations. Fast algorithms. Gradient methods. CG and GMRES. Preconditioning and its methods. Multilevel Methods for Elliptical Problems (Multigrid Methods). V-cycle, W-cycle. Domain Decomposition Methods (DDM). Overlapping methods, methods without overlapping. Neumann-Neumann methods. Balanced DD method.Methods of Scwarz type (Fully Black Box Methods). Special methods for non-eliptic and indefinite problems. Typical tasks, Helmholtz equation, Navier-Stokes system. Aggregation of the Leontief System. Stationary vectors of probability of stochastic matrices. All methods and algorithms are interconnected and illustrated on non-academic examples of models of mechanics, elasticity, strength and reliability of buildings.
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
Description of space and main methods of the projection - multiview (Monge) projection as a basis for orientation in 3D CAD systems, axonometry, linear perspective. Surfaces in building practice - graphic laws of surfaces, geometric characteristics of surfaces, images of surfaces in appropriate projections, realization and application; visualization of surfaces in a graphic software. Namely: Cylinders and Cones, Hyperboloid of Revolution, Helical Surfaces, Quadrics. Curves in building practice - types of mathematical description, Frenet Frame, osculating circle.
Povinná literatura:
[1] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007, ISBN 978-1-934493-04-5
[2] Linkeová I.: Constructive Geometry, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[3] Vedlichová D.: Constructive Geometry, Nakladateľstvo STU v Bratislavě, 2012, ISBN 978-80-227-3645-9
Doporučená literatura:
[4] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996, ISBN 80-01-01535-1
[5] Grover, Ch.: Google SketchUp - The Missing Manual, O'Reilly Media, 2009, ISBN 978-0-596-52146-2
Studijní pomůcky:
[6] Study materials on web https://mat.fsv.cvut.cz/eng/bachelor/
diplomová práce
[1] dle zadání
1. Geometrie a grafická komunikace v architektuře a stavitelství. 2. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii. 3. Axonometrie, polohové úlohy v axonometrii. 4. Zvyšování názornosti zobrazení v grafických programech (osvětlení těles a skupin). 5. Lineární perspektiva. 6. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. 7. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. 8. Plochy rotační, kvadriky a jejich analytický́ popis. 9. Plochy šroubové. 10. Jednodílný́ rotační hyperboloid. 11. Hyperbolický paraboloid. 12. Konoidy a cylindroidy. 13. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe. Další plochy stavební praxe
Povinná literatura:
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
Doporučená literatura:
[2] Linkeová, I.: Constructive Geometry, ČVUT, 2016
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[4] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
Doporučená literatura:
[3] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[4] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
Doporučená literatura:
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Kótované promítání. Axonometrie. Kosoúhlé promítání. Konstruktivní fotogrammetrie - vodorovný snímek. Gnómonická projekce. Ortografická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy. Program SketchUp.
Povinná literatura:
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Linkeová I.:Constructive Geometry, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
Doporučená literatura:
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, 2000, ISBN 80-7082-680-0
[4] Pottmann H.: Architectural Geometry, 2007, ISBN 978-1-934493-04-5
[5] Švercl J.: Technické kreslení a deskriptivní geometrie pro školu a praxi, 2003, ISBN 80-7183-297-9
Studijní pomůcky:
[6] SketchUp - výukové materiály pro začátečníky, http://cadtutorial.cz/sketchup/
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matrices, eigenvalues and eigenvectors, spectrum. 2. Norm, norms of matrices, condition number, Gershgorin Theorem. 3. Symmetric matrices, positive definite matrices. 4. Cholesky decomposition. Variational principle. 5. Iterative methods. Sparse matrices. Conditioning. 6. Ordinary linear differential equations - basic properties. 7. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 8. Function spaces, dot product of functions. Eigenspaces. 7. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 8. Differential operators, operator equations, eigenvalues and eigenfunctions. Solvability of operator equations. 9. Variational principle. Stable and unstable solutions. 10. Variational methods (Ritz, finite elements). 11. Laplace and Poisson Equation. 12. Wave equation. 13. Backup.
Povinná literatura:
[1] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[2] F. Bubeník: Problems to Mathematics for Engineers, CVUT 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
Doporučená literatura:
[3] K. Rektorys: Solving Ordinary and Partial Boundary Value Problems in Science and Engineering (Applied and Computational Mechanics), CRC Press; 1 edition (1998), ISBN 978-0849325526
[4] Sherman Stein, Anthony Barcellos, Calculus and Analytic Geometry 5th ed., Mcgraw-Hill 1992, ISBN 978-0070611757
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice, Geršgorinova věta. 2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti, speciální matice a jejich vlastnosti. 3. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice. 4. 0byčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, problém vlastních čísel a vlastních funkcí. 5. Prostory funkcí, skalární součin funkcí, diferenciální operátory. 6. Variační princip pro 1D úlohy s pozitivně definitním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení. 7. Variační metody pro přibližné řešení (Ritzova metoda, metoda konečných prvků). 8. Poissonova rovnice ve 2D, okrajové podmínky, aplikace, Ritzova metoda, metoda konečných prvků. 9. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy a úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce. Různé okrajové podmínky. 10. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D, Liebmannova iterace (informativně). 11. Vlnová rovnice, numerické řešení metodou sítí, stabilní a nestabilní metoda. 12. Rovnice vedení tepla, numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilní a nestabilní metoda. 13. Rezerva
[1] [1] Elektronické studijní materiály na webové stránce předmětu, např. J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4; J. Chleboun: Matematika 4 - příručka pro přežití; J. Chleboun: Texty k přednáškám
[2] [2] O. Zindulka: Matematika 3, kap. 4, 5, 6; Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2007
[3] [3] K. Rektorys: Matematika 43,Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2001
Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta, substituce. Míra množiny. Křivkový integrál. Vektorová pole, práce síly, potenciál.Greenova věta. Aplikace dvojného, trojného a křivkového integrálu. Parametrizace křivky a plochy. Tok plochou, divergence pole. Plošný integrál.
Povinná literatura:
[1] B. Budinský- J. Charvát: Matematika II, Vydavatelství ČVUT Praha, 1996,ISBN 80-01-01092-9
[2] J. Charvát- V. Kelar- Z. Šibrava: Matematice 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1.
[3] J. Černý- M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT Praha, 1998.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
[6] Elektronická verze sbírky příkladů pro geodety
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1. Skriptum ČVUT, 2010, ISBN 978-80-01-04619-7.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04715-6.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007, ISBN 978-80-01-03936-6.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů a s jejich použitím v konkrétních modelech.
Povinná literatura:
[1] Vl. Havlena, J. Štecha, Teorie dynamických systémů, ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3
[2] A. Klíč, M. Kubíček, Matematika III, Diferenciální rovnice (kvalitativní teorie a aplikace), VŠCHT, 1992, ISBN 80-7080-162-X
Doporučená literatura:
[3] St. Lynch, Dynamical Systems with Applications using MATLAB, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, 2004, ISBN 978-3319330419
[4] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications and Control, Springer Verlag Berlin Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-66574-9
[5] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics 7, Springer Verlag New York, 2001, ISBN 0-387-95116-4
Studijní pomůcky:
[6] J. Bobok, Texty k přednášce, uveřejňované na stránce http://mat.fsv.cvut.cz/
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
1. Sequences of real numbers, fundamental concepts and definitions, limits of sequences and methods for their calculating, the number e. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts and definitions, limits (proper and improper) and methods for their calculating, continuity. 3. Basic theorems for continuous functions and their applications: Bolzano's and Weierstrass's theorems, derivatives and their geometric and physical meaning, derivative rules, derivative of composite and inverse functions. 4. Derivatives of higher orders, differentials of the 1st and higher orders, Lagrange's theorem and its consequences, l'Hospital's rules. 5. An analysis of functions sequent on the properties of the 1st and 2nd derivatives (intervals of monotony, local extremes, convexity and concavity, points of inflection, asymptotes). 6. Global (absolute) extremes on compact intervals, word problems. Taylor's theorem, Taylor's polynomial and its applications. 7. Vector (linear) spaces, the vector space of ordered n-tuples, R2, R3, linear combinations, linear independence and dependence, bases, the dimension, subspaces. 8. Linear hull, matrices, the rank of a matrix, Gauss's algorithm. 9. Systems of linear algebraic equations, basic methods for solving, Gaussian elimination, Frobenius theorem. 10. Matrix multiplication, inverse matrices and their applications, matrix equations. 11. Determinants of the 2nd and 3rd orders, Sarrus's rule, inverse matrices by means of determinants, Cramer's rule. 12. Fundamental properties of geometric vectors. General form and parametric representation of a plane. Parametric equations of straight lines. A straight line as the intersection of two planes. 13. Relationship problems on straight lines and planes, deviations and distances of planes and straight lines. Application of analytic methods for solving geometric problems in the space.
Povinná literatura:
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Prague, ISBN 978-80-0106-877-9
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Prague, ISBN 978-80-01-05621-9
[3] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II, ISBN 9401583080, 9789401583084
1.Linear differential equations of the n-th order, initial value problems. Homogeneous equations: fundamental system, general solution. Fundamental system for equation with constant coefficients. Descriptive statistics. 2. Reduction of order. Nonhomogeneous equations: variation of parameters, method of undetermined coefficients. Descriptive statistics: box-plot, outliers. Bivariate data. 3. Dot product of functions in C([a,b]), orthogonality of functions. Setup of a boundary value problem, examples. Bivariate descriptive statistics. Linear regression. 4. Problem u''+au=f, u(0)=u(pi)=0, eigenvalues and eigenfunctions. Orthogonality of eigenfunctions. Solvability (as it depends on "a"). Some other problems. Introduction to probability theory. Classical probability. 5. Double integral, Fubini Theorem, substitution, polar coordinates. Conditional probability; independent events. 6. Applications of double integral. Discrete random variables. 7. Triple Riemann integral, Fubini Theorem, substitution, cylindrical and spherical coordinates. applications of double and triple integral. Binomial distribution. 8. Applications of triple integral. Continuous random variables. 9.Line integral of a scalar field, applications. Continuous random variable: expected value and variance. 10. Line integral of a vector field, Green Theorem. Normal distribution. 11. Conservative fields. Applications of normal distribution. 12. Applications of line integrals. Inferential statistics.
Povinná literatura:
[1] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[2] F. Bubeník: Problems to Mathematics for Engineers, CVUT 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
Doporučená literatura:
[3] Sherman Stein, Anthony Barcellos, Calculus and Analytic Geometry 5th ed., Mcgraw-Hill 1992, ISBN 978-0070611757
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
[1] 1. Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Povinná literatura:
[1] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[2] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
[3] Frery A.C.,Perciano T.:Introduction to Image Processing Using R,Springer 2013, ISBN 978-1-4471-4949-1
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
Povinná literatura:
[1] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT 2015, ISBN 80-01-02253-6
[2] Anděl Jiří: Základy matematické statistiky, MATFYZPRESS 2011,ISBN 978-80-7378-162-0
Doporučená literatura:
[3] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
1. Statistické zpracování dat týkající se spolehlivosti. Statistická inference. 2. Pojem pravděpodobnosti a pojem podmíněné pravděpodobnosti. Spolehlivost systému skládajícího se z více komponent (princip inkluze a exkluze) 3. Úplná pravděpodobnost a Bayesova věta. 4. Náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka. 5. Spojitě rozdělené náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka, kvantily. 6. Normální rozdělení. Logaritmicko-normální rozdělení. 7. Odhad střední hodnoty, směrodatné odchylky, kvantilů z dat. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu normálního rozdělení. 8. Dvourozměrné rozdělení. Nezávislost náhodných veličin. 9. Intervaly spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot dvou nezávislých normálně rozdělených náhodných veličin. 10. Korelace. 11. Rozdělení lineární kombinace normálně rozdělených náhodných veličin. 12. Odolnost konstrukce, účinky zatížení konstrukce. Index spolehlivosti. Stupeň spolehlivosti 13. Metody Monte Carlo.
Povinná literatura:
[1] Jarušková D. : Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta nakladatelství ČVUT.
[2] Holický M., Marková J.: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT.
[3] Hála M., Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky.
Doporučená literatura:
[4] Rychlik I., Rydén J.: Probability and risk analysis, Springer 2006.
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Povinná literatura:
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Příklady, Vydavatelství ČVUT, Praha, 4. vydání, 2016, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[3] Devore Joy L.: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 2020, Duxbury.
[4] Wasserman L.: All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer Texts in Statistics, Corr. 2nd printing, Springer, New York, 2010, ISBN 9781441923226
[5] Nhu D.Le, Zidek J.V.: Statistical Analysis of Environmental Space-Time Processes, 2006, Springer.
Studijní pomůcky:
[6] online https://mat.fsv.cvut.cz/jaruskova/Pravd%C4%9Bpodobnost%20a%20matematick%C3%A1%20statistika.pdf, Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika,
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
Povinná literatura:
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[4] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KGA1. Hlavní témata: • spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s využitím grafického SW Rhinoceros s jejich matematickým popisem • odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v matematickém SW s grafickým výstupem, např. Mathematica, Maple • geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] [1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
1. Matlab - software a prostředí pro numerické výpočty. Srovnání se systémy počítačové algebry. 2. Matlab - organizace pracovní plochy (okno editoru, pracovní okno, okna pro pomocné informace). 3. Operace s vektory a s maticemi. 4. Jacobiova a Gaussova-Seidelova pro iterační řešení soustav lineárních algebraických rovnic. 5. Metoda SOR a metoda sdružených gradientů. Srovnání všech čtyř metod. 6. Grafické výstupy a jejich detailní úpravy. 7. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy, část 1 - integrace. 8. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy - dokončení. 9. Metoda konečných prvků pro 1D okrajové úlohy. 10. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, Dirichletovy okrajové podmínky. 11. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, jiné okrajové podmínky. 12. Metoda sítí pro řešení vlnové rovnice s jednou prostorovou proměnnou. 13. Metoda sítí pro řešení rovnice vedení tepla s jednou prostorovou proměnnou.
[1] [1] D. Majerová: MATLAB, http://uprt.vscht.cz/majerova/matlab/
[2] [2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[3] [3] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[4] [4] Systém nápovědy integrovaný do prostředí Matlab.
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Lebesgueův integrál v RN Prostory se skalárním součinem, Hilbertovy prostory, Lebesgueův prostor L2(M), Slabé derivace funkce, Sobolevovy prostory, lineární a bilineární formy na Hilbertových prostorech, kvadratické funkcionály na Hilbertových prostorech a existence minima Rovnice nosníku Eliptické parciální diferenciální rovnice - symetrický případ, rovnice u = u + f s nulovou okrajovou podmínkou Průhyb desky Eliptické rovnice - nesymetrický případ Lax-Milgramovo lemma Rovnice u + a.u = f s nulovou okrajovou podmínkou Nekonečné číselné řady Nekonečné řady funkcí, pojem řady funkcí a obor konvergence, stejnoměrná konvergence, derivování a integrování řady funkcí Mocninné řady, mocninné řady a poloměr konvergence, derivování a integrování mocninných řad Fourierovy řady, ortonormalita systému cosinů a sinů, formální rozvoj, bodová konvergence, konvergence v L2(0, l) Rovnice vedení tepla, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení - princip maxima, existence řešení Fourierovou metodou Rovnice struny, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení, odvození, matematická formulace problému, existence řešení Fourierovou metodou Matematická formulace problému nekonečné struny Numerické metody, Rietzova metoda pro jednorozměrnou úlohu Bonusy, odvození rovnice difuze s konvektivním členem - jednodimenzionální případ, úvod do Laplaceovy transformace, matematická formulace difuze a řešení v polonekonečné trubici
[1] .Zindulka, O.: Matematika 3, Fakulta stavební, 1. vydání, duben 2007, ISBN 978-80-01-03678-5
[2] .Rektorys, K.: Matematika 43, skripta ČVUT, Praha, 2001.
[3] .Rektorys, K.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros, modul pro parametrické modelování Grasshopper a software Maple.
Doporučená literatura:
[1] Rhinoceros - Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
[2] Maple User Manual, Maplesoft, 2014, ISBN 978-1-926902-45-6
[3] http://moodle.cvut.cz
Předmět je zaměřen na studium kvalitativních vlastností matematických modelů přenosu tepla a vlhkosti v porézních materiálech. Přednášky jsou věnovány odvození modelů transportních procesů ve vícefázových systémech a řešení odpovídajících počátečně-okrajových problémů. Hlavní témata (osnova) předmětu: Bilanční rovnice, bilance hmoty a energie. Bilanční rovnice ve vícefázových systémech, přenos tepla a hmoty v porézních materiálech. Konstitutivní rovnice, Darcyho zákon, Fourierův zákon, Fickův zákon, stavové rovnice, tepelně vlhkostní parametry v transportních modelech. Matematická formulace problému, počáteční a okrajové podmínky. Rotheho metoda, Faedova-Galerkinova metoda. Řešení eliptických problémů generovaných metodou časové diskretizace. Existenční a konvergenční věta pro abstraktní parabolický problém. Aplikace na zjednodušené modely vedení tepla a izotermální proudění vlhkosti v porézních materiálech. Sdružený transport tepla a vlhkosti v porézních materiálech.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Birkhäuser Basel, 2013.
[3] K. Rektorys, The Method of Discretization in Time and Partial Differential Equations, Springer, 1982.
[4] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. SNTL, 1985.
[5] Doporučená literatura:
[6] G.F. Pinder, W.G. Gray, Essentials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
[7] R. Černý, P. Rovnaníková, Transport Processes in Concrete, CRC Press, 2002.
The subject is focused on qualitative properties of mathematical models of heat and moisture transport in porous materials. The lectures are devoted to derivation of models of transport processes in multiphase systems and solutions of corresponding initial-boundary value problems. The main topics of the subject: Balance equations, mass balance equations, energy balance equations, balance equations in multi-phase systems, heat and mass transport in porous materials, constitutive equations, Darcy’s law, Fourier’s law, Fick’s law, state equations, hygro-thermal parameters in transport models. Mathematical formulation of the problem, initial and boundary conditions. The method of Rothe, Faedo-Galerkin method. Solutions of elliptic problems generated by the method of discretization in time, existence and convergence theorem for the abstract parabolic problem, applications on simplified models of heat transport and isothermal moisture flow in porous materials. Coupled heat and moisture transport in porous materials.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění matematicky zaměřené práce nabízí systém Maple. Účastníci získají elementární osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Rozdíly mezi systémem počítačové algebry (Computer Algebra System, CAS) a numericky orientovaným softwarem (např. Matlab). Jádro Maple a knihovny (packages). Dvě základní formy interakce s prostředím Maple – worksheet a document, různé módy interakce (výběr z hlavního menu, kontextové menu, textové příkazy). Systém nápovědy. Základní pojmy a operace: proměnná, výraz, funkce, procedura, úpravy výrazů a funkcí, derivace, integrace, cykly, podmíněné příkazy, zavádění omezujících předpokladů, funkce definované po částech. Grafy funkcí jedné proměnné, dvou proměnných. Kombinování více grafů do jednoho obrázku, anotace grafů. Nastavení barev, typu a velikosti písma. Export obrázků v různých grafických formátech. Práce s pokročilejšími matematickými nástroji: řešení obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční i okrajové úlohy), lineární algebra. Možnosti numerických výpočtů. Důležitou součástí je samostatná seminární práce posluchačů motivovaná tématem (třeba jen dílčím) jejich disertační práce.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Maple.
[3] Elektronické příručky volně dostupné na webových stránkách fy Maplesoft https://www.maplesoft.com/documentation_center/
[4] J. Urbánek: Matematika s programem Maple, MU Brno, 2012
[5] Doporučená:
[6] J. Hřebíček, Z. Pospíšil, J. Urbánek: Úvod do matematického modelování s využitím Maple, MU Brno, 2010, ISBN 978-80-7204-691-1
The goal is to make students familiar with basic mathematical tools provided by the computer algebra system (CAS) Maple. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Differences between CAS and numerical software (Matlab, for instance). Maple core and packages. Maple worksheet and document modes; interaction with the user – palettes, context menu, line commands. Help system. Basic terms and operations: variable, expression, function, procedure, symbolic manipulation with expressions and functions, differentiation, integration, loops, conditional execution, assumptions, etc. Plots and animations, customizing plots (color, text, font, etc.), multiple plots. Exporting. Advanced tools: solving ordinary differential equations, initial and boundary value, problems, linear algebra. Numerical calculation. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tématické okruhy jsou: Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav Řešení problému vlastních čísel Aproximace funkcí Numerická kvadratura Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan:, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. Solving nonlinear equations and their systems Eigenvalue problem Approximation of functions Numerical quadrature Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] G. I. Marčuk: Metody numerické matematiky, Academia, 1987
[6] Doporučená literatura:
[7] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Cílem je seznámit posluchače s některými kvalitativními vlastnostmi obyčejných diferenciálních rovnic a také s konceptem dynamického systému. Obsah: Lineární systémy, nelineární systémy - lokální teorie, nelineární systémy – globální teorie, nelineární systémy - vybrané kapitoly bifurkační teorie
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer, Third Edition, 2000.
The course covers selected chapters from the qualitative theory of ordinary differential equations and also of dynamical systems. Contents: Linear systems, nonlinear systems – local theory, nonlinear systems – global theory, nonlinear systems - selected topics of bifucation theory.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Cílem je seznámit posluchače s vybranými kapitolami teorie dynamických systémů. Obsah: Systémy se stabilním asymptotickým chováním, lineární zobrazení a lineární diferenciální rovnice, rekurence a rovnoměrné rozdělení, konzervativní systémy, jednoduché systémy s komplikovanou orbitální strukturou, entropie a chaos, hyperbolické dynamiky, homoklinické trajektorie, paradoxní atraktory. Kapitoly z ergodické teorie a topologických dynamik
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: B. Haselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics (with a panorama of recent developments), Cambridge University Press, New York, 2003.
[3] A. Katok., B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems,
[4] Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
The course covers selected topics of the theory of dynamical systems. Contents: Systems with stable asymptotic behavior, linear maps and linear differential equations, recurrence and equidistribution, conservative systems, simple systems with complicated orbit structure, entropy and chaos, hyperbolic dynamics, homoclinic tangles, strange attractors.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Fyzikální odvození typických nerovnovážných úloh fyziky spojitých prostředí, formulace a interpretace počátečních a okrajových podmínek, klasifikace rovnic (parabolické, hyperbolické), metody řešení (Galerkin, časová diskretizace) včetně rekapitulace základní teorie Sobolevových prostorů a vět o vnoření, kvalitativní vlastnosti řešení jako např. stabilita versus nestabilita trajektorií, vznik rázových vln, systémy s pamětí.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda, Parciální diferenciální rovnice II: Evoluční rovnice. Matematika pro vysoké školy technické. SNTL Praha, 1986.
Physical derivation of typical nonequilibrium problems in continuum physics, formulation and interpretation of initial and boundary conditions, classification of PDEs (parabolic, hyperbolic), solution methods (Galerkin, time discretization) including a survey of the basic theory of Sobolev spaces and embedding theorems, qualitative properties of solutions as, e. g., stability or instability of solution trajectories, occurrence of shock waves, or systems with memory.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Přednášky budou věnovány studiu Hilbertových a Banachových prostorů a operátorů na nich s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Řekneme si něco o základních větách funkcionální analýzy, tj. Hahnova-Banachova, Banachova-Steinhausova věta a věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Boudou zavedeny pojmy duál a reflexivita, kvadratický funkcionál, dokázána věta o minimu a souvislost s operátorovou rovnicí. Dále dokážeme Rieszovu větu o reprezentaci a Laxova-Milgramovu větu. Zavedeme slabou konvergenci a dokážeme větu o slabé kompaktnosti jednotkové koule. Ukážeme si, že konvexní spojitý koercivní funkcionál na reflexivním prostoru má minimum. Zmíníme Browderovu větu o monotónních operátorech. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of Hilbert and Banach spaces and operators on them with regard to applications in the theory of partial differential equations. We say basic theorems of the functional analysis, Hahn-Banach's, Banach-Steinhaus's theorem, and the theorem on open mapping and on the closed graph. The concept of dual space and reflexivity, the quadratic functional, the theorem about the minimum and the relation with the operator equation have been introduced. Furthermore, we can prove Riesz's theorem on representation and Lax-Milgram's theorem. We will introduce a weak convergence and we will prove a weak compactness of the unit ball. We show that the convex continuous coercive functional in the reflexive Banach space has a minimum. Let's mention Browder's theorem about monotone operators. Finally, we will show applications on elliptical problems.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Metrika a topologie euklidovských prostorů. Příklady fraktálních množin: Cantorova množina, Sierpinského trojúhelník a koberec, Kochova křivka, Mengerova houba. Elementární teorie míry. Lebesgueova míra, Hausdorffova míra. Box-counting a Hausdorffova dimenze. Výpočet dimenze. Příklady. Samopodobné množiny. Iterated function systems. Hutchisonův operátor. Atraktor. Věta o kolaci. Barnsleyovo kapradí a další samoafinní množiny.
Metric and topology of Euclidean spaces. Examples of fractal sets: Cantor set, Sierpinski triangke and carpet, Koch curve, Menger sponge. Elementary measure theory. Lebesgue measure, Hausdorff measure. Box-counting and Hausdorff dimension. Calculation of dimension. Examples. Self-similar sets. Iterated function systems. Hutchison operator. Attractors. Collation Theorem. Barnsley fern and other self-affine sets.
Geostatistika se zabývá odhady a předpovědí stochastických jevů na Zemi, pracuje s polohově lokalizovanými daty tzv. geodaty a aplikuje obecné statistické postupy na modelování a vyvozování závěrů o geostatistických problémech. Témata: 1. Empirický a teoretický variogram 2. Metody odhadu teoretického variogramu 3. Anizotropní variogram 4. Krigování 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validace 9. Bayesovske metody v krigování 10. Robustní metody v krigování 11. Práce s geostatistickými balíčky softwaru R-project
Geostatistics is concerned with the estimation and prediction problems for stochastic phenomena on the Earth, using data obtained at a limited number of spatial locations called geodata. It refers to the application of general statistical principles of modeling and inference to geostatistical problems. 1. Empirical and theoretical variogram 2. Methods of estimation of theoretical variogram 3. Anizotropic variogram 4. Kriging 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validation 9. Bayesian methods in kriging 10. Robust methods in kriging 11. Geostatistical packages of softwar R-project
Cílem předmětu je uvést posluchače doktorandského studia do problematiky parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Obsahem předmětu bude: Laplaceova a Poissonova rovnice jakožto matematické modely ustáleného rozložení teploty v homogenním tělese. Klasická formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Dirichletova, Neumannova a Newtonova okrajová podmínka. Kvalitativní vlastnosti řešení Laplaceovy a Poissonovy rovnice, princip maxima, Harnackova nerovnost. Apriorní odhady řešení a odhady řešení v okolí hranice. Zobecnění kvalitativní teorie řešení pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
The aim of this course is to provide doctoral students with an introduction in the theory of elliptic partial differential equations. The subjects of study are the following: the Laplace and Poisson equations, classical formulation of a boundary condition for the Laplace and Poisson equations, the Dirichlet, Neumann and Newton boundary conditions. Qualitative properties of solutions to the Laplace’s and Poisson’s equations, maximum principle, the Harnack inequality. A priory estimates of solutions and behavior of solutions near the boundary. Generalization of the qualitative theory of solutions to Laplace’s and Poisson’s equations for linear elliptic second order equations.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Topologie a metrika v rovině a prostoru a euklidovských prostorech; konvergence, spojité funkce a zobrazení. Metrické prostory. Topologie metrických prostorů, konvergence, spojité funkce a zobrazení, Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Úplné metrické prostory, Banachovo lemma o pevném bodu. Kompaktní metrické prostory. Kompaktnost v euklidovských prostorech. Lipschitzovské a holderovské funkce. Topologie na množině. Otevřené, uzavřené množiny, uzávěr, hranice. Báze. Spojité funkce a zobrazení. Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Kartézské součiny, projekce. Souvislé a totálně nesouvislé prostory. Kompaktnost. Tichonovova věta pro konečně mnoho prostorů. Věta Arzelá-Ascoli. Stoneova-Weierstrassova věta.
Topology and metric in the plane and Euclidean spaces; convergence, continuous functions and mappings. Metric spaces. Topology of metric spaces, convergence, continuous functions and mappings, Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Complete metric spaces, Banach Fixed Point Lemma. Compact metric spaces. Compactness in Euclidean spaces. Lipschitz and Holder functions. Topology on a set. Open and closed sets, closure, boundary. Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Cartesian products, projections. Connected and totally disconnected spaces. Compactness. Tychonoff Theorem for finitely many spaces. Arzelá-Acoli Theorem. Stone-Weierstrass Theorem.
Hilbertovy prostory Bilinearní formy a funkcionály Kvadraticky funkcionál, symetrie, positivní definitnost, věta o minimu a souvislost s rovnicí Rieszova věta a Laxova-Milgramova věta Metoda konečných prvků, konvergence (obecně i pro nesymetrický operátor)- Rieszova a Galerkinova metoda Může konvergovat jakkoliv pomalu Za lepší regularity konverguje lépe Metoda nejmenších čtverců Variační zločiny Volba bázových funkcí: h-verze, p-verze, hp-verze, hierarchické báze, kaskáda Konstrukce lineárního systému Metody řešení vzniklých soustav - přímé postupy - iterativní postupy - možnosti předpodmínění
Hilbert's spaces Bilinear forms and functionals Quadratic functional, symmetry, positive definitness, theorem about the minimum and relation to the equation Riesz's theorem and Lax-Milgram's theorem Finite element method, convergence (generally for nonsymmetric operator) - Riesz‘s and Galerkin‘s method It can converge slowly Better regularity converges better The least square method Variational crimes Selection of base functions: h-version, p-version, hp-version, hierarchical base, cascade Linear system preparation Methods of solution of the resulting systems - direct procedures - iterative procedures - possibilities of preconditioning
Cílem je seznámit posluchače se základními postupy při hledáni minima reálné funkce jedné proměnné nebo více proměnných, a to jak bez omezení, tak s omezeními. Získané poznatky si posluchači procvičí na úlohách řešených samostatně softwarem nebo programovacím jazykem, který si zvolí (Matlab, SciLab, Octave, Python, C, Fortran atd.). Obsah: Minimalizace funkcí jedné reálné proměnné. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných bez omezení. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda sdružených směrů, kvazinewtonovské metody. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných s omezeními. Lagrangeovy multiplikátory. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda penalty, metoda aktivní množiny omezení, metoda projekce gradientu, metoda SQP (Sequential Quadratic Programming), metoda vnitřního bodu. Úvod do lineárního programování, simplexová metoda
[1] Povinná:
[2] D. G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, Springer, Cham, 2016
[3] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, New York, 2006 E. G. Birgin, J. M. Martínez: Practical Augmented Lagrangian Methods for Constrained Optimization,SIAM, Philadelphia, 2014
[4] Doporučená:
[5] L. Lukšan: Numerické optimalizační metody, Technical report No. 1152, Ústav informatiky AV ČR, Praha, 2017
[6] http://www.cs.cas.cz/luksan/lekce4.pdf
The goal is to make students familiar with common methods for the minimization of functions of one or several real variables. Unconstrained as well as constrained minimization are considered. By using software tools (Matlab, SciLab, Octave, Python, etc.), course participants are expected to present a solution to a minimization problem motivated by the subject of their research. Topics: Minimization of functions of one real variable. Unconstrained minimization of functions of several real variables. Conditions for local optimality. Conjugate gradient method, quasi-Newton methods. Constrained minimization of functions of several real variables. Lagrange multipliers. Conditions for local optimality. Penalty method, active set method, gradient projection method, SQP method (Sequential Quadratic Programming). Introduction to linear programming, simplex method.
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s moderními metodami parciálních diferenciálních rovnic. Obsahem předmětu bude: Zavedení pojmu zobecněná derivace a definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Variační formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Laxovo- Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost slabého řešení okrajové úlohy. Úvod do problematiky regularrity slabého řešení, globální a vnitřní regularita. Greenův operátor,. Zobecnění moderních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
Povinná literatura:
[1] Gilbarg, David; Trudinger, Neil. S.: Elliptic partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[2] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012.
Cílem předmětu je odvození matematických modelů ustáleného i neustáleného proudění nestlačitelných tekutin. Obsahem předmětu je: Základní vlastnosti vektorového a tenzorového počtu, základní funkční prostory (Lebesgueovy a Sobolevovy prostory) a některé známé věty integrálního počtu, které budou aplikovány pro odvození matematických modelů (Greenova věta, Stokesova věta, Gaussova-Ostrogradského věta). Pojem kontinua a základní kinematické pojmy, jako jsou tenzor deformací a tenzor malých deformací, tenzor rychlosti deformací, Eulerův a Lagrangeův popis pohybu částic, Reynoldsova transportní věta. Objemové síly, plošné síly, tenzor napětí a jeho vlastnosti ( symetrie). Konstitutivní rovnice, Stokesovská tekutina. Základní typy stokesovských tekutin, ideální tekutina, newtonovská tekutina, tlak tekutiny a dynamický tenzor napětí. Odvození matematických modelů proudění nestlačitelné tekutiny, formulace okrajové úlohy pro ustálené a počátečně-okrajové úlohy pro neustálené proudění nestlačitelné tekutiny.
[1] Brdička, Miroslav; Samek, Ladislav; Sopko, Bruno.: Mechanika kontinua. ČSAV, Praha 2000.
[2] Feistauer, M. Mathematical methods in fluid dynamics. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 67. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[3] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidellberg, 2012.
[4] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
The aim of the subject is to derive mathematical models of steady and nonsteady flow of incompressible fluids. Course contents: Vector and tenzor calculus, function spaces (Lebesque and Sobolev spaces), some known theorems of integral calculus that will be applied to derive mathematical models (Green's theorem, Stokes theorem, Gauss-Ostrograph's theorem), continuum and its kinematics, tenzor of small deformations, tenzor of velocity of deformation, Eulerian and Lagrangian description of motion, Reynolds transport theorem, the volume forces, the surface forces, the stress tenzor and its properties, constitutive equations, Stokesian fluids, basic types of Stokesian fluids: ideal fluid, Newtonian fluid, the pressure, the dynamic stress tensor, mathematical models of flow of incompressible fluid, formulation of boundary value problems for steady and nonsteady flow of incompressible fluid.
Pojem časové řady. Stacionární časové řady. Základní charakteristiky a jejich odhady. ARMA modely. Frekvenční analýza časových řad. Pojem spektrální hustoty. Markovské posloupnosti s konečnou množinou stavů. MCMC a Metropolisův-Hastingsův algoritmus. Idea MCMC pro spojitou množinu stavů.
[1] Jiří Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL 1976.
[2] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series - Theory and Methods, Springer, 1991.
Notion of time series. Stationary time series. Basic characteristics and their estimates. ARMA models. Frequency analysis of time series. Markovian sequences with finite number of states. Stationary distribution and method MCMC. Idea of MCMC for a continuous set of states.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Rozdělení příbuzná s normálními (chí-kvadrát, t-rozdělení). Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. Teorie odhadů – metoda maximální věrohodnosti a metoda momentů. Bayesovy odhady. Metoda hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími parametry. Nelineární regrese. Lineární a nelineární model v rámci bayesovského odhadování.
[1] Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL 1985.
[2] Daniela Jarušková: Matematická statistika, skripta ČVUT, 2011.
[3] Anthony OHagan, Jonathan Forster: Kendall ´s advanced theory of statistics – Bayesian inference, Oxford University Press 1994
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Random sample. Idea of statistical inference. Random variables and their distribution. Normal distribution. Central limit theorem. Multiple distribution. Independence. Correlation. Theory of estimation. – point and interval estimate. Hypotheses testing. Test statistic and statistical decision. P-value. Simple linear regression – parameters estimation, hypotheses testing, prediction intervals, regression diagnostic. Simulation independent realizations of random variables.
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Advanced mathematical statistics with engineering applications
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
Cílem je seznámit posluchače s některými nestochastickými metodami pro popis nejistoty v parametrech vstupujících do matematického modelu a pro získání informace o nejistotě ve veličině vystupující z modelu (quantity of interest). Obsah: Aleatorická a epistemická nejistota. Představení úloh s nejistými daty s důrazem na diferenciální rovnice. Různé přístupy ke kvantifikaci nejistot. Metoda nejhoršího a nejlepšího scénáře. Základní pojmy teorie fuzzy množin (funkce příslušnosti, alfa-řez, Zadehův princip rozšíření). Fuzzifikace, různé konstrukce funkce příslušnosti a její varianta v Information Gap Theory Y. Ben-Haima. Úvod do Dempsterovy-Shaferovy teorie (DST), funkce belief a plauzibility, Dempsterovo kombinační pravidlo. Pravděpodobnostně zaměřená interpretace DST. Aplikace na inženýrské úlohy s nejistými daty a s netriviálním stavovým problémem. Stavební kameny algoritmů pro jejich numerické řešení – minimalizace funkcí více proměnných, analýza citlivosti, metoda konečných prvků.
[1] Povinná:
[2] B. M. Ayyub, G. J. Klir: Uncertainty Modelling and Analysis in Engineering and Sciences, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2006
[3] B. Möller, M. Beer: Fuzzy Randomness – Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics, Springer, Berlin, 2010
[4] W. Fellin a kol. (ed.): Analyzing Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2005
[5] Doporučená:
[6] A. Bernardini, F. Tonon: Bounding Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2010
[7] I. Hlaváček, J. Chleboun, I. Babuška: Uncertain Input Data Problems and the Worst Scenario Method, Elsevier, Amsterdam, 2004.
The goal is to make students familiar with some non-stochastic methods for uncertainty quantification. Uncertainty is considered in parameters entering mathematical models. Consequently, the model output represented by a quantity of interest is also uncertain and this uncertainty is to be assessed. Topics: Aleatoric and epistemic uncertainty. Differential equations with uncertain data. Various approaches to uncertainty quantification. The worst- and best-case scenario method. Elements of fuzzy set theory (membership function, alpha-cut, Zadeh’s extension principle). Fuzzification, various definitions of membership functions, a connection to information gap theory by Y. Ben-Haim. An introduction to the Dempster-Shafer theory (DST), belief and plauzibility, Dempster’s rule of combination. Probabilistic interpretation of DST. Application to engineering problems with uncertain data and a non-trivial state problem. Tools for solving such problems – minimization algorithms, sensitivity analysis, finite element method.
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
diplomový seminář
[1] dle zadání
projekt
[1] dle zadání
diplomová práce
[1] dle zadání
1. Geometrie a grafická komunikace v architektuře a stavitelství. 2. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii. 3. Axonometrie, polohové úlohy v axonometrii. 4. Zvyšování názornosti zobrazení v grafických programech (osvětlení těles a skupin). 5. Lineární perspektiva. 6. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. 7. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. 8. Plochy rotační, kvadriky a jejich analytický́ popis. 9. Plochy šroubové. 10. Jednodílný́ rotační hyperboloid. 11. Hyperbolický paraboloid. 12. Konoidy a cylindroidy. 13. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe. Další plochy stavební praxe
Povinná literatura:
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
Doporučená literatura:
[2] Linkeová, I.: Constructive Geometry, ČVUT, 2016
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[4] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
Doporučená literatura:
[3] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[4] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
Doporučená literatura:
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
V rámci předmětu jsou vyloženy některé kapitoly z teorie pravděpodobnosti a vybrané statistické metody. Vyložená látka je ilustrována příklady se zaměřením na ekonomické aplikace a aplikace v teorii řízení. K řešení příkladů je využíván Excel a volně dostupný statistický software Jamovi.
[1] Jarušková, D. (2011): Pravděpodobnost a matematická statistika, Praha: ČVUT, Fakulta stavební
[3] Jarušková, D., Hála, M. (2011): Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Praha: ČVUT, Fakulta stavební
[5] Keller, G. (2012). Managerial Statistics, 9th edition. South-Western Cengage Learning.
[7] Levine, D. M., Stephan, D. F., Szabat, K. A. (2017) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, Global Edition, 8th edition. Pearson International Edition.
1. Riemannův integrál. Vlastnosti. Integrovatelnost funkce. Střední hodnota funkce. Primitivní funkce. 2. Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. 3. Parciální zlomky. Integrace racionální a iracionální funkce. 4. Integrace goniometrické funkce. Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 5. Aproximace rovinného obrazce, numerický výpočet integrálu. 6. Funkce dvou proměnných. Definiční obor, obor hodnot, vrstevnice a graf. Kvadriky. 7. Limita a spojitost funkce dvou proměnných, parciální derivace. Totální diferenciál, Taylorův polynom. 8. Implicitní funkce dvou proměnných, lokální extrémy funkce dvou proměnných. 9. Vázané a globální extrémy funkce dvou proměnných. Diferenciální rovnice prvního řádu. 10. Aplikace diferenciálních rovnic - spádnice grafu funkce dvou proměnných. 11. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Existence a jednoznačnost řešení diferenciálních rovnic. 12. Numerické řešení diferenciálních rovnic: Rungovy-Kuttovy metody. 13. Rezerva
Povinná literatura:
[1] Kočandrlová M., Černý J.: Geo-Matematika I, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2. vydání, 2020, ISBN 978-80-01-06671-3
[2] Charvát, J.; Kelar, V.; Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1
[3] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I, II Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.
1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.
Povinná literatura:
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05620-2
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
[3] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II, ISBN 9401583080, 9789401583084
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.
Povinná literatura:
[1] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001 ISBN-13: 978-0486414546
[2] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing, ISBN-13: 978-1133103714
[3] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation, ISBN 9781421407944
Doporučená literatura:
[4] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003, ISBN 0387954104, 9780387954103
Povinná literatura:
[1] Wald Abraham: Sequential Analysis, Courier Corporation 2013,ISBN 978-0-486-61579-0
[2] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[3] Jurečková Jana and Picek Jan :Robust Statistical Methods with R,Chapman and Hall/CRC 2006,ISBN 978-1-58488-454-5
Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1G, popř. Matematika 2G.
Doporučená literatura:
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, Prometheus Praha, 2000.
[2] Pultarová, I., Novák, J., Novák, P.: Základy informatiky. Počítačové modelování v Matlabu, skripta FSv ČVUT v Praze, 2005.
Povinná literatura:
[3] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-matematika I, skripta FSv ČVUT v Praze, 2007.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 2 navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 3 navazuje na předměty Matematické metody ve fyzikální geodézii 1 a 2. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201 s.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] [1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
1. K čemu jsou určeny systémy počítačové algebry. Obecně o software Maple. 2. Maple - základní způsoby interakce s uživatelem (worksheet, document). 3. Maple - základní pojmy (proměnná, výraz, funkce, cyklus, větvení). Výukové nástroje pro pomoc studentům. 4. Neurčitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 5. Určitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 6. Úlohy s určitým integrálem řešené sw Maple. 7. Grafy funkcí jedné proměnné, jejich úpravy a popisy v sw Maple. 8. Derivování v systému Maple. 9. Grafy funkcí více proměnných a jejich úpravy. Vrstevnice. 10. Tečná rovina plochy, normála k ploše, zobrazování. 11. Vyšetřování extrémů pomocí sw Maple. 12. Vázané extrémy, jejich zobrazení. 13. Některé další užitečné nástroje sw Maple. Rezerva.
[1] [1] Webová stránka dr. A. Němečka http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html s odkazy na studijní materiály.
[2] [2] J. Hřebíček: Systémy počítačové algebry. Soubor PDF na http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[3] [3] Systém nápovědy, jenž je součástí sw Maple.
Předmět je zaměřen na studium kvalitativních vlastností matematických modelů přenosu tepla a vlhkosti v porézních materiálech. Přednášky jsou věnovány odvození modelů transportních procesů ve vícefázových systémech a řešení odpovídajících počátečně-okrajových problémů. Hlavní témata (osnova) předmětu: Bilanční rovnice, bilance hmoty a energie. Bilanční rovnice ve vícefázových systémech, přenos tepla a hmoty v porézních materiálech. Konstitutivní rovnice, Darcyho zákon, Fourierův zákon, Fickův zákon, stavové rovnice, tepelně vlhkostní parametry v transportních modelech. Matematická formulace problému, počáteční a okrajové podmínky. Rotheho metoda, Faedova-Galerkinova metoda. Řešení eliptických problémů generovaných metodou časové diskretizace. Existenční a konvergenční věta pro abstraktní parabolický problém. Aplikace na zjednodušené modely vedení tepla a izotermální proudění vlhkosti v porézních materiálech. Sdružený transport tepla a vlhkosti v porézních materiálech.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Birkhäuser Basel, 2013.
[3] K. Rektorys, The Method of Discretization in Time and Partial Differential Equations, Springer, 1982.
[4] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. SNTL, 1985.
[5] Doporučená literatura:
[6] G.F. Pinder, W.G. Gray, Essentials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
[7] R. Černý, P. Rovnaníková, Transport Processes in Concrete, CRC Press, 2002.
The subject is focused on qualitative properties of mathematical models of heat and moisture transport in porous materials. The lectures are devoted to derivation of models of transport processes in multiphase systems and solutions of corresponding initial-boundary value problems. The main topics of the subject: Balance equations, mass balance equations, energy balance equations, balance equations in multi-phase systems, heat and mass transport in porous materials, constitutive equations, Darcy’s law, Fourier’s law, Fick’s law, state equations, hygro-thermal parameters in transport models. Mathematical formulation of the problem, initial and boundary conditions. The method of Rothe, Faedo-Galerkin method. Solutions of elliptic problems generated by the method of discretization in time, existence and convergence theorem for the abstract parabolic problem, applications on simplified models of heat transport and isothermal moisture flow in porous materials. Coupled heat and moisture transport in porous materials.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění matematicky zaměřené práce nabízí systém Maple. Účastníci získají elementární osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Rozdíly mezi systémem počítačové algebry (Computer Algebra System, CAS) a numericky orientovaným softwarem (např. Matlab). Jádro Maple a knihovny (packages). Dvě základní formy interakce s prostředím Maple – worksheet a document, různé módy interakce (výběr z hlavního menu, kontextové menu, textové příkazy). Systém nápovědy. Základní pojmy a operace: proměnná, výraz, funkce, procedura, úpravy výrazů a funkcí, derivace, integrace, cykly, podmíněné příkazy, zavádění omezujících předpokladů, funkce definované po částech. Grafy funkcí jedné proměnné, dvou proměnných. Kombinování více grafů do jednoho obrázku, anotace grafů. Nastavení barev, typu a velikosti písma. Export obrázků v různých grafických formátech. Práce s pokročilejšími matematickými nástroji: řešení obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční i okrajové úlohy), lineární algebra. Možnosti numerických výpočtů. Důležitou součástí je samostatná seminární práce posluchačů motivovaná tématem (třeba jen dílčím) jejich disertační práce.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Maple.
[3] Elektronické příručky volně dostupné na webových stránkách fy Maplesoft https://www.maplesoft.com/documentation_center/
[4] J. Urbánek: Matematika s programem Maple, MU Brno, 2012
[5] Doporučená:
[6] J. Hřebíček, Z. Pospíšil, J. Urbánek: Úvod do matematického modelování s využitím Maple, MU Brno, 2010, ISBN 978-80-7204-691-1
The goal is to make students familiar with basic mathematical tools provided by the computer algebra system (CAS) Maple. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Differences between CAS and numerical software (Matlab, for instance). Maple core and packages. Maple worksheet and document modes; interaction with the user – palettes, context menu, line commands. Help system. Basic terms and operations: variable, expression, function, procedure, symbolic manipulation with expressions and functions, differentiation, integration, loops, conditional execution, assumptions, etc. Plots and animations, customizing plots (color, text, font, etc.), multiple plots. Exporting. Advanced tools: solving ordinary differential equations, initial and boundary value, problems, linear algebra. Numerical calculation. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tématické okruhy jsou: Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav Řešení problému vlastních čísel Aproximace funkcí Numerická kvadratura Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan:, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. Solving nonlinear equations and their systems Eigenvalue problem Approximation of functions Numerical quadrature Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] G. I. Marčuk: Metody numerické matematiky, Academia, 1987
[6] Doporučená literatura:
[7] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Cílem je seznámit posluchače s některými kvalitativními vlastnostmi obyčejných diferenciálních rovnic a také s konceptem dynamického systému. Obsah: Lineární systémy, nelineární systémy - lokální teorie, nelineární systémy – globální teorie, nelineární systémy - vybrané kapitoly bifurkační teorie
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer, Third Edition, 2000.
The course covers selected chapters from the qualitative theory of ordinary differential equations and also of dynamical systems. Contents: Linear systems, nonlinear systems – local theory, nonlinear systems – global theory, nonlinear systems - selected topics of bifucation theory.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Cílem je seznámit posluchače s vybranými kapitolami teorie dynamických systémů. Obsah: Systémy se stabilním asymptotickým chováním, lineární zobrazení a lineární diferenciální rovnice, rekurence a rovnoměrné rozdělení, konzervativní systémy, jednoduché systémy s komplikovanou orbitální strukturou, entropie a chaos, hyperbolické dynamiky, homoklinické trajektorie, paradoxní atraktory. Kapitoly z ergodické teorie a topologických dynamik
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: B. Haselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics (with a panorama of recent developments), Cambridge University Press, New York, 2003.
[3] A. Katok., B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems,
[4] Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
The course covers selected topics of the theory of dynamical systems. Contents: Systems with stable asymptotic behavior, linear maps and linear differential equations, recurrence and equidistribution, conservative systems, simple systems with complicated orbit structure, entropy and chaos, hyperbolic dynamics, homoclinic tangles, strange attractors.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Fyzikální odvození typických nerovnovážných úloh fyziky spojitých prostředí, formulace a interpretace počátečních a okrajových podmínek, klasifikace rovnic (parabolické, hyperbolické), metody řešení (Galerkin, časová diskretizace) včetně rekapitulace základní teorie Sobolevových prostorů a vět o vnoření, kvalitativní vlastnosti řešení jako např. stabilita versus nestabilita trajektorií, vznik rázových vln, systémy s pamětí.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda, Parciální diferenciální rovnice II: Evoluční rovnice. Matematika pro vysoké školy technické. SNTL Praha, 1986.
Physical derivation of typical nonequilibrium problems in continuum physics, formulation and interpretation of initial and boundary conditions, classification of PDEs (parabolic, hyperbolic), solution methods (Galerkin, time discretization) including a survey of the basic theory of Sobolev spaces and embedding theorems, qualitative properties of solutions as, e. g., stability or instability of solution trajectories, occurrence of shock waves, or systems with memory.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Přednášky budou věnovány studiu Hilbertových a Banachových prostorů a operátorů na nich s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Řekneme si něco o základních větách funkcionální analýzy, tj. Hahnova-Banachova, Banachova-Steinhausova věta a věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Boudou zavedeny pojmy duál a reflexivita, kvadratický funkcionál, dokázána věta o minimu a souvislost s operátorovou rovnicí. Dále dokážeme Rieszovu větu o reprezentaci a Laxova-Milgramovu větu. Zavedeme slabou konvergenci a dokážeme větu o slabé kompaktnosti jednotkové koule. Ukážeme si, že konvexní spojitý koercivní funkcionál na reflexivním prostoru má minimum. Zmíníme Browderovu větu o monotónních operátorech. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of Hilbert and Banach spaces and operators on them with regard to applications in the theory of partial differential equations. We say basic theorems of the functional analysis, Hahn-Banach's, Banach-Steinhaus's theorem, and the theorem on open mapping and on the closed graph. The concept of dual space and reflexivity, the quadratic functional, the theorem about the minimum and the relation with the operator equation have been introduced. Furthermore, we can prove Riesz's theorem on representation and Lax-Milgram's theorem. We will introduce a weak convergence and we will prove a weak compactness of the unit ball. We show that the convex continuous coercive functional in the reflexive Banach space has a minimum. Let's mention Browder's theorem about monotone operators. Finally, we will show applications on elliptical problems.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Metrika a topologie euklidovských prostorů. Příklady fraktálních množin: Cantorova množina, Sierpinského trojúhelník a koberec, Kochova křivka, Mengerova houba. Elementární teorie míry. Lebesgueova míra, Hausdorffova míra. Box-counting a Hausdorffova dimenze. Výpočet dimenze. Příklady. Samopodobné množiny. Iterated function systems. Hutchisonův operátor. Atraktor. Věta o kolaci. Barnsleyovo kapradí a další samoafinní množiny.
Metric and topology of Euclidean spaces. Examples of fractal sets: Cantor set, Sierpinski triangke and carpet, Koch curve, Menger sponge. Elementary measure theory. Lebesgue measure, Hausdorff measure. Box-counting and Hausdorff dimension. Calculation of dimension. Examples. Self-similar sets. Iterated function systems. Hutchison operator. Attractors. Collation Theorem. Barnsley fern and other self-affine sets.
Geostatistika se zabývá odhady a předpovědí stochastických jevů na Zemi, pracuje s polohově lokalizovanými daty tzv. geodaty a aplikuje obecné statistické postupy na modelování a vyvozování závěrů o geostatistických problémech. Témata: 1. Empirický a teoretický variogram 2. Metody odhadu teoretického variogramu 3. Anizotropní variogram 4. Krigování 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validace 9. Bayesovske metody v krigování 10. Robustní metody v krigování 11. Práce s geostatistickými balíčky softwaru R-project
Geostatistics is concerned with the estimation and prediction problems for stochastic phenomena on the Earth, using data obtained at a limited number of spatial locations called geodata. It refers to the application of general statistical principles of modeling and inference to geostatistical problems. 1. Empirical and theoretical variogram 2. Methods of estimation of theoretical variogram 3. Anizotropic variogram 4. Kriging 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validation 9. Bayesian methods in kriging 10. Robust methods in kriging 11. Geostatistical packages of softwar R-project
Cílem předmětu je uvést posluchače doktorandského studia do problematiky parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Obsahem předmětu bude: Laplaceova a Poissonova rovnice jakožto matematické modely ustáleného rozložení teploty v homogenním tělese. Klasická formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Dirichletova, Neumannova a Newtonova okrajová podmínka. Kvalitativní vlastnosti řešení Laplaceovy a Poissonovy rovnice, princip maxima, Harnackova nerovnost. Apriorní odhady řešení a odhady řešení v okolí hranice. Zobecnění kvalitativní teorie řešení pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
The aim of this course is to provide doctoral students with an introduction in the theory of elliptic partial differential equations. The subjects of study are the following: the Laplace and Poisson equations, classical formulation of a boundary condition for the Laplace and Poisson equations, the Dirichlet, Neumann and Newton boundary conditions. Qualitative properties of solutions to the Laplace’s and Poisson’s equations, maximum principle, the Harnack inequality. A priory estimates of solutions and behavior of solutions near the boundary. Generalization of the qualitative theory of solutions to Laplace’s and Poisson’s equations for linear elliptic second order equations.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Topologie a metrika v rovině a prostoru a euklidovských prostorech; konvergence, spojité funkce a zobrazení. Metrické prostory. Topologie metrických prostorů, konvergence, spojité funkce a zobrazení, Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Úplné metrické prostory, Banachovo lemma o pevném bodu. Kompaktní metrické prostory. Kompaktnost v euklidovských prostorech. Lipschitzovské a holderovské funkce. Topologie na množině. Otevřené, uzavřené množiny, uzávěr, hranice. Báze. Spojité funkce a zobrazení. Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Kartézské součiny, projekce. Souvislé a totálně nesouvislé prostory. Kompaktnost. Tichonovova věta pro konečně mnoho prostorů. Věta Arzelá-Ascoli. Stoneova-Weierstrassova věta.
Topology and metric in the plane and Euclidean spaces; convergence, continuous functions and mappings. Metric spaces. Topology of metric spaces, convergence, continuous functions and mappings, Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Complete metric spaces, Banach Fixed Point Lemma. Compact metric spaces. Compactness in Euclidean spaces. Lipschitz and Holder functions. Topology on a set. Open and closed sets, closure, boundary. Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Cartesian products, projections. Connected and totally disconnected spaces. Compactness. Tychonoff Theorem for finitely many spaces. Arzelá-Acoli Theorem. Stone-Weierstrass Theorem.
Hilbertovy prostory Bilinearní formy a funkcionály Kvadraticky funkcionál, symetrie, positivní definitnost, věta o minimu a souvislost s rovnicí Rieszova věta a Laxova-Milgramova věta Metoda konečných prvků, konvergence (obecně i pro nesymetrický operátor)- Rieszova a Galerkinova metoda Může konvergovat jakkoliv pomalu Za lepší regularity konverguje lépe Metoda nejmenších čtverců Variační zločiny Volba bázových funkcí: h-verze, p-verze, hp-verze, hierarchické báze, kaskáda Konstrukce lineárního systému Metody řešení vzniklých soustav - přímé postupy - iterativní postupy - možnosti předpodmínění
Hilbert's spaces Bilinear forms and functionals Quadratic functional, symmetry, positive definitness, theorem about the minimum and relation to the equation Riesz's theorem and Lax-Milgram's theorem Finite element method, convergence (generally for nonsymmetric operator) - Riesz‘s and Galerkin‘s method It can converge slowly Better regularity converges better The least square method Variational crimes Selection of base functions: h-version, p-version, hp-version, hierarchical base, cascade Linear system preparation Methods of solution of the resulting systems - direct procedures - iterative procedures - possibilities of preconditioning
Cílem je seznámit posluchače se základními postupy při hledáni minima reálné funkce jedné proměnné nebo více proměnných, a to jak bez omezení, tak s omezeními. Získané poznatky si posluchači procvičí na úlohách řešených samostatně softwarem nebo programovacím jazykem, který si zvolí (Matlab, SciLab, Octave, Python, C, Fortran atd.). Obsah: Minimalizace funkcí jedné reálné proměnné. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných bez omezení. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda sdružených směrů, kvazinewtonovské metody. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných s omezeními. Lagrangeovy multiplikátory. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda penalty, metoda aktivní množiny omezení, metoda projekce gradientu, metoda SQP (Sequential Quadratic Programming), metoda vnitřního bodu. Úvod do lineárního programování, simplexová metoda
[1] Povinná:
[2] D. G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, Springer, Cham, 2016
[3] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, New York, 2006 E. G. Birgin, J. M. Martínez: Practical Augmented Lagrangian Methods for Constrained Optimization,SIAM, Philadelphia, 2014
[4] Doporučená:
[5] L. Lukšan: Numerické optimalizační metody, Technical report No. 1152, Ústav informatiky AV ČR, Praha, 2017
[6] http://www.cs.cas.cz/luksan/lekce4.pdf
The goal is to make students familiar with common methods for the minimization of functions of one or several real variables. Unconstrained as well as constrained minimization are considered. By using software tools (Matlab, SciLab, Octave, Python, etc.), course participants are expected to present a solution to a minimization problem motivated by the subject of their research. Topics: Minimization of functions of one real variable. Unconstrained minimization of functions of several real variables. Conditions for local optimality. Conjugate gradient method, quasi-Newton methods. Constrained minimization of functions of several real variables. Lagrange multipliers. Conditions for local optimality. Penalty method, active set method, gradient projection method, SQP method (Sequential Quadratic Programming). Introduction to linear programming, simplex method.
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s moderními metodami parciálních diferenciálních rovnic. Obsahem předmětu bude: Zavedení pojmu zobecněná derivace a definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Variační formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Laxovo- Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost slabého řešení okrajové úlohy. Úvod do problematiky regularrity slabého řešení, globální a vnitřní regularita. Greenův operátor,. Zobecnění moderních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
Povinná literatura:
[1] Gilbarg, David; Trudinger, Neil. S.: Elliptic partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[2] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012.
Cílem předmětu je odvození matematických modelů ustáleného i neustáleného proudění nestlačitelných tekutin. Obsahem předmětu je: Základní vlastnosti vektorového a tenzorového počtu, základní funkční prostory (Lebesgueovy a Sobolevovy prostory) a některé známé věty integrálního počtu, které budou aplikovány pro odvození matematických modelů (Greenova věta, Stokesova věta, Gaussova-Ostrogradského věta). Pojem kontinua a základní kinematické pojmy, jako jsou tenzor deformací a tenzor malých deformací, tenzor rychlosti deformací, Eulerův a Lagrangeův popis pohybu částic, Reynoldsova transportní věta. Objemové síly, plošné síly, tenzor napětí a jeho vlastnosti ( symetrie). Konstitutivní rovnice, Stokesovská tekutina. Základní typy stokesovských tekutin, ideální tekutina, newtonovská tekutina, tlak tekutiny a dynamický tenzor napětí. Odvození matematických modelů proudění nestlačitelné tekutiny, formulace okrajové úlohy pro ustálené a počátečně-okrajové úlohy pro neustálené proudění nestlačitelné tekutiny.
[1] Brdička, Miroslav; Samek, Ladislav; Sopko, Bruno.: Mechanika kontinua. ČSAV, Praha 2000.
[2] Feistauer, M. Mathematical methods in fluid dynamics. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 67. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[3] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidellberg, 2012.
[4] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
The aim of the subject is to derive mathematical models of steady and nonsteady flow of incompressible fluids. Course contents: Vector and tenzor calculus, function spaces (Lebesque and Sobolev spaces), some known theorems of integral calculus that will be applied to derive mathematical models (Green's theorem, Stokes theorem, Gauss-Ostrograph's theorem), continuum and its kinematics, tenzor of small deformations, tenzor of velocity of deformation, Eulerian and Lagrangian description of motion, Reynolds transport theorem, the volume forces, the surface forces, the stress tenzor and its properties, constitutive equations, Stokesian fluids, basic types of Stokesian fluids: ideal fluid, Newtonian fluid, the pressure, the dynamic stress tensor, mathematical models of flow of incompressible fluid, formulation of boundary value problems for steady and nonsteady flow of incompressible fluid.
Pojem časové řady. Stacionární časové řady. Základní charakteristiky a jejich odhady. ARMA modely. Frekvenční analýza časových řad. Pojem spektrální hustoty. Markovské posloupnosti s konečnou množinou stavů. MCMC a Metropolisův-Hastingsův algoritmus. Idea MCMC pro spojitou množinu stavů.
[1] Jiří Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL 1976.
[2] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series - Theory and Methods, Springer, 1991.
Notion of time series. Stationary time series. Basic characteristics and their estimates. ARMA models. Frequency analysis of time series. Markovian sequences with finite number of states. Stationary distribution and method MCMC. Idea of MCMC for a continuous set of states.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Rozdělení příbuzná s normálními (chí-kvadrát, t-rozdělení). Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. Teorie odhadů – metoda maximální věrohodnosti a metoda momentů. Bayesovy odhady. Metoda hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími parametry. Nelineární regrese. Lineární a nelineární model v rámci bayesovského odhadování.
[1] Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL 1985.
[2] Daniela Jarušková: Matematická statistika, skripta ČVUT, 2011.
[3] Anthony OHagan, Jonathan Forster: Kendall ´s advanced theory of statistics – Bayesian inference, Oxford University Press 1994
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Random sample. Idea of statistical inference. Random variables and their distribution. Normal distribution. Central limit theorem. Multiple distribution. Independence. Correlation. Theory of estimation. – point and interval estimate. Hypotheses testing. Test statistic and statistical decision. P-value. Simple linear regression – parameters estimation, hypotheses testing, prediction intervals, regression diagnostic. Simulation independent realizations of random variables.
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Advanced mathematical statistics with engineering applications
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
diplomový seminář
[1] dle zadání
projekt
[1] dle zadání
diplomová práce
[1] dle zadání
1. Geometrie a grafická komunikace v architektuře a stavitelství. 2. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii. 3. Axonometrie, polohové úlohy v axonometrii. 4. Zvyšování názornosti zobrazení v grafických programech (osvětlení těles a skupin). 5. Lineární perspektiva. 6. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. 7. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. 8. Plochy rotační, kvadriky a jejich analytický́ popis. 9. Plochy šroubové. 10. Jednodílný́ rotační hyperboloid. 11. Hyperbolický paraboloid. 12. Konoidy a cylindroidy. 13. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe. Další plochy stavební praxe
Povinná literatura:
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
Doporučená literatura:
[2] Linkeová, I.: Constructive Geometry, ČVUT, 2016
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[4] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
Doporučená literatura:
[3] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[4] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
Doporučená literatura:
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
V rámci předmětu jsou vyloženy některé kapitoly z teorie pravděpodobnosti a vybrané statistické metody. Vyložená látka je ilustrována příklady se zaměřením na ekonomické aplikace a aplikace v teorii řízení. K řešení příkladů je využíván Excel a volně dostupný statistický software Jamovi.
[1] Jarušková, D. (2011): Pravděpodobnost a matematická statistika, Praha: ČVUT, Fakulta stavební
[3] Jarušková, D., Hála, M. (2011): Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Praha: ČVUT, Fakulta stavební
[5] Keller, G. (2012). Managerial Statistics, 9th edition. South-Western Cengage Learning.
[7] Levine, D. M., Stephan, D. F., Szabat, K. A. (2017) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, Global Edition, 8th edition. Pearson International Edition.
1. Riemannův integrál. Vlastnosti. Integrovatelnost funkce. Střední hodnota funkce. Primitivní funkce. 2. Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. 3. Parciální zlomky. Integrace racionální a iracionální funkce. 4. Integrace goniometrické funkce. Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 5. Aproximace rovinného obrazce, numerický výpočet integrálu. 6. Funkce dvou proměnných. Definiční obor, obor hodnot, vrstevnice a graf. Kvadriky. 7. Limita a spojitost funkce dvou proměnných, parciální derivace. Totální diferenciál, Taylorův polynom. 8. Implicitní funkce dvou proměnných, lokální extrémy funkce dvou proměnných. 9. Vázané a globální extrémy funkce dvou proměnných. Diferenciální rovnice prvního řádu. 10. Aplikace diferenciálních rovnic - spádnice grafu funkce dvou proměnných. 11. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Existence a jednoznačnost řešení diferenciálních rovnic. 12. Numerické řešení diferenciálních rovnic: Rungovy-Kuttovy metody. 13. Rezerva
Povinná literatura:
[1] Kočandrlová M., Černý J.: Geo-Matematika I, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2. vydání, 2020, ISBN 978-80-01-06671-3
[2] Charvát, J.; Kelar, V.; Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1
[3] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I, II Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.
1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.
Povinná literatura:
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05620-2
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
[3] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II, ISBN 9401583080, 9789401583084
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.
Povinná literatura:
[1] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001 ISBN-13: 978-0486414546
[2] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing, ISBN-13: 978-1133103714
[3] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation, ISBN 9781421407944
Doporučená literatura:
[4] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003, ISBN 0387954104, 9780387954103
Povinná literatura:
[1] Wald Abraham: Sequential Analysis, Courier Corporation 2013,ISBN 978-0-486-61579-0
[2] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[3] Jurečková Jana and Picek Jan :Robust Statistical Methods with R,Chapman and Hall/CRC 2006,ISBN 978-1-58488-454-5
Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1G, popř. Matematika 2G.
Doporučená literatura:
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, Prometheus Praha, 2000.
[2] Pultarová, I., Novák, J., Novák, P.: Základy informatiky. Počítačové modelování v Matlabu, skripta FSv ČVUT v Praze, 2005.
Povinná literatura:
[3] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-matematika I, skripta FSv ČVUT v Praze, 2007.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 2 navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 3 navazuje na předměty Matematické metody ve fyzikální geodézii 1 a 2. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] [1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
1. K čemu jsou určeny systémy počítačové algebry. Obecně o software Maple. 2. Maple - základní způsoby interakce s uživatelem (worksheet, document). 3. Maple - základní pojmy (proměnná, výraz, funkce, cyklus, větvení). Výukové nástroje pro pomoc studentům. 4. Neurčitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 5. Určitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 6. Úlohy s určitým integrálem řešené sw Maple. 7. Grafy funkcí jedné proměnné, jejich úpravy a popisy v sw Maple. 8. Derivování v systému Maple. 9. Grafy funkcí více proměnných a jejich úpravy. Vrstevnice. 10. Tečná rovina plochy, normála k ploše, zobrazování. 11. Vyšetřování extrémů pomocí sw Maple. 12. Vázané extrémy, jejich zobrazení. 13. Některé další užitečné nástroje sw Maple. Rezerva.
[1] [1] Webová stránka dr. A. Němečka http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html s odkazy na studijní materiály.
[2] [2] J. Hřebíček: Systémy počítačové algebry. Soubor PDF na http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[3] [3] Systém nápovědy, jenž je součástí sw Maple.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
Předmět je zaměřen na studium kvalitativních vlastností matematických modelů přenosu tepla a vlhkosti v porézních materiálech. Přednášky jsou věnovány odvození modelů transportních procesů ve vícefázových systémech a řešení odpovídajících počátečně-okrajových problémů. Hlavní témata (osnova) předmětu: Bilanční rovnice, bilance hmoty a energie. Bilanční rovnice ve vícefázových systémech, přenos tepla a hmoty v porézních materiálech. Konstitutivní rovnice, Darcyho zákon, Fourierův zákon, Fickův zákon, stavové rovnice, tepelně vlhkostní parametry v transportních modelech. Matematická formulace problému, počáteční a okrajové podmínky. Rotheho metoda, Faedova-Galerkinova metoda. Řešení eliptických problémů generovaných metodou časové diskretizace. Existenční a konvergenční věta pro abstraktní parabolický problém. Aplikace na zjednodušené modely vedení tepla a izotermální proudění vlhkosti v porézních materiálech. Sdružený transport tepla a vlhkosti v porézních materiálech.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Birkhäuser Basel, 2013.
[3] K. Rektorys, The Method of Discretization in Time and Partial Differential Equations, Springer, 1982.
[4] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. SNTL, 1985.
[5] Doporučená literatura:
[6] G.F. Pinder, W.G. Gray, Essentials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
[7] R. Černý, P. Rovnaníková, Transport Processes in Concrete, CRC Press, 2002.
The subject is focused on qualitative properties of mathematical models of heat and moisture transport in porous materials. The lectures are devoted to derivation of models of transport processes in multiphase systems and solutions of corresponding initial-boundary value problems. The main topics of the subject: Balance equations, mass balance equations, energy balance equations, balance equations in multi-phase systems, heat and mass transport in porous materials, constitutive equations, Darcy’s law, Fourier’s law, Fick’s law, state equations, hygro-thermal parameters in transport models. Mathematical formulation of the problem, initial and boundary conditions. The method of Rothe, Faedo-Galerkin method. Solutions of elliptic problems generated by the method of discretization in time, existence and convergence theorem for the abstract parabolic problem, applications on simplified models of heat transport and isothermal moisture flow in porous materials. Coupled heat and moisture transport in porous materials.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění matematicky zaměřené práce nabízí systém Maple. Účastníci získají elementární osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Rozdíly mezi systémem počítačové algebry (Computer Algebra System, CAS) a numericky orientovaným softwarem (např. Matlab). Jádro Maple a knihovny (packages). Dvě základní formy interakce s prostředím Maple – worksheet a document, různé módy interakce (výběr z hlavního menu, kontextové menu, textové příkazy). Systém nápovědy. Základní pojmy a operace: proměnná, výraz, funkce, procedura, úpravy výrazů a funkcí, derivace, integrace, cykly, podmíněné příkazy, zavádění omezujících předpokladů, funkce definované po částech. Grafy funkcí jedné proměnné, dvou proměnných. Kombinování více grafů do jednoho obrázku, anotace grafů. Nastavení barev, typu a velikosti písma. Export obrázků v různých grafických formátech. Práce s pokročilejšími matematickými nástroji: řešení obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční i okrajové úlohy), lineární algebra. Možnosti numerických výpočtů. Důležitou součástí je samostatná seminární práce posluchačů motivovaná tématem (třeba jen dílčím) jejich disertační práce.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Maple.
[3] Elektronické příručky volně dostupné na webových stránkách fy Maplesoft https://www.maplesoft.com/documentation_center/
[4] J. Urbánek: Matematika s programem Maple, MU Brno, 2012
[5] Doporučená:
[6] J. Hřebíček, Z. Pospíšil, J. Urbánek: Úvod do matematického modelování s využitím Maple, MU Brno, 2010, ISBN 978-80-7204-691-1
The goal is to make students familiar with basic mathematical tools provided by the computer algebra system (CAS) Maple. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Differences between CAS and numerical software (Matlab, for instance). Maple core and packages. Maple worksheet and document modes; interaction with the user – palettes, context menu, line commands. Help system. Basic terms and operations: variable, expression, function, procedure, symbolic manipulation with expressions and functions, differentiation, integration, loops, conditional execution, assumptions, etc. Plots and animations, customizing plots (color, text, font, etc.), multiple plots. Exporting. Advanced tools: solving ordinary differential equations, initial and boundary value, problems, linear algebra. Numerical calculation. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tématické okruhy jsou: Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav Řešení problému vlastních čísel Aproximace funkcí Numerická kvadratura Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan:, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. Solving nonlinear equations and their systems Eigenvalue problem Approximation of functions Numerical quadrature Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] G. I. Marčuk: Metody numerické matematiky, Academia, 1987
[6] Doporučená literatura:
[7] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Fořt J., Neustupa J.: Parciální diferenciální rovnice. Skriptum FS ČVUT, 2005.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Cílem je seznámit posluchače s některými kvalitativními vlastnostmi obyčejných diferenciálních rovnic a také s konceptem dynamického systému. Obsah: Lineární systémy, nelineární systémy - lokální teorie, nelineární systémy – globální teorie, nelineární systémy - vybrané kapitoly bifurkační teorie
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer, Third Edition, 2000.
The course covers selected chapters from the qualitative theory of ordinary differential equations and also of dynamical systems. Contents: Linear systems, nonlinear systems – local theory, nonlinear systems – global theory, nonlinear systems - selected topics of bifucation theory.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Cílem je seznámit posluchače s vybranými kapitolami teorie dynamických systémů. Obsah: Systémy se stabilním asymptotickým chováním, lineární zobrazení a lineární diferenciální rovnice, rekurence a rovnoměrné rozdělení, konzervativní systémy, jednoduché systémy s komplikovanou orbitální strukturou, entropie a chaos, hyperbolické dynamiky, homoklinické trajektorie, paradoxní atraktory. Kapitoly z ergodické teorie a topologických dynamik
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: B. Haselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics (with a panorama of recent developments), Cambridge University Press, New York, 2003.
[3] A. Katok., B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems,
[4] Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
The course covers selected topics of the theory of dynamical systems. Contents: Systems with stable asymptotic behavior, linear maps and linear differential equations, recurrence and equidistribution, conservative systems, simple systems with complicated orbit structure, entropy and chaos, hyperbolic dynamics, homoclinic tangles, strange attractors.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Fyzikální odvození typických nerovnovážných úloh fyziky spojitých prostředí, formulace a interpretace počátečních a okrajových podmínek, klasifikace rovnic (parabolické, hyperbolické), metody řešení (Galerkin, časová diskretizace) včetně rekapitulace základní teorie Sobolevových prostorů a vět o vnoření, kvalitativní vlastnosti řešení jako např. stabilita versus nestabilita trajektorií, vznik rázových vln, systémy s pamětí.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda, Parciální diferenciální rovnice II: Evoluční rovnice. Matematika pro vysoké školy technické. SNTL Praha, 1986.
Physical derivation of typical nonequilibrium problems in continuum physics, formulation and interpretation of initial and boundary conditions, classification of PDEs (parabolic, hyperbolic), solution methods (Galerkin, time discretization) including a survey of the basic theory of Sobolev spaces and embedding theorems, qualitative properties of solutions as, e. g., stability or instability of solution trajectories, occurrence of shock waves, or systems with memory.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Přednášky budou věnovány studiu Hilbertových a Banachových prostorů a operátorů na nich s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Řekneme si něco o základních větách funkcionální analýzy, tj. Hahnova-Banachova, Banachova-Steinhausova věta a věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Boudou zavedeny pojmy duál a reflexivita, kvadratický funkcionál, dokázána věta o minimu a souvislost s operátorovou rovnicí. Dále dokážeme Rieszovu větu o reprezentaci a Laxova-Milgramovu větu. Zavedeme slabou konvergenci a dokážeme větu o slabé kompaktnosti jednotkové koule. Ukážeme si, že konvexní spojitý koercivní funkcionál na reflexivním prostoru má minimum. Zmíníme Browderovu větu o monotónních operátorech. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of Hilbert and Banach spaces and operators on them with regard to applications in the theory of partial differential equations. We say basic theorems of the functional analysis, Hahn-Banach's, Banach-Steinhaus's theorem, and the theorem on open mapping and on the closed graph. The concept of dual space and reflexivity, the quadratic functional, the theorem about the minimum and the relation with the operator equation have been introduced. Furthermore, we can prove Riesz's theorem on representation and Lax-Milgram's theorem. We will introduce a weak convergence and we will prove a weak compactness of the unit ball. We show that the convex continuous coercive functional in the reflexive Banach space has a minimum. Let's mention Browder's theorem about monotone operators. Finally, we will show applications on elliptical problems.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Metrika a topologie euklidovských prostorů. Příklady fraktálních množin: Cantorova množina, Sierpinského trojúhelník a koberec, Kochova křivka, Mengerova houba. Elementární teorie míry. Lebesgueova míra, Hausdorffova míra. Box-counting a Hausdorffova dimenze. Výpočet dimenze. Příklady. Samopodobné množiny. Iterated function systems. Hutchisonův operátor. Atraktor. Věta o kolaci. Barnsleyovo kapradí a další samoafinní množiny.
Metric and topology of Euclidean spaces. Examples of fractal sets: Cantor set, Sierpinski triangke and carpet, Koch curve, Menger sponge. Elementary measure theory. Lebesgue measure, Hausdorff measure. Box-counting and Hausdorff dimension. Calculation of dimension. Examples. Self-similar sets. Iterated function systems. Hutchison operator. Attractors. Collation Theorem. Barnsley fern and other self-affine sets.
Geostatistika se zabývá odhady a předpovědí stochastických jevů na Zemi, pracuje s polohově lokalizovanými daty tzv. geodaty a aplikuje obecné statistické postupy na modelování a vyvozování závěrů o geostatistických problémech. Témata: 1. Empirický a teoretický variogram 2. Metody odhadu teoretického variogramu 3. Anizotropní variogram 4. Krigování 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validace 9. Bayesovske metody v krigování 10. Robustní metody v krigování 11. Práce s geostatistickými balíčky softwaru R-project
Geostatistics is concerned with the estimation and prediction problems for stochastic phenomena on the Earth, using data obtained at a limited number of spatial locations called geodata. It refers to the application of general statistical principles of modeling and inference to geostatistical problems. 1. Empirical and theoretical variogram 2. Methods of estimation of theoretical variogram 3. Anizotropic variogram 4. Kriging 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validation 9. Bayesian methods in kriging 10. Robust methods in kriging 11. Geostatistical packages of softwar R-project
Cílem předmětu je uvést posluchače doktorandského studia do problematiky parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Obsahem předmětu bude: Laplaceova a Poissonova rovnice jakožto matematické modely ustáleného rozložení teploty v homogenním tělese. Klasická formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Dirichletova, Neumannova a Newtonova okrajová podmínka. Kvalitativní vlastnosti řešení Laplaceovy a Poissonovy rovnice, princip maxima, Harnackova nerovnost. Apriorní odhady řešení a odhady řešení v okolí hranice. Zobecnění kvalitativní teorie řešení pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
The aim of this course is to provide doctoral students with an introduction in the theory of elliptic partial differential equations. The subjects of study are the following: the Laplace and Poisson equations, classical formulation of a boundary condition for the Laplace and Poisson equations, the Dirichlet, Neumann and Newton boundary conditions. Qualitative properties of solutions to the Laplace’s and Poisson’s equations, maximum principle, the Harnack inequality. A priory estimates of solutions and behavior of solutions near the boundary. Generalization of the qualitative theory of solutions to Laplace’s and Poisson’s equations for linear elliptic second order equations.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Topology and metric in the plane and Euclidean spaces; convergence, continuous functions and mappings. Metric spaces. Topology of metric spaces, convergence, continuous functions and mappings, Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Complete metric spaces, Banach Fixed Point Lemma. Compact metric spaces. Compactness in Euclidean spaces. Lipschitz and Holder functions. Topology on a set. Open and closed sets, closure, boundary. Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Cartesian products, projections. Connected and totally disconnected spaces. Compactness. Tychonoff Theorem for finitely many spaces. Arzelá-Acoli Theorem. Stone-Weierstrass Theorem.
Hilbertovy prostory Bilinearní formy a funkcionály Kvadraticky funkcionál, symetrie, positivní definitnost, věta o minimu a souvislost s rovnicí Rieszova věta a Laxova-Milgramova věta Metoda konečných prvků, konvergence (obecně i pro nesymetrický operátor)- Rieszova a Galerkinova metoda Může konvergovat jakkoliv pomalu Za lepší regularity konverguje lépe Metoda nejmenších čtverců Variační zločiny Volba bázových funkcí: h-verze, p-verze, hp-verze, hierarchické báze, kaskáda Konstrukce lineárního systému Metody řešení vzniklých soustav - přímé postupy - iterativní postupy - možnosti předpodmínění
Hilbert's spaces Bilinear forms and functionals Quadratic functional, symmetry, positive definitness, theorem about the minimum and relation to the equation Riesz's theorem and Lax-Milgram's theorem Finite element method, convergence (generally for nonsymmetric operator) - Riesz‘s and Galerkin‘s method It can converge slowly Better regularity converges better The least square method Variational crimes Selection of base functions: h-version, p-version, hp-version, hierarchical base, cascade Linear system preparation Methods of solution of the resulting systems - direct procedures - iterative procedures - possibilities of preconditioning
Cílem je seznámit posluchače se základními postupy při hledáni minima reálné funkce jedné proměnné nebo více proměnných, a to jak bez omezení, tak s omezeními. Získané poznatky si posluchači procvičí na úlohách řešených samostatně softwarem nebo programovacím jazykem, který si zvolí (Matlab, SciLab, Octave, Python, C, Fortran atd.). Obsah: Minimalizace funkcí jedné reálné proměnné. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných bez omezení. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda sdružených směrů, kvazinewtonovské metody. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných s omezeními. Lagrangeovy multiplikátory. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda penalty, metoda aktivní množiny omezení, metoda projekce gradientu, metoda SQP (Sequential Quadratic Programming), metoda vnitřního bodu. Úvod do lineárního programování, simplexová metoda
[1] Povinná:
[2] D. G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, Springer, Cham, 2016
[3] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, New York, 2006 E. G. Birgin, J. M. Martínez: Practical Augmented Lagrangian Methods for Constrained Optimization,SIAM, Philadelphia, 2014
[4] Doporučená:
[5] L. Lukšan: Numerické optimalizační metody, Technical report No. 1152, Ústav informatiky AV ČR, Praha, 2017
[6] http://www.cs.cas.cz/luksan/lekce4.pdf
The goal is to make students familiar with common methods for the minimization of functions of one or several real variables. Unconstrained as well as constrained minimization are considered. By using software tools (Matlab, SciLab, Octave, Python, etc.), course participants are expected to present a solution to a minimization problem motivated by the subject of their research. Topics: Minimization of functions of one real variable. Unconstrained minimization of functions of several real variables. Conditions for local optimality. Conjugate gradient method, quasi-Newton methods. Constrained minimization of functions of several real variables. Lagrange multipliers. Conditions for local optimality. Penalty method, active set method, gradient projection method, SQP method (Sequential Quadratic Programming). Introduction to linear programming, simplex method.
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s moderními metodami parciálních diferenciálních rovnic. Obsahem předmětu bude: Zavedení pojmu zobecněná derivace a definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Variační formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Laxovo- Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost slabého řešení okrajové úlohy. Úvod do problematiky regularrity slabého řešení, globální a vnitřní regularita. Greenův operátor,. Zobecnění moderních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
[1] Gilbarg, David; Trudinger, Neil. S.: Elliptic partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[2] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012.
[3] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
Cílem předmětu je odvození matematických modelů ustáleného i neustáleného proudění nestlačitelných tekutin. Obsahem předmětu je: Základní vlastnosti vektorového a tenzorového počtu, základní funkční prostory (Lebesgueovy a Sobolevovy prostory) a některé známé věty integrálního počtu, které budou aplikovány pro odvození matematických modelů (Greenova věta, Stokesova věta, Gaussova-Ostrogradského věta). Pojem kontinua a základní kinematické pojmy, jako jsou tenzor deformací a tenzor malých deformací, tenzor rychlosti deformací, Eulerův a Lagrangeův popis pohybu částic, Reynoldsova transportní věta. Objemové síly, plošné síly, tenzor napětí a jeho vlastnosti ( symetrie). Konstitutivní rovnice, Stokesovská tekutina. Základní typy stokesovských tekutin, ideální tekutina, newtonovská tekutina, tlak tekutiny a dynamický tenzor napětí. Odvození matematických modelů proudění nestlačitelné tekutiny, formulace okrajové úlohy pro ustálené a počátečně-okrajové úlohy pro neustálené proudění nestlačitelné tekutiny.
[1] Brdička, Miroslav; Samek, Ladislav; Sopko, Bruno.: Mechanika kontinua. ČSAV, Praha 2000.
[2] Feistauer, M. Mathematical methods in fluid dynamics. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 67. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[3] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidellberg, 2012.
[4] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
The aim of the subject is to derive mathematical models of steady and nonsteady flow of incompressible fluids. Course contents: Vector and tenzor calculus, function spaces (Lebesque and Sobolev spaces), some known theorems of integral calculus that will be applied to derive mathematical models (Green's theorem, Stokes theorem, Gauss-Ostrograph's theorem), continuum and its kinematics, tenzor of small deformations, tenzor of velocity of deformation, Eulerian and Lagrangian description of motion, Reynolds transport theorem, the volume forces, the surface forces, the stress tenzor and its properties, constitutive equations, Stokesian fluids, basic types of Stokesian fluids: ideal fluid, Newtonian fluid, the pressure, the dynamic stress tensor, mathematical models of flow of incompressible fluid, formulation of boundary value problems for steady and nonsteady flow of incompressible fluid.
Pojem časové řady. Stacionární časové řady. Základní charakteristiky a jejich odhady. ARMA modely. Frekvenční analýza časových řad. Pojem spektrální hustoty. Markovské posloupnosti s konečnou množinou stavů. MCMC a Metropolisův-Hastingsův algoritmus. Idea MCMC pro spojitou množinu stavů.
[1] Jiří Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL 1976.
[2] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series - Theory and Methods, Springer, 1991.
Notion of time series. Stationary time series. Basic characteristics and their estimates. ARMA models. Frequency analysis of time series. Markovian sequences with finite number of states. Stationary distribution and method MCMC. Idea of MCMC for a continuous set of states.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Rozdělení příbuzná s normálními (chí-kvadrát, t-rozdělení). Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. Teorie odhadů – metoda maximální věrohodnosti a metoda momentů. Bayesovy odhady. Metoda hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími parametry. Nelineární regrese. Lineární a nelineární model v rámci bayesovského odhadování.
[1] Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL 1985.
[2] Daniela Jarušková: Matematická statistika, skripta ČVUT, 2011.
[3] Anthony OHagan, Jonathan Forster: Kendall ´s advanced theory of statistics – Bayesian inference, Oxford University Press 1994
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Advanced mathematical statistics with engineering applications
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
Předmět seznamuje studenty se základními výpočetními metodami navazujícími na úlohy lineární algebry, které vznikají v inženýrských úlohách. Budou postupně probrána následující témata. Základní pojmy lineární algebry: vektor, matice, soustava lineárních rovnic, řešitelnost. Normy vektorů a matic, vlastní čísla a vlastní vektory matic. Spektrum matice. Souřadnice vzhledem k bázi, změna báze. Schurův doplněk. Symetrické a pozitivně definitní matice. Gaussova eliminace, LU rozklad. Maticové iterační metody. Jacobiova metoda. Gaussova-Seidelova metoda. Gradientní metody. Metoda největšího spádu. Metoda sdružených gradientů. Kriteria a rychlosti konvergence uvedených metod. Podmíněnost soustavy lineárních rovnic. Metody předpodmínění. Neúplný LU rozklad. Výpočet vlastního vektoru matice. Gramova-Schmidtova ortogonalizace. Diskrétní Fourierova transformace a její vlastnosti. Cirkulentní matice.
Students are introduced to basic computational methods related to the problems of linear algebra which can be obtained in engineering problems. The following topics are studied. Basics of linear algebra: vectors, matrices, systems of linear equations, solvability. Vector and matrix norms, eigenvalues and eigenvectors. Spectra of matrices. Coordinates with respect to a basis; change of a basis. Schur complement. Symmetric and positive definite matrices. Gauss elimination. LU decomposition. Matrix iterative methods: Jacobi method, Gauss-Seidel method. Gradient methods: method of steepest descent, conjugate gradient method. Convergence criteria and convergence rate. Conditioning of a system of linear equation. Preconditioning methods. Incomplete LU decomposition. Eigenproblems. Gram-Schmidt orthogonalization. Discrete Fourier transformation and its properties. Circulent matrix.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění numericky zaměřené práce nabízí prostředí a jazyk Matlab. Účastníci získají osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Interaktivní prostředí sw Matlab, systém „toolboxů“. Elementární vlastnosti jazyka Matlab, vektory, matice, struktury, typy proměnných a funkcí. Orientace na uživatelský přístup a vědecko-technické výpočty. Vytváření a vlastnosti M-souborů. Numerické iterační algoritmy pro řešení nelineárních rovnic a soustav lineárních rovnic. Aproximace a interpolace. Metoda nejmenších čtverců a minimalizace funkcí více proměnných. Numerická integrace. Grafické vstupy a výstupy. Symbolické operace. Seznámení se z některými z aplikačních rozšíření, např. Partial Differential Equation Toolbox, Optimization Toolbox, Global Optimization Toolbox.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Matlab (anglicky).
[3] J. Koláček, K. Konečná: Jak pracovat s MATLABem, Masarykova univerzita, Brno, 2017,
[4] https://www.fce.vutbr.cz/MAT/konecna.k/vyuka/MUNI/VMS/Navod_MATLAB.pdf
[5] T. Kozubek a kol.: Lineární algebra s Matlabem, VŠB-TU Ostrava a ZUČ v Plzni, 2012, http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/linearni_algebra_s_matlabem.pdf
[6] Doporučená:
[7] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – počítačové modelování v MATLABU. Česká technika - nakladatelství ČVUT (CTN), Praha, 2005.
The goal is to make students familiar with basic mathematical and numerical tools provided by Matlab, a language and environment for mostly numerical calculations. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Matlab interactive environment, Matlab toolboxes. Basics of the Matlab language; vector, matrix, structure, variable, function; loop, conditional execution, m-file. Numerical iterative algorithms for solving nonlinear equations and systems of linear equations. Approximation and interpolation. The least-squares method, minimization of functions of several variables. Numerical integration. Plots and animations. Symbolic operations. Partial Differential Equation Toolbox, Optimization Toolbox, Global Optimization Toolbox. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Cílem je seznámit posluchače s některými nestochastickými metodami pro popis nejistoty v parametrech vstupujících do matematického modelu a pro získání informace o nejistotě ve veličině vystupující z modelu (quantity of interest). Obsah: Aleatorická a epistemická nejistota. Představení úloh s nejistými daty s důrazem na diferenciální rovnice. Různé přístupy ke kvantifikaci nejistot. Metoda nejhoršího a nejlepšího scénáře. Základní pojmy teorie fuzzy množin (funkce příslušnosti, alfa-řez, Zadehův princip rozšíření). Fuzzifikace, různé konstrukce funkce příslušnosti a její varianta v Information Gap Theory Y. Ben-Haima. Úvod do Dempsterovy-Shaferovy teorie (DST), funkce belief a plauzibility, Dempsterovo kombinační pravidlo. Pravděpodobnostně zaměřená interpretace DST. Aplikace na inženýrské úlohy s nejistými daty a s netriviálním stavovým problémem. Stavební kameny algoritmů pro jejich numerické řešení – minimalizace funkcí více proměnných, analýza citlivosti, metoda konečných prvků.
[1] Povinná:
[2] B. M. Ayyub, G. J. Klir: Uncertainty Modelling and Analysis in Engineering and Sciences, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2006
[3] B. Möller, M. Beer: Fuzzy Randomness – Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics, Springer, Berlin, 2010
[4] W. Fellin a kol. (ed.): Analyzing Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2005
[5] Doporučená:
[6] A. Bernardini, F. Tonon: Bounding Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2010
[7] I. Hlaváček, J. Chleboun, I. Babuška: Uncertain Input Data Problems and the Worst Scenario Method, Elsevier, Amsterdam, 2004.
The goal is to make students familiar with some non-stochastic methods for uncertainty quantification. Uncertainty is considered in parameters entering mathematical models. Consequently, the model output represented by a quantity of interest is also uncertain and this uncertainty is to be assessed. Topics: Aleatoric and epistemic uncertainty. Differential equations with uncertain data. Various approaches to uncertainty quantification. The worst- and best-case scenario method. Elements of fuzzy set theory (membership function, alpha-cut, Zadeh’s extension principle). Fuzzification, various definitions of membership functions, a connection to information gap theory by Y. Ben-Haim. An introduction to the Dempster-Shafer theory (DST), belief and plauzibility, Dempster’s rule of combination. Probabilistic interpretation of DST. Application to engineering problems with uncertain data and a non-trivial state problem. Tools for solving such problems – minimization algorithms, sensitivity analysis, finite element method.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language,ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale, John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach,
[5] Doporučená literatura:
[6] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
Basic principles of object-oriented programming (C ++, D, ADA, Fortran), algorithms design, component programming, coexistence of different platforms, portability of programs on various hardware platforms, security aspects of programming.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language, ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale, John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach, Jones and Bartlett Publishers,
[4] 2007
[6] Doporučená literatura:
[7] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
[8] Pecinovsky, Rudolf : OOP – Learn Object Oriented Thinking & Programming. Bruckner Publishing. ISBN 978-80-
Předmět je zaměřen na diferenciální rovnice a techniky jejich řešení. Mnoho jevů v inženýrských vědách lze popsat pomocí diferenciálních rovnic. Proto vědci a inženýři musí znát, jak modelovat praktické úlohy v jazyce difereciálních rovnic a jak tyto rovnice řešit. Obsahem předmětu bude: základní typy diferenciálních rovnic prvního řádu, jejich vlastnosti i způsoby jejich řešení (separace proměnných, homogenní, lineární rovnice, Bernoulliova a Riccatiova rovnice, exaktní rovnice), diferenciální rovnice n-tého řádu, závislost řešení na parametrech a na počátečních podmínkách, úlohy s okrajovými podmínkami, soustavy obyčejných diferenciálních rovnic.
This course provides an introduction to the mathematical theory of ordinary differential equations and methods of finding their solutions. Many models in engeneering can be expressed as differential equations. Knowledge how to select and use an apropriate model and techniques for finding its solutions is essential for scientists and engineers. The course covers core topics such as first order differential equations (separable equations, exact equations, homogeneous equations, linear equations, the Bernoulli and Riсcati equations), initial and boundary value problems, linear higher-order differential equations, systems of differential equations.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Přednášky budou věnovány studiu prostorů funkcí s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Boudou zavedeny Lebesgueovy a Sobolevovy prostory. Bude dokázána věta o hustotě hladkých funkcí a věta o rozšíření operátoru z husté podmnožiny. Dále bude zavedena Hausdorffova míra a definovány lebesgueovy prostory na hranici a prostory neceločíselného řádu. Budou dokázány věty o vnoření, o stopách, inverzní věta o stopách a kompaktní vnoření. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of function spaces with respect to applications in the theory of partial differential equations. The Lebesgue and Sobolev spaces will be introduced. The teorem about the density of smooth functions and the theorem about extending the operator from a dense subset will be proved. In addition, the Hausdorff measure will be introduced, and Lebesgue spaces on the boundary and non-integer order spaces will be defined. Proofs of embeddings, trace, inverse traces, and compact embeddings will be proved. Finally, we will show applications on elliptic problems.
Cílem je seznámit posluchače s důležitými částmi teorie nezáporných matic a také positivních operátorů. Obsah: Matice zachovávající kužel, nezáporné matice, semigrupy nezáporných matic, iterativní metody řešení lineárních systémů, konečné markovovské řetězce, příklady. Positivní operátory, spektrální teorie positivních operátorů, příklady a ukázky aplikací.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: A. Berman, J. Plemmons, Nonnegative matrices in the Mathematical Sciences, Classics in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia 1994.
[3] M. A. Krasnoselskij, Je. A. Lifshits, A. V. Sobolev, Positive Systems – The Method of Positive Operators, Sigma Series in Applied Mathematics 5, Heldermann Verlag Berlin, 1989.
The course covers selected topics of the theory of nonnegative matrices and also of positive operators. Contents: Matrices that leave a cone invariant, nonnegative matrices, semigroups of nonnegative matrices, iterative methods for linear systems, finite Markov chains, examples. Positive operators, spectral theory of positive operators, examples and possible applications.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. • Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. • Metoda hlavních komponent. • Časové řady v časové a frekvenční doméně. • Bayesovské postupy. • Vybrané Monte Carlo metody.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. • Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. • Metoda hlavních komponent. • Časové řady v časové a frekvenční doméně. • Bayesovské postupy. • Vybrané Monte Carlo metody.
Robustní statistika je soubor statistických metod, které nejsou citlivé k malým odchylkám od ideálních předpokladů, za kterých byly tyto metody odvozeny. Robustní statistika se sice již stala součástí hlavního proudu, je implementována i ve většině statistických softwarů, přesto je určitou nadstavbou nad klasickými metodami. Témata: 1. Klasická a robustní statistika 2. Odhad polohy a měřítka 3. Maximálně věrohodné odhady 4. M-odhady polohy 5. Influenční funkce 6. Bod zvratu 7. M-odhady měřítka 8. Asymptotická normalita M-odhadů 9. Balancování mezi vychýlením a rozptylem 10. Hampelova optimalita 11. Linearní model a LS metoda 12. M-odhady v linearním modelu 13. Linearní model s náhodnými prediktory 14. S-odhady(LTS) v linearním modelu
Robust statistics deals with statistical methods which are not sensitive to small depatrures from model assumptions. Robust statistics became a part of mainstream statistics only a few years ago yet it is implemented in many statistical softwars. 1. Classical and robust statistics 2.An estimation of location and scale 3. The maximum likelihood estimation 4. M-estimators of location 5. Influence function 6.Breakdown point 7. M-estimators of scale 8. Asymptotic normality of M-estimators 9. Balancing bias and variance 10. Hampel‘s optimality 11. Linear model and LS method 12. M-estimators in linear model 13. Linear model with random predictors 14. S-estimators(LTS) in linear model
Předmět seznamuje studenty se základními metodami výpočtu závislostí řešení technických úloh na náhodných vstupních datech a s metodami odhadu modelů a jejich parametrů z naměřených dat. Obsah je z velké části věnován výpočetní stránce těchto úloh, souvisejícím numerickým metodám, jejich výpočetní náročnosti a podmínkám konvergence. Jednotlivá témata jsou následující: Numerické řešení deterministické parciální diferenciální rovnice, metoda konečných prvků a metoda sítí, obě jen okrajově. Základní pojmy počtu pravděpodobnosti. Parciální diferenciální rovnice s náhodným parametrem. Metoda Monte Carlo. Kolokační metoda. Stochastická Galerkinova metoda. Prostory řešení úloh s náhodnými daty. Karhunenův-Loeveův rozvoj. Mercerovo lemma. Rozklad kovarianční matice. Rychlost konvergence vzhledem k aproximaci náhodné proměnné. Bayesovské metody. Inverzní analýza.
Students are introduced to basic solution methods for problems dependent on random input variables and for estimating of models and their parameters from measured data. The subject focuses on the computational properties of these methods, related numerical methods, their convergence conditions and efficiency. The particular topics are numerical solution of determinic partial differential equations, finite element method, finite difference method (only a sketch of them both); basic methods of computational probability; partial differenetial equations with random parameters; Monte Carlo Method; collocation method; stochastic Gallerkin method; solution spaces of problems with random data; Karhunen-Loeve expansion; Mercer’s lemma; covariance matrix decomposition; convergence with respect to random variables; Bayesian methods; inverse analysis.
Předmět je zaměřen na variační formulace a řešení základních statických a kvazistatických problémů matematické teorie pružnosti. Přednášky jsou věnovány okrajovým úlohám v teorii eliptických rovnic s důrazem na otázky existence a jednoznačnosti řešení. Hlavní témata (osnova) předmětu: Tenzor napětí, podmínky rovnováhy, tenzor deformace, rovnice kompatibility deformací, Hookův zákon. Energetické prostory funkcí. Klasická a variační formulace okrajových úloh teorie pružnosti. Rellichova věta, koercivnost deformací, Kornova nerovnost. Koercivní a slabě zdola polospojité funkcionály, Gateauxův diferenciál, variační princip. Řešení základních úloh teorie pružnosti. Pružně nepružná tělesa, modely s vnitřními parametry.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] J. Nečas, I. Hlaváček. Úvod do matematické teorie pružných a pružně plastických těles, SNTL, Praha, (1983)
[3] J. Nečas, I. Hlaváček. Mathematical Theory of Elastic and Elasto-plastic bodies: an Introduction, Elsevier (Studies in Applied Mechanics), (1981)
[4] Doporučená literatura:
[5] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha, 1999.
[6] O.John, J.Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1977.
The subject is focused on variational formulations and solutions of fundamental static and quasistatic problems in the mathematical theory of elasticity. The lectures are devoted to boundary value problems for elliptic equations with emphasis on the problems of the existence and uniqueness of solutions. The main topics of the subject: Stress tensor, equations of equilibrium, strain tensor, equations of the compatibility of strain, Hooke’s law, the spaces of functions with finite energy, classical and variational formulations of boundary value problems in the theory of elasticity, Rellich's theorem, coerciveness of strains, Korn's inequality, coercive and weakly lower semi-continuous functionals, differentiability in the Gateaux sense, solvability of problems in the theory of elasticity, variational principle, elasto-inelastic bodies, models with internal state variables
Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Míka, S.: Matematická analýza III : tenzorová analýza , Plzeň : Západočeská univerzita, 1993.
[3] [2] Heinbockel, J. H.: Introduction to Tensosoučr Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[4] [3] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Pachová, Frey: Vektorová a tenzorová analýza, SNTL 1964
Transformation of bases and transformation of vector coordinates, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and Curvilinear coordinates. Tensor function and tensor fields, differential operators. Geodesy tensors, Marussi tensor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Heinbockel: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[3] [2] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[5] Doporučená literatura:
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
Iterative methods of solving systems of linear algebraic equations. Fast algorithms. Gradient methods. CG and GMRES. Preconditioning and its methods. Multilevel Methods for Elliptical Problems (Multigrid Methods). V-cycle, W-cycle. Domain Decomposition Methods (DDM). Overlapping methods, methods without overlapping. Neumann-Neumann methods. Balanced DD method.Methods of Scwarz type (Fully Black Box Methods). Special methods for non-eliptic and indefinite problems. Typical tasks, Helmholtz equation, Navier-Stokes system. Aggregation of the Leontief System. Stationary vectors of probability of stochastic matrices. All methods and algorithms are interconnected and illustrated on non-academic examples of models of mechanics, elasticity, strength and reliability of buildings.
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
diplomový seminář
[1] dle zadání
projekt
[1] dle zadání
diplomová práce
[1] dle zadání
1. Geometrie a grafická komunikace v architektuře a stavitelství. 2. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii. 3. Axonometrie, polohové úlohy v axonometrii. 4. Zvyšování názornosti zobrazení v grafických programech (osvětlení těles a skupin). 5. Lineární perspektiva. 6. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. 7. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. 8. Plochy rotační, kvadriky a jejich analytický́ popis. 9. Plochy šroubové. 10. Jednodílný́ rotační hyperboloid. 11. Hyperbolický paraboloid. 12. Konoidy a cylindroidy. 13. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe. Další plochy stavební praxe
Povinná literatura:
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
Doporučená literatura:
[2] Linkeová, I.: Constructive Geometry, ČVUT, 2016
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[4] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
Doporučená literatura:
[3] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[4] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
Doporučená literatura:
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie. Aplikace.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
V rámci předmětu jsou vyloženy některé kapitoly z teorie pravděpodobnosti a vybrané statistické metody. Vyložená látka je ilustrována příklady se zaměřením na ekonomické aplikace a aplikace v teorii řízení. K řešení příkladů je využíván Excel a volně dostupný statistický software Jamovi.
[1] Jarušková, D. (2011): Pravděpodobnost a matematická statistika, Praha: ČVUT, Fakulta stavební
[3] Jarušková, D., Hála, M. (2011): Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Praha: ČVUT, Fakulta stavební
[5] Keller, G. (2012). Managerial Statistics, 9th edition. South-Western Cengage Learning.
[7] Levine, D. M., Stephan, D. F., Szabat, K. A. (2017) Statistics for Managers Using Microsoft Excel, Global Edition, 8th edition. Pearson International Edition.
1. Riemannův integrál. Vlastnosti. Integrovatelnost funkce. Střední hodnota funkce. Primitivní funkce. 2. Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. 3. Parciální zlomky. Integrace racionální a iracionální funkce. 4. Integrace goniometrické funkce. Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 5. Aproximace rovinného obrazce, numerický výpočet integrálu. 6. Funkce dvou proměnných. Definiční obor, obor hodnot, vrstevnice a graf. Kvadriky. 7. Limita a spojitost funkce dvou proměnných, parciální derivace. Totální diferenciál, Taylorův polynom. 8. Implicitní funkce dvou proměnných, lokální extrémy funkce dvou proměnných. 9. Vázané a globální extrémy funkce dvou proměnných. Diferenciální rovnice prvního řádu. 10. Aplikace diferenciálních rovnic - spádnice grafu funkce dvou proměnných. 11. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Existence a jednoznačnost řešení diferenciálních rovnic. 12. Numerické řešení diferenciálních rovnic: Rungovy-Kuttovy metody. 13. Rezerva
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F.: Matematika 2, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2
[2] [2] Charvát, J.; Kelar, V.; Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1
[3] [3] Rektorys, K. a kol.: Přehled užité matematiky I, II Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
Doporučená literatura:
[4] [4] Bubeník, F.: Problems to Mathematics for Engineers, ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
[5] [5] Budinský, B.; Charvát, J.: Matematika II, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996, ISBN 80-01-01092-9
[6] [6] Charvát,J.; Hála, M.; Kelar, V.; Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1999, ISBN 80-01-01920-9
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.
1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.
Povinná literatura:
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05620-2
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
[3] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II, ISBN 9401583080, 9789401583084
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.
Povinná literatura:
[1] Wald Abraham: Sequential Analysis, Courier Corporation 2013,ISBN 978-0-486-61579-0
[2] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[3] Jurečková Jana and Picek Jan :Robust Statistical Methods with R,Chapman and Hall/CRC 2006,ISBN 978-1-58488-454-5
Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1G, popř. Matematika 2G.
Doporučená literatura:
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, Prometheus Praha, 2000.
[2] Pultarová, I., Novák, J., Novák, P.: Základy informatiky. Počítačové modelování v Matlabu, skripta FSv ČVUT v Praze, 2005.
Povinná literatura:
[3] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-matematika I, skripta FSv ČVUT v Praze, 2007.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 2 navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 3 navazuje na předměty Matematické metody ve fyzikální geodézii 1 a 2. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] [1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
1. K čemu jsou určeny systémy počítačové algebry. Obecně o software Maple. 2. Maple - základní způsoby interakce s uživatelem (worksheet, document). 3. Maple - základní pojmy (proměnná, výraz, funkce, cyklus, větvení). Výukové nástroje pro pomoc studentům. 4. Neurčitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 5. Určitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 6. Úlohy s určitým integrálem řešené sw Maple. 7. Grafy funkcí jedné proměnné, jejich úpravy a popisy v sw Maple. 8. Derivování v systému Maple. 9. Grafy funkcí více proměnných a jejich úpravy. Vrstevnice. 10. Tečná rovina plochy, normála k ploše, zobrazování. 11. Vyšetřování extrémů pomocí sw Maple. 12. Vázané extrémy, jejich zobrazení. 13. Některé další užitečné nástroje sw Maple. Rezerva.
[1] [1] Webová stránka dr. A. Němečka http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html s odkazy na studijní materiály.
[2] [2] J. Hřebíček: Systémy počítačové algebry. Soubor PDF na http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[3] [3] Systém nápovědy, jenž je součástí sw Maple.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
Předmět je zaměřen na studium kvalitativních vlastností matematických modelů přenosu tepla a vlhkosti v porézních materiálech. Přednášky jsou věnovány odvození modelů transportních procesů ve vícefázových systémech a řešení odpovídajících počátečně-okrajových problémů. Hlavní témata (osnova) předmětu: Bilanční rovnice, bilance hmoty a energie. Bilanční rovnice ve vícefázových systémech, přenos tepla a hmoty v porézních materiálech. Konstitutivní rovnice, Darcyho zákon, Fourierův zákon, Fickův zákon, stavové rovnice, tepelně vlhkostní parametry v transportních modelech. Matematická formulace problému, počáteční a okrajové podmínky. Rotheho metoda, Faedova-Galerkinova metoda. Řešení eliptických problémů generovaných metodou časové diskretizace. Existenční a konvergenční věta pro abstraktní parabolický problém. Aplikace na zjednodušené modely vedení tepla a izotermální proudění vlhkosti v porézních materiálech. Sdružený transport tepla a vlhkosti v porézních materiálech.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] T. Roubíček, Nonlinear Partial Differential Equations with Applications, Birkhäuser Basel, 2013.
[3] K. Rektorys, The Method of Discretization in Time and Partial Differential Equations, Springer, 1982.
[4] K. Rektorys, Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice. SNTL, 1985.
[5] Doporučená literatura:
[6] G.F. Pinder, W.G. Gray, Essentials of Multiphase Flow and Transport in Porous Media, John Wiley & Sons, Inc., 2008.
[7] R. Černý, P. Rovnaníková, Transport Processes in Concrete, CRC Press, 2002.
The subject is focused on qualitative properties of mathematical models of heat and moisture transport in porous materials. The lectures are devoted to derivation of models of transport processes in multiphase systems and solutions of corresponding initial-boundary value problems. The main topics of the subject: Balance equations, mass balance equations, energy balance equations, balance equations in multi-phase systems, heat and mass transport in porous materials, constitutive equations, Darcy’s law, Fourier’s law, Fick’s law, state equations, hygro-thermal parameters in transport models. Mathematical formulation of the problem, initial and boundary conditions. The method of Rothe, Faedo-Galerkin method. Solutions of elliptic problems generated by the method of discretization in time, existence and convergence theorem for the abstract parabolic problem, applications on simplified models of heat transport and isothermal moisture flow in porous materials. Coupled heat and moisture transport in porous materials.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění matematicky zaměřené práce nabízí systém Maple. Účastníci získají elementární osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Rozdíly mezi systémem počítačové algebry (Computer Algebra System, CAS) a numericky orientovaným softwarem (např. Matlab). Jádro Maple a knihovny (packages). Dvě základní formy interakce s prostředím Maple – worksheet a document, různé módy interakce (výběr z hlavního menu, kontextové menu, textové příkazy). Systém nápovědy. Základní pojmy a operace: proměnná, výraz, funkce, procedura, úpravy výrazů a funkcí, derivace, integrace, cykly, podmíněné příkazy, zavádění omezujících předpokladů, funkce definované po částech. Grafy funkcí jedné proměnné, dvou proměnných. Kombinování více grafů do jednoho obrázku, anotace grafů. Nastavení barev, typu a velikosti písma. Export obrázků v různých grafických formátech. Práce s pokročilejšími matematickými nástroji: řešení obyčejných diferenciálních rovnic (počáteční i okrajové úlohy), lineární algebra. Možnosti numerických výpočtů. Důležitou součástí je samostatná seminární práce posluchačů motivovaná tématem (třeba jen dílčím) jejich disertační práce.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Maple.
[3] Elektronické příručky volně dostupné na webových stránkách fy Maplesoft https://www.maplesoft.com/documentation_center/
[4] J. Urbánek: Matematika s programem Maple, MU Brno, 2012
[5] Doporučená:
[6] J. Hřebíček, Z. Pospíšil, J. Urbánek: Úvod do matematického modelování s využitím Maple, MU Brno, 2010, ISBN 978-80-7204-691-1
The goal is to make students familiar with basic mathematical tools provided by the computer algebra system (CAS) Maple. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Differences between CAS and numerical software (Matlab, for instance). Maple core and packages. Maple worksheet and document modes; interaction with the user – palettes, context menu, line commands. Help system. Basic terms and operations: variable, expression, function, procedure, symbolic manipulation with expressions and functions, differentiation, integration, loops, conditional execution, assumptions, etc. Plots and animations, customizing plots (color, text, font, etc.), multiple plots. Exporting. Advanced tools: solving ordinary differential equations, initial and boundary value, problems, linear algebra. Numerical calculation. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tématické okruhy jsou: Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav Řešení problému vlastních čísel Aproximace funkcí Numerická kvadratura Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan:, Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard: Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. Solving nonlinear equations and their systems Eigenvalue problem Approximation of functions Numerical quadrature Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky, Academia, Praha 1973
[3] W. Cheney, D. Kincaid: Numerical Mathematics and Computing, Thomson Learning, 2004
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan: Matrix Computation, Johns Hopkins University Press, 2013
[5] G. I. Marčuk: Metody numerické matematiky, Academia, 1987
[6] Doporučená literatura:
[7] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing, Springer, 2003
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Fořt J., Neustupa J.: Parciální diferenciální rovnice. Skriptum FS ČVUT, 2005.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Cílem je seznámit posluchače s některými kvalitativními vlastnostmi obyčejných diferenciálních rovnic a také s konceptem dynamického systému. Obsah: Lineární systémy, nelineární systémy - lokální teorie, nelineární systémy – globální teorie, nelineární systémy - vybrané kapitoly bifurkační teorie
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Texts in Applied Mathematics 7, Springer, Third Edition, 2000.
The course covers selected chapters from the qualitative theory of ordinary differential equations and also of dynamical systems. Contents: Linear systems, nonlinear systems – local theory, nonlinear systems – global theory, nonlinear systems - selected topics of bifucation theory.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Cílem je seznámit posluchače s vybranými kapitolami teorie dynamických systémů. Obsah: Systémy se stabilním asymptotickým chováním, lineární zobrazení a lineární diferenciální rovnice, rekurence a rovnoměrné rozdělení, konzervativní systémy, jednoduché systémy s komplikovanou orbitální strukturou, entropie a chaos, hyperbolické dynamiky, homoklinické trajektorie, paradoxní atraktory. Kapitoly z ergodické teorie a topologických dynamik
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: B. Haselblatt, A. Katok, A First Course in Dynamics (with a panorama of recent developments), Cambridge University Press, New York, 2003.
[3] A. Katok., B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems,
[4] Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
The course covers selected topics of the theory of dynamical systems. Contents: Systems with stable asymptotic behavior, linear maps and linear differential equations, recurrence and equidistribution, conservative systems, simple systems with complicated orbit structure, entropy and chaos, hyperbolic dynamics, homoclinic tangles, strange attractors.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Fyzikální odvození typických nerovnovážných úloh fyziky spojitých prostředí, formulace a interpretace počátečních a okrajových podmínek, klasifikace rovnic (parabolické, hyperbolické), metody řešení (Galerkin, časová diskretizace) včetně rekapitulace základní teorie Sobolevových prostorů a vět o vnoření, kvalitativní vlastnosti řešení jako např. stabilita versus nestabilita trajektorií, vznik rázových vln, systémy s pamětí.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: J. Barták, L. Herrmann, V. Lovicar, O. Vejvoda, Parciální diferenciální rovnice II: Evoluční rovnice. Matematika pro vysoké školy technické. SNTL Praha, 1986.
Physical derivation of typical nonequilibrium problems in continuum physics, formulation and interpretation of initial and boundary conditions, classification of PDEs (parabolic, hyperbolic), solution methods (Galerkin, time discretization) including a survey of the basic theory of Sobolev spaces and embedding theorems, qualitative properties of solutions as, e. g., stability or instability of solution trajectories, occurrence of shock waves, or systems with memory.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Přednášky budou věnovány studiu Hilbertových a Banachových prostorů a operátorů na nich s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Řekneme si něco o základních větách funkcionální analýzy, tj. Hahnova-Banachova, Banachova-Steinhausova věta a věta o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu. Boudou zavedeny pojmy duál a reflexivita, kvadratický funkcionál, dokázána věta o minimu a souvislost s operátorovou rovnicí. Dále dokážeme Rieszovu větu o reprezentaci a Laxova-Milgramovu větu. Zavedeme slabou konvergenci a dokážeme větu o slabé kompaktnosti jednotkové koule. Ukážeme si, že konvexní spojitý koercivní funkcionál na reflexivním prostoru má minimum. Zmíníme Browderovu větu o monotónních operátorech. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of Hilbert and Banach spaces and operators on them with regard to applications in the theory of partial differential equations. We say basic theorems of the functional analysis, Hahn-Banach's, Banach-Steinhaus's theorem, and the theorem on open mapping and on the closed graph. The concept of dual space and reflexivity, the quadratic functional, the theorem about the minimum and the relation with the operator equation have been introduced. Furthermore, we can prove Riesz's theorem on representation and Lax-Milgram's theorem. We will introduce a weak convergence and we will prove a weak compactness of the unit ball. We show that the convex continuous coercive functional in the reflexive Banach space has a minimum. Let's mention Browder's theorem about monotone operators. Finally, we will show applications on elliptical problems.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Metrika a topologie euklidovských prostorů. Příklady fraktálních množin: Cantorova množina, Sierpinského trojúhelník a koberec, Kochova křivka, Mengerova houba. Elementární teorie míry. Lebesgueova míra, Hausdorffova míra. Box-counting a Hausdorffova dimenze. Výpočet dimenze. Příklady. Samopodobné množiny. Iterated function systems. Hutchisonův operátor. Atraktor. Věta o kolaci. Barnsleyovo kapradí a další samoafinní množiny.
Metric and topology of Euclidean spaces. Examples of fractal sets: Cantor set, Sierpinski triangke and carpet, Koch curve, Menger sponge. Elementary measure theory. Lebesgue measure, Hausdorff measure. Box-counting and Hausdorff dimension. Calculation of dimension. Examples. Self-similar sets. Iterated function systems. Hutchison operator. Attractors. Collation Theorem. Barnsley fern and other self-affine sets.
Geostatistika se zabývá odhady a předpovědí stochastických jevů na Zemi, pracuje s polohově lokalizovanými daty tzv. geodaty a aplikuje obecné statistické postupy na modelování a vyvozování závěrů o geostatistických problémech. Témata: 1. Empirický a teoretický variogram 2. Metody odhadu teoretického variogramu 3. Anizotropní variogram 4. Krigování 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validace 9. Bayesovske metody v krigování 10. Robustní metody v krigování 11. Práce s geostatistickými balíčky softwaru R-project
Geostatistics is concerned with the estimation and prediction problems for stochastic phenomena on the Earth, using data obtained at a limited number of spatial locations called geodata. It refers to the application of general statistical principles of modeling and inference to geostatistical problems. 1. Empirical and theoretical variogram 2. Methods of estimation of theoretical variogram 3. Anizotropic variogram 4. Kriging 5. Ordinary kriging 6. Universal kriging 7. Cokriging 8. Cross- validation 9. Bayesian methods in kriging 10. Robust methods in kriging 11. Geostatistical packages of softwar R-project
Cílem předmětu je uvést posluchače doktorandského studia do problematiky parciálních diferenciálních rovnic eliptického typu. Obsahem předmětu bude: Laplaceova a Poissonova rovnice jakožto matematické modely ustáleného rozložení teploty v homogenním tělese. Klasická formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Dirichletova, Neumannova a Newtonova okrajová podmínka. Kvalitativní vlastnosti řešení Laplaceovy a Poissonovy rovnice, princip maxima, Harnackova nerovnost. Apriorní odhady řešení a odhady řešení v okolí hranice. Zobecnění kvalitativní teorie řešení pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
The aim of this course is to provide doctoral students with an introduction in the theory of elliptic partial differential equations. The subjects of study are the following: the Laplace and Poisson equations, classical formulation of a boundary condition for the Laplace and Poisson equations, the Dirichlet, Neumann and Newton boundary conditions. Qualitative properties of solutions to the Laplace’s and Poisson’s equations, maximum principle, the Harnack inequality. A priory estimates of solutions and behavior of solutions near the boundary. Generalization of the qualitative theory of solutions to Laplace’s and Poisson’s equations for linear elliptic second order equations.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Topologie a metrika v rovině a prostoru a euklidovských prostorech; konvergence, spojité funkce a zobrazení. Metrické prostory. Topologie metrických prostorů, konvergence, spojité funkce a zobrazení, Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Úplné metrické prostory, Banachovo lemma o pevném bodu. Kompaktní metrické prostory. Kompaktnost v euklidovských prostorech. Lipschitzovské a holderovské funkce. Topologie na množině. Otevřené, uzavřené množiny, uzávěr, hranice. Báze. Spojité funkce a zobrazení. Urysohnovo lemma, Tietzeova věta. Kartézské součiny, projekce. Souvislé a totálně nesouvislé prostory. Kompaktnost. Tichonovova věta pro konečně mnoho prostorů. Věta Arzelá-Ascoli. Stoneova-Weierstrassova věta.
Topology and metric in the plane and Euclidean spaces; convergence, continuous functions and mappings. Metric spaces. Topology of metric spaces, convergence, continuous functions and mappings, Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Complete metric spaces, Banach Fixed Point Lemma. Compact metric spaces. Compactness in Euclidean spaces. Lipschitz and Holder functions. Topology on a set. Open and closed sets, closure, boundary. Urysohn Lemma, Tietze Theorem. Cartesian products, projections. Connected and totally disconnected spaces. Compactness. Tychonoff Theorem for finitely many spaces. Arzelá-Acoli Theorem. Stone-Weierstrass Theorem.
Hilbertovy prostory Bilinearní formy a funkcionály Kvadraticky funkcionál, symetrie, positivní definitnost, věta o minimu a souvislost s rovnicí Rieszova věta a Laxova-Milgramova věta Metoda konečných prvků, konvergence (obecně i pro nesymetrický operátor)- Rieszova a Galerkinova metoda Může konvergovat jakkoliv pomalu Za lepší regularity konverguje lépe Metoda nejmenších čtverců Variační zločiny Volba bázových funkcí: h-verze, p-verze, hp-verze, hierarchické báze, kaskáda Konstrukce lineárního systému Metody řešení vzniklých soustav - přímé postupy - iterativní postupy - možnosti předpodmínění
Hilbert's spaces Bilinear forms and functionals Quadratic functional, symmetry, positive definitness, theorem about the minimum and relation to the equation Riesz's theorem and Lax-Milgram's theorem Finite element method, convergence (generally for nonsymmetric operator) - Riesz‘s and Galerkin‘s method It can converge slowly Better regularity converges better The least square method Variational crimes Selection of base functions: h-version, p-version, hp-version, hierarchical base, cascade Linear system preparation Methods of solution of the resulting systems - direct procedures - iterative procedures - possibilities of preconditioning
Cílem je seznámit posluchače se základními postupy při hledáni minima reálné funkce jedné proměnné nebo více proměnných, a to jak bez omezení, tak s omezeními. Získané poznatky si posluchači procvičí na úlohách řešených samostatně softwarem nebo programovacím jazykem, který si zvolí (Matlab, SciLab, Octave, Python, C, Fortran atd.). Obsah: Minimalizace funkcí jedné reálné proměnné. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných bez omezení. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda sdružených směrů, kvazinewtonovské metody. Minimalizace funkcí několika reálných proměnných s omezeními. Lagrangeovy multiplikátory. Různé typy podmínek v bodě minima. Metoda penalty, metoda aktivní množiny omezení, metoda projekce gradientu, metoda SQP (Sequential Quadratic Programming), metoda vnitřního bodu. Úvod do lineárního programování, simplexová metoda
[1] Povinná:
[2] D. G. Luenberger: Linear and Nonlinear Programming, Springer, Cham, 2016
[3] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, New York, 2006 E. G. Birgin, J. M. Martínez: Practical Augmented Lagrangian Methods for Constrained Optimization,SIAM, Philadelphia, 2014
[4] Doporučená:
[5] L. Lukšan: Numerické optimalizační metody, Technical report No. 1152, Ústav informatiky AV ČR, Praha, 2017
[6] http://www.cs.cas.cz/luksan/lekce4.pdf
The goal is to make students familiar with common methods for the minimization of functions of one or several real variables. Unconstrained as well as constrained minimization are considered. By using software tools (Matlab, SciLab, Octave, Python, etc.), course participants are expected to present a solution to a minimization problem motivated by the subject of their research. Topics: Minimization of functions of one real variable. Unconstrained minimization of functions of several real variables. Conditions for local optimality. Conjugate gradient method, quasi-Newton methods. Constrained minimization of functions of several real variables. Lagrange multipliers. Conditions for local optimality. Penalty method, active set method, gradient projection method, SQP method (Sequential Quadratic Programming). Introduction to linear programming, simplex method.
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s moderními metodami parciálních diferenciálních rovnic. Obsahem předmětu bude: Zavedení pojmu zobecněná derivace a definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů. Variační formulace okrajové úlohy pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici, Laxovo- Milgramovo lemma a existence a jednoznačnost slabého řešení okrajové úlohy. Úvod do problematiky regularrity slabého řešení, globální a vnitřní regularita. Greenův operátor,. Zobecnění moderních metod řešení parciálních diferenciálních rovnic pro Laplaceovu a Poissonovu rovnici na obecné lineární diferenciální rovnice eliptického typu.
[1] Gilbarg, David; Trudinger, Neil. S.: Elliptic partial Differential Equations of Second Order, Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001.
[2] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, 2012.
[3] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
Cílem předmětu je odvození matematických modelů ustáleného i neustáleného proudění nestlačitelných tekutin. Obsahem předmětu je: Základní vlastnosti vektorového a tenzorového počtu, základní funkční prostory (Lebesgueovy a Sobolevovy prostory) a některé známé věty integrálního počtu, které budou aplikovány pro odvození matematických modelů (Greenova věta, Stokesova věta, Gaussova-Ostrogradského věta). Pojem kontinua a základní kinematické pojmy, jako jsou tenzor deformací a tenzor malých deformací, tenzor rychlosti deformací, Eulerův a Lagrangeův popis pohybu částic, Reynoldsova transportní věta. Objemové síly, plošné síly, tenzor napětí a jeho vlastnosti ( symetrie). Konstitutivní rovnice, Stokesovská tekutina. Základní typy stokesovských tekutin, ideální tekutina, newtonovská tekutina, tlak tekutiny a dynamický tenzor napětí. Odvození matematických modelů proudění nestlačitelné tekutiny, formulace okrajové úlohy pro ustálené a počátečně-okrajové úlohy pro neustálené proudění nestlačitelné tekutiny.
[1] Brdička, Miroslav; Samek, Ladislav; Sopko, Bruno.: Mechanika kontinua. ČSAV, Praha 2000.
[2] Feistauer, M. Mathematical methods in fluid dynamics. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 67. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
[3] Nečas, Jindřich: Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidellberg, 2012.
[4] Nečas, Jindřich;.John, Oldřich: Rovnice matematické fyziky. Skriptum Matematicko-fyzikální fakulty UK, Praha 1972.
The aim of the subject is to derive mathematical models of steady and nonsteady flow of incompressible fluids. Course contents: Vector and tenzor calculus, function spaces (Lebesque and Sobolev spaces), some known theorems of integral calculus that will be applied to derive mathematical models (Green's theorem, Stokes theorem, Gauss-Ostrograph's theorem), continuum and its kinematics, tenzor of small deformations, tenzor of velocity of deformation, Eulerian and Lagrangian description of motion, Reynolds transport theorem, the volume forces, the surface forces, the stress tenzor and its properties, constitutive equations, Stokesian fluids, basic types of Stokesian fluids: ideal fluid, Newtonian fluid, the pressure, the dynamic stress tensor, mathematical models of flow of incompressible fluid, formulation of boundary value problems for steady and nonsteady flow of incompressible fluid.
Pojem časové řady. Stacionární časové řady. Základní charakteristiky a jejich odhady. ARMA modely. Frekvenční analýza časových řad. Pojem spektrální hustoty. Markovské posloupnosti s konečnou množinou stavů. MCMC a Metropolisův-Hastingsův algoritmus. Idea MCMC pro spojitou množinu stavů.
[1] Jiří Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL 1976.
[2] Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series - Theory and Methods, Springer, 1991.
Notion of time series. Stationary time series. Basic characteristics and their estimates. ARMA models. Frequency analysis of time series. Markovian sequences with finite number of states. Stationary distribution and method MCMC. Idea of MCMC for a continuous set of states.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Rozdělení příbuzná s normálními (chí-kvadrát, t-rozdělení). Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. Teorie odhadů – metoda maximální věrohodnosti a metoda momentů. Bayesovy odhady. Metoda hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími parametry. Nelineární regrese. Lineární a nelineární model v rámci bayesovského odhadování.
[1] Jiří Anděl: Matematická statistika, SNTL 1985.
[2] Daniela Jarušková: Matematická statistika, skripta ČVUT, 2011.
[3] Anthony OHagan, Jonathan Forster: Kendall ´s advanced theory of statistics – Bayesian inference, Oxford University Press 1994
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Random sample. Idea of statistical inference. Random variables and their distribution. Normal distribution. Central limit theorem. Multiple distribution. Independence. Correlation. Theory of estimation. – point and interval estimate. Hypotheses testing. Test statistic and statistical decision. P-value. Simple linear regression – parameters estimation, hypotheses testing, prediction intervals, regression diagnostic. Simulation independent realizations of random variables.
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy matematické teorie Navierových-Stokesových rovnic pro nestlačitelnou tekutinu. Obsahem předmětu je: Popis Navierových-Stokesových rovnic, zavedení základních pojmů, definice základních funkčních prostorů, popis základních vztahů mezi definovanými funkčními prostory, definice klasického a slabého řešení, vyloučení tlaku z definice slabého řešení, Helmholtzova dekompozice, některé elementární vlastnosti slabého řešení. Důkaz existence slabého řešení pomocí Galerkinovy metody v obecné oblasti, diskuse několika různých definic slabého řešení, další kvalitativní vlastnosti slabého řešení, energetická nerovnost, silná energetická nerovnost, podmínky pro energetickou rovnost, problém jednoznačnosti a regularity, základní věta o jednoznačnosti, role počátečních podmínek, stručná diskuse asymptotického chování řešení, stručná diskuse tzv. large solutions, stručná diskuse různých důkazů existence slabého řešení, tzv. mild solutions.
The goal of the subject is to inform students about the basics the mathematical theory of the Navier-Stokes equations for the incompressible fluid. The content of the subject: The description of the Navier-Stokes equations, the introduction of the fundamental concepts, the definition of the fundamental function spaces, the description of the basic relations between the function spaces, the definition of the classical and weak solution, the expulsion of the pressure from the definition of the weak solution, Helmholtz decomposition, some elementary properties of the weak solution, the proof of the existence of the weak solutions by the Galerkin method in a general domain, the discussion of several different definitions of the weak solution, qualitative properties of the weak solution, energy inequality, strong energy inequality, the sufficient conditions for the energy equality, the problem of the uniqueness and regularity, the fundamental uniqueness theorem, the role of the initial conditions, brief discussion of the asymptotic behavior of the solution, brief discussion of large solutions, brief discussion of various proofs of the existence of the weak solution, mild solutions.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Basic knowledge about the descriptive and inferential statistics
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Science, Duxbury
Advanced mathematical statistics with engineering applications
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
Předmět seznamuje studenty se základními výpočetními metodami navazujícími na úlohy lineární algebry, které vznikají v inženýrských úlohách. Budou postupně probrána následující témata. Základní pojmy lineární algebry: vektor, matice, soustava lineárních rovnic, řešitelnost. Normy vektorů a matic, vlastní čísla a vlastní vektory matic. Spektrum matice. Souřadnice vzhledem k bázi, změna báze. Schurův doplněk. Symetrické a pozitivně definitní matice. Gaussova eliminace, LU rozklad. Maticové iterační metody. Jacobiova metoda. Gaussova-Seidelova metoda. Gradientní metody. Metoda největšího spádu. Metoda sdružených gradientů. Kriteria a rychlosti konvergence uvedených metod. Podmíněnost soustavy lineárních rovnic. Metody předpodmínění. Neúplný LU rozklad. Výpočet vlastního vektoru matice. Gramova-Schmidtova ortogonalizace. Diskrétní Fourierova transformace a její vlastnosti. Cirkulentní matice.
Students are introduced to basic computational methods related to the problems of linear algebra which can be obtained in engineering problems. The following topics are studied. Basics of linear algebra: vectors, matrices, systems of linear equations, solvability. Vector and matrix norms, eigenvalues and eigenvectors. Spectra of matrices. Coordinates with respect to a basis; change of a basis. Schur complement. Symmetric and positive definite matrices. Gauss elimination. LU decomposition. Matrix iterative methods: Jacobi method, Gauss-Seidel method. Gradient methods: method of steepest descent, conjugate gradient method. Convergence criteria and convergence rate. Conditioning of a system of linear equation. Preconditioning methods. Incomplete LU decomposition. Eigenproblems. Gram-Schmidt orthogonalization. Discrete Fourier transformation and its properties. Circulent matrix.
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základními možnostmi, které pro usnadnění numericky zaměřené práce nabízí prostředí a jazyk Matlab. Účastníci získají osobní zkušenost prostřednictvím řady ukázek a samostatnou prací na seminárním úkolu. Obsah: Interaktivní prostředí sw Matlab, systém „toolboxů“. Elementární vlastnosti jazyka Matlab, vektory, matice, struktury, typy proměnných a funkcí. Orientace na uživatelský přístup a vědecko-technické výpočty. Vytváření a vlastnosti M-souborů. Numerické iterační algoritmy pro řešení nelineárních rovnic a soustav lineárních rovnic. Aproximace a interpolace. Metoda nejmenších čtverců a minimalizace funkcí více proměnných. Numerická integrace. Grafické vstupy a výstupy. Symbolické operace. Seznámení se z některými z aplikačních rozšíření, např. Partial Differential Equation Toolbox, Optimization Toolbox, Global Optimization Toolbox.
[1] Povinná:
[2] Systém nápovědy, jenž je integrální součástí sw Matlab (anglicky).
[3] J. Koláček, K. Konečná: Jak pracovat s MATLABem, Masarykova univerzita, Brno, 2017,
[4] https://www.fce.vutbr.cz/MAT/konecna.k/vyuka/MUNI/VMS/Navod_MATLAB.pdf
[5] T. Kozubek a kol.: Lineární algebra s Matlabem, VŠB-TU Ostrava a ZUČ v Plzni, 2012, http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/files/unit/linearni_algebra_s_matlabem.pdf
[6] Doporučená:
[7] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – počítačové modelování v MATLABU. Česká technika - nakladatelství ČVUT (CTN), Praha, 2005.
The goal is to make students familiar with basic mathematical and numerical tools provided by Matlab, a language and environment for mostly numerical calculations. Course participants will acquire basic skills in applying Maple to solving mathematical and engineering problems. Topics: Matlab interactive environment, Matlab toolboxes. Basics of the Matlab language; vector, matrix, structure, variable, function; loop, conditional execution, m-file. Numerical iterative algorithms for solving nonlinear equations and systems of linear equations. Approximation and interpolation. The least-squares method, minimization of functions of several variables. Numerical integration. Plots and animations. Symbolic operations. Partial Differential Equation Toolbox, Optimization Toolbox, Global Optimization Toolbox. Course participants are expected to present one case study per student motivated by their research topic.
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Cílem je seznámit posluchače s některými nestochastickými metodami pro popis nejistoty v parametrech vstupujících do matematického modelu a pro získání informace o nejistotě ve veličině vystupující z modelu (quantity of interest). Obsah: Aleatorická a epistemická nejistota. Představení úloh s nejistými daty s důrazem na diferenciální rovnice. Různé přístupy ke kvantifikaci nejistot. Metoda nejhoršího a nejlepšího scénáře. Základní pojmy teorie fuzzy množin (funkce příslušnosti, alfa-řez, Zadehův princip rozšíření). Fuzzifikace, různé konstrukce funkce příslušnosti a její varianta v Information Gap Theory Y. Ben-Haima. Úvod do Dempsterovy-Shaferovy teorie (DST), funkce belief a plauzibility, Dempsterovo kombinační pravidlo. Pravděpodobnostně zaměřená interpretace DST. Aplikace na inženýrské úlohy s nejistými daty a s netriviálním stavovým problémem. Stavební kameny algoritmů pro jejich numerické řešení – minimalizace funkcí více proměnných, analýza citlivosti, metoda konečných prvků.
[1] Povinná:
[2] B. M. Ayyub, G. J. Klir: Uncertainty Modelling and Analysis in Engineering and Sciences, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2006
[3] B. Möller, M. Beer: Fuzzy Randomness – Uncertainty in Civil Engineering and Computational Mechanics, Springer, Berlin, 2010
[4] W. Fellin a kol. (ed.): Analyzing Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2005
[5] Doporučená:
[6] A. Bernardini, F. Tonon: Bounding Uncertainty in Civil Engineering, Springer, Berlin, 2010
[7] I. Hlaváček, J. Chleboun, I. Babuška: Uncertain Input Data Problems and the Worst Scenario Method, Elsevier, Amsterdam, 2004.
The goal is to make students familiar with some non-stochastic methods for uncertainty quantification. Uncertainty is considered in parameters entering mathematical models. Consequently, the model output represented by a quantity of interest is also uncertain and this uncertainty is to be assessed. Topics: Aleatoric and epistemic uncertainty. Differential equations with uncertain data. Various approaches to uncertainty quantification. The worst- and best-case scenario method. Elements of fuzzy set theory (membership function, alpha-cut, Zadeh’s extension principle). Fuzzification, various definitions of membership functions, a connection to information gap theory by Y. Ben-Haim. An introduction to the Dempster-Shafer theory (DST), belief and plauzibility, Dempster’s rule of combination. Probabilistic interpretation of DST. Application to engineering problems with uncertain data and a non-trivial state problem. Tools for solving such problems – minimization algorithms, sensitivity analysis, finite element method.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language,ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale, John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach,
[5] Doporučená literatura:
[6] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
Basic principles of object-oriented programming (C ++, D, ADA, Fortran), algorithms design, component programming, coexistence of different platforms, portability of programs on various hardware platforms, security aspects of programming.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language, ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale, John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach, Jones and Bartlett Publishers,
[4] 2007
[6] Doporučená literatura:
[7] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
[8] Pecinovsky, Rudolf : OOP – Learn Object Oriented Thinking & Programming. Bruckner Publishing. ISBN 978-80-
Předmět je zaměřen na diferenciální rovnice a techniky jejich řešení. Mnoho jevů v inženýrských vědách lze popsat pomocí diferenciálních rovnic. Proto vědci a inženýři musí znát, jak modelovat praktické úlohy v jazyce difereciálních rovnic a jak tyto rovnice řešit. Obsahem předmětu bude: základní typy diferenciálních rovnic prvního řádu, jejich vlastnosti i způsoby jejich řešení (separace proměnných, homogenní, lineární rovnice, Bernoulliova a Riccatiova rovnice, exaktní rovnice), diferenciální rovnice n-tého řádu, závislost řešení na parametrech a na počátečních podmínkách, úlohy s okrajovými podmínkami, soustavy obyčejných diferenciálních rovnic.
This course provides an introduction to the mathematical theory of ordinary differential equations and methods of finding their solutions. Many models in engeneering can be expressed as differential equations. Knowledge how to select and use an apropriate model and techniques for finding its solutions is essential for scientists and engineers. The course covers core topics such as first order differential equations (separable equations, exact equations, homogeneous equations, linear equations, the Bernoulli and Riсcati equations), initial and boundary value problems, linear higher-order differential equations, systems of differential equations.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Přednášky budou věnovány studiu prostorů funkcí s ohledem na aplikace v teorii parciálních diferenciálních rovnic. Boudou zavedeny Lebesgueovy a Sobolevovy prostory. Bude dokázána věta o hustotě hladkých funkcí a věta o rozšíření operátoru z husté podmnožiny. Dále bude zavedena Hausdorffova míra a definovány lebesgueovy prostory na hranici a prostory neceločíselného řádu. Budou dokázány věty o vnoření, o stopách, inverzní věta o stopách a kompaktní vnoření. Na závěr si ukážeme aplikace na eliptické problémy.
The lectures will be devoted to the study of function spaces with respect to applications in the theory of partial differential equations. The Lebesgue and Sobolev spaces will be introduced. The teorem about the density of smooth functions and the theorem about extending the operator from a dense subset will be proved. In addition, the Hausdorff measure will be introduced, and Lebesgue spaces on the boundary and non-integer order spaces will be defined. Proofs of embeddings, trace, inverse traces, and compact embeddings will be proved. Finally, we will show applications on elliptic problems.
Cílem je seznámit posluchače s důležitými částmi teorie nezáporných matic a také positivních operátorů. Obsah: Matice zachovávající kužel, nezáporné matice, semigrupy nezáporných matic, iterativní metody řešení lineárních systémů, konečné markovovské řetězce, příklady. Positivní operátory, spektrální teorie positivních operátorů, příklady a ukázky aplikací.
[1] Povinná: Text přednášejícího.
[2] Doporučená: A. Berman, J. Plemmons, Nonnegative matrices in the Mathematical Sciences, Classics in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia 1994.
[3] M. A. Krasnoselskij, Je. A. Lifshits, A. V. Sobolev, Positive Systems – The Method of Positive Operators, Sigma Series in Applied Mathematics 5, Heldermann Verlag Berlin, 1989.
The course covers selected topics of the theory of nonnegative matrices and also of positive operators. Contents: Matrices that leave a cone invariant, nonnegative matrices, semigroups of nonnegative matrices, iterative methods for linear systems, finite Markov chains, examples. Positive operators, spectral theory of positive operators, examples and possible applications.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. • Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. • Metoda hlavních komponent. • Časové řady v časové a frekvenční doméně. • Bayesovské postupy. • Vybrané Monte Carlo metody.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. • Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. • Metoda hlavních komponent. • Časové řady v časové a frekvenční doméně. • Bayesovské postupy. • Vybrané Monte Carlo metody.
Cílem předmětu je seznámit posluchače s problematikou regularity slabých řešení Navierových-Stokesových rovnic (NSR) pro nestlačitelnou tekutinu. Obsahem předmětu je: Popis NSR, zavedení základních pojmů matematické teorie NSR, definice základních funkčních prostorů, definice slabého řešení, stručný důkaz existence slabého řešení pomocí Galerkinovy metody, základní věta o struktuře, epochy iregularity, Hausdorffova míra a dimenze, parabolická míra, velikost množiny časových singulárních bodů, definice tzv. vhodného řešení, regulární a singulární body, parciální regularita, lokální podmínky regularity, dimenze množiny singulárních bodů v časoprostoru, podmíněná regularita, Prodiovy-Serrinovy podmínky, podmíněná regularita založená na jedné nebo dvou komponentách rychlostního pole, podmíněná regularita založená na některých složkách gradientu rychlostního pole, podmíněná regularita založená na tlaku, gradientu tlaku, vířivosti a dalších veličinách.
The goal of the subject is to inform students about the basics of the regularity theory for the weak solutions of the Navier-Stokes equtions (NSE) for the incompressible fluid. The content of the subject: the description of NSE, the introduction of the fundamental concepts from the mathematical theory of NSE, the definition of the basic function spaces, the definition of the weak solution, a brief proof of the existence of the weak solution by the Galerkin method, structure theorem, epochs of irregularity, Hausdorff measure and dimension, parabolic measure, the size of the set of time singular points, the definition of the suitable solution, regular and singular points in spacetime, partial regularity, local regularity conditions, dimension of the set of singular points, conditional regularity, Prodi-Serrin conditions, conditional regularity in terms of one or two components of the velocity field, conditional regularity in terms of some items of the velocity gradient, conditional regularity in terms of pressure, pressure gradient, vorticity and other quantities.
Robustní statistika je soubor statistických metod, které nejsou citlivé k malým odchylkám od ideálních předpokladů, za kterých byly tyto metody odvozeny. Robustní statistika se sice již stala součástí hlavního proudu, je implementována i ve většině statistických softwarů, přesto je určitou nadstavbou nad klasickými metodami. Témata: 1. Klasická a robustní statistika 2. Odhad polohy a měřítka 3. Maximálně věrohodné odhady 4. M-odhady polohy 5. Influenční funkce 6. Bod zvratu 7. M-odhady měřítka 8. Asymptotická normalita M-odhadů 9. Balancování mezi vychýlením a rozptylem 10. Hampelova optimalita 11. Linearní model a LS metoda 12. M-odhady v linearním modelu 13. Linearní model s náhodnými prediktory 14. S-odhady(LTS) v linearním modelu
Robust statistics deals with statistical methods which are not sensitive to small depatrures from model assumptions. Robust statistics became a part of mainstream statistics only a few years ago yet it is implemented in many statistical softwars. 1. Classical and robust statistics 2.An estimation of location and scale 3. The maximum likelihood estimation 4. M-estimators of location 5. Influence function 6.Breakdown point 7. M-estimators of scale 8. Asymptotic normality of M-estimators 9. Balancing bias and variance 10. Hampel‘s optimality 11. Linear model and LS method 12. M-estimators in linear model 13. Linear model with random predictors 14. S-estimators(LTS) in linear model
Předmět seznamuje studenty se základními metodami výpočtu závislostí řešení technických úloh na náhodných vstupních datech a s metodami odhadu modelů a jejich parametrů z naměřených dat. Obsah je z velké části věnován výpočetní stránce těchto úloh, souvisejícím numerickým metodám, jejich výpočetní náročnosti a podmínkám konvergence. Jednotlivá témata jsou následující: Numerické řešení deterministické parciální diferenciální rovnice, metoda konečných prvků a metoda sítí, obě jen okrajově. Základní pojmy počtu pravděpodobnosti. Parciální diferenciální rovnice s náhodným parametrem. Metoda Monte Carlo. Kolokační metoda. Stochastická Galerkinova metoda. Prostory řešení úloh s náhodnými daty. Karhunenův-Loeveův rozvoj. Mercerovo lemma. Rozklad kovarianční matice. Rychlost konvergence vzhledem k aproximaci náhodné proměnné. Bayesovské metody. Inverzní analýza.
Students are introduced to basic solution methods for problems dependent on random input variables and for estimating of models and their parameters from measured data. The subject focuses on the computational properties of these methods, related numerical methods, their convergence conditions and efficiency. The particular topics are numerical solution of determinic partial differential equations, finite element method, finite difference method (only a sketch of them both); basic methods of computational probability; partial differenetial equations with random parameters; Monte Carlo Method; collocation method; stochastic Gallerkin method; solution spaces of problems with random data; Karhunen-Loeve expansion; Mercer’s lemma; covariance matrix decomposition; convergence with respect to random variables; Bayesian methods; inverse analysis.
Předmět je zaměřen na variační formulace a řešení základních statických a kvazistatických problémů matematické teorie pružnosti. Přednášky jsou věnovány okrajovým úlohám v teorii eliptických rovnic s důrazem na otázky existence a jednoznačnosti řešení. Hlavní témata (osnova) předmětu: Tenzor napětí, podmínky rovnováhy, tenzor deformace, rovnice kompatibility deformací, Hookův zákon. Energetické prostory funkcí. Klasická a variační formulace okrajových úloh teorie pružnosti. Rellichova věta, koercivnost deformací, Kornova nerovnost. Koercivní a slabě zdola polospojité funkcionály, Gateauxův diferenciál, variační princip. Řešení základních úloh teorie pružnosti. Pružně nepružná tělesa, modely s vnitřními parametry.
[1] Povinná studijní literatura:
[2] J. Nečas, I. Hlaváček. Úvod do matematické teorie pružných a pružně plastických těles, SNTL, Praha, (1983)
[3] J. Nečas, I. Hlaváček. Mathematical Theory of Elastic and Elasto-plastic bodies: an Introduction, Elsevier (Studies in Applied Mechanics), (1981)
[4] Doporučená literatura:
[5] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha, 1999.
[6] O.John, J.Nečas: Rovnice matematické fyziky. Skriptum MFF UK, SPN, Praha, 1977.
The subject is focused on variational formulations and solutions of fundamental static and quasistatic problems in the mathematical theory of elasticity. The lectures are devoted to boundary value problems for elliptic equations with emphasis on the problems of the existence and uniqueness of solutions. The main topics of the subject: Stress tensor, equations of equilibrium, strain tensor, equations of the compatibility of strain, Hooke’s law, the spaces of functions with finite energy, classical and variational formulations of boundary value problems in the theory of elasticity, Rellich's theorem, coerciveness of strains, Korn's inequality, coercive and weakly lower semi-continuous functionals, differentiability in the Gateaux sense, solvability of problems in the theory of elasticity, variational principle, elasto-inelastic bodies, models with internal state variables
Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Míka, S.: Matematická analýza III : tenzorová analýza , Plzeň : Západočeská univerzita, 1993.
[3] [2] Heinbockel, J. H.: Introduction to Tensosoučr Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[4] [3] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Pachová, Frey: Vektorová a tenzorová analýza, SNTL 1964
Transformation of bases and transformation of vector coordinates, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and Curvilinear coordinates. Tensor function and tensor fields, differential operators. Geodesy tensors, Marussi tensor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Heinbockel: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[3] [2] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[5] Doporučená literatura:
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
Iterative methods of solving systems of linear algebraic equations. Fast algorithms. Gradient methods. CG and GMRES. Preconditioning and its methods. Multilevel Methods for Elliptical Problems (Multigrid Methods). V-cycle, W-cycle. Domain Decomposition Methods (DDM). Overlapping methods, methods without overlapping. Neumann-Neumann methods. Balanced DD method.Methods of Scwarz type (Fully Black Box Methods). Special methods for non-eliptic and indefinite problems. Typical tasks, Helmholtz equation, Navier-Stokes system. Aggregation of the Leontief System. Stationary vectors of probability of stochastic matrices. All methods and algorithms are interconnected and illustrated on non-academic examples of models of mechanics, elasticity, strength and reliability of buildings.
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
Description of space and main methods of the projection - multiview (Monge) projection as a basis for orientation in 3D CAD systems, axonometry, linear perspective. Surfaces in building practice - graphic laws of surfaces, geometric characteristics of surfaces, images of surfaces in appropriate projections, realization and application; visualization of surfaces in a graphic software. Namely: Cylinders and Cones, Hyperboloid of Revolution, Helical Surfaces, Quadrics. Curves in building practice - types of mathematical description, Frenet Frame, osculating circle.
Povinná literatura:
[1] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007, ISBN 978-1-934493-04-5
[2] Linkeová I.: Constructive Geometry, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[3] Vedlichová D.: Constructive Geometry, Nakladateľstvo STU v Bratislavě, 2012, ISBN 978-80-227-3645-9
Doporučená literatura:
[4] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996, ISBN 80-01-01535-1
[5] Grover, Ch.: Google SketchUp - The Missing Manual, O'Reilly Media, 2009, ISBN 978-0-596-52146-2
Studijní pomůcky:
[6] Study materials on web https://mat.fsv.cvut.cz/eng/bachelor/
diplomová práce
[1] dle zadání
1. Geometrie a grafická komunikace v architektuře a stavitelství. 2. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii. 3. Axonometrie, polohové úlohy v axonometrii. 4. Zvyšování názornosti zobrazení v grafických programech (osvětlení těles a skupin). 5. Lineární perspektiva. 6. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. 7. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. 8. Plochy rotační, kvadriky a jejich analytický́ popis. 9. Plochy šroubové. 10. Jednodílný́ rotační hyperboloid. 11. Hyperbolický paraboloid. 12. Konoidy a cylindroidy. 13. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe. Další plochy stavební praxe
Povinná literatura:
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
Doporučená literatura:
[2] Linkeová, I.: Constructive Geometry, ČVUT, 2016
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[4] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
Doporučená literatura:
[3] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[4] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
Doporučená literatura:
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Kótované promítání. Axonometrie. Kosoúhlé promítání. Konstruktivní fotogrammetrie - vodorovný snímek. Gnómonická projekce. Ortografická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy. Program SketchUp.
Povinná literatura:
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Linkeová I.:Constructive Geometry, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
Doporučená literatura:
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, 2000, ISBN 80-7082-680-0
[4] Pottmann H.: Architectural Geometry, 2007, ISBN 978-1-934493-04-5
[5] Švercl J.: Technické kreslení a deskriptivní geometrie pro školu a praxi, 2003, ISBN 80-7183-297-9
Studijní pomůcky:
[6] SketchUp - výukové materiály pro začátečníky, http://cadtutorial.cz/sketchup/
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matrices, eigenvalues and eigenvectors, spectrum. 2. Norm, norms of matrices, condition number, Gershgorin Theorem. 3. Symmetric matrices, positive definite matrices. 4. Cholesky decomposition. Variational principle. 5. Iterative methods. Sparse matrices. Conditioning. 6. Ordinary linear differential equations - basic properties. 7. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 8. Function spaces, dot product of functions. Eigenspaces. 7. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 8. Differential operators, operator equations, eigenvalues and eigenfunctions. Solvability of operator equations. 9. Variational principle. Stable and unstable solutions. 10. Variational methods (Ritz, finite elements). 11. Laplace and Poisson Equation. 12. Wave equation. 13. Backup.
Povinná literatura:
[1] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[2] F. Bubeník: Problems to Mathematics for Engineers, CVUT 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
Doporučená literatura:
[3] K. Rektorys: Solving Ordinary and Partial Boundary Value Problems in Science and Engineering (Applied and Computational Mechanics), CRC Press; 1 edition (1998), ISBN 978-0849325526
[4] Sherman Stein, Anthony Barcellos, Calculus and Analytic Geometry 5th ed., Mcgraw-Hill 1992, ISBN 978-0070611757
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie. Aplikace.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice, Geršgorinova věta. 2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti, speciální matice a jejich vlastnosti. 3. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice. 4. 0byčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, problém vlastních čísel a vlastních funkcí. 5. Prostory funkcí, skalární součin funkcí, diferenciální operátory. 6. Variační princip pro 1D úlohy s pozitivně definitním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení. 7. Variační metody pro přibližné řešení (Ritzova metoda, metoda konečných prvků). 8. Poissonova rovnice ve 2D, okrajové podmínky, aplikace, Ritzova metoda, metoda konečných prvků. 9. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy a úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce. Různé okrajové podmínky. 10. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D, Liebmannova iterace (informativně). 11. Vlnová rovnice, numerické řešení metodou sítí, stabilní a nestabilní metoda. 12. Rovnice vedení tepla, numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilní a nestabilní metoda. 13. Rezerva
[1] [1] Elektronické studijní materiály na webové stránce předmětu, např. J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4; J. Chleboun: Matematika 4 - příručka pro přežití; J. Chleboun: Texty k přednáškám
[2] [2] O. Zindulka: Matematika 3, kap. 4, 5, 6; Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2007
[3] [3] K. Rektorys: Matematika 43,Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2001
Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta, substituce. Míra množiny. Křivkový integrál. Vektorová pole, práce síly, potenciál.Greenova věta. Aplikace dvojného, trojného a křivkového integrálu. Parametrizace křivky a plochy. Tok plochou, divergence pole. Plošný integrál.
Povinná literatura:
[1] B. Budinský- J. Charvát: Matematika II, Vydavatelství ČVUT Praha, 1996,ISBN 80-01-01092-9
[2] J. Charvát- V. Kelar- Z. Šibrava: Matematice 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1.
[3] J. Černý- M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT Praha, 1998.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
[6] Elektronická verze sbírky příkladů pro geodety
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1. Skriptum ČVUT, 2010, ISBN 978-80-01-04619-7.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04715-6.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007, ISBN 978-80-01-03936-6.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů a s jejich použitím v konkrétních modelech.
Povinná literatura:
[1] Vl. Havlena, J. Štecha, Teorie dynamických systémů, ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3
[2] A. Klíč, M. Kubíček, Matematika III, Diferenciální rovnice (kvalitativní teorie a aplikace), VŠCHT, 1992, ISBN 80-7080-162-X
Doporučená literatura:
[3] St. Lynch, Dynamical Systems with Applications using MATLAB, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, 2004, ISBN 978-3319330419
[4] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications and Control, Springer Verlag Berlin Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-66574-9
[5] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics 7, Springer Verlag New York, 2001, ISBN 0-387-95116-4
Studijní pomůcky:
[6] J. Bobok, Texty k přednášce, uveřejňované na stránce http://mat.fsv.cvut.cz/
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
1. Sequences of real numbers, fundamental concepts and definitions, limits of sequences and methods for their calculating, the number e. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts and definitions, limits (proper and improper) and methods for their calculating, continuity. 3. Basic theorems for continuous functions and their applications: Bolzano's and Weierstrass's theorems, derivatives and their geometric and physical meaning, derivative rules, derivative of composite and inverse functions. 4. Derivatives of higher orders, differentials of the 1st and higher orders, Lagrange's theorem and its consequences, l'Hospital's rules. 5. An analysis of functions sequent on the properties of the 1st and 2nd derivatives (intervals of monotony, local extremes, convexity and concavity, points of inflection, asymptotes). 6. Global (absolute) extremes on compact intervals, word problems. Taylor's theorem, Taylor's polynomial and its applications. 7. Vector (linear) spaces, the vector space of ordered n-tuples, R2, R3, linear combinations, linear independence and dependence, bases, the dimension, subspaces. 8. Linear hull, matrices, the rank of a matrix, Gauss's algorithm. 9. Systems of linear algebraic equations, basic methods for solving, Gaussian elimination, Frobenius theorem. 10. Matrix multiplication, inverse matrices and their applications, matrix equations. 11. Determinants of the 2nd and 3rd orders, Sarrus's rule, inverse matrices by means of determinants, Cramer's rule. 12. Fundamental properties of geometric vectors. General form and parametric representation of a plane. Parametric equations of straight lines. A straight line as the intersection of two planes. 13. Relationship problems on straight lines and planes, deviations and distances of planes and straight lines. Application of analytic methods for solving geometric problems in the space.
Povinná literatura:
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05620-2
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
[3] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II, ISBN 9401583080, 9789401583084
1.Linear differential equations of the n-th order, initial value problems. Homogeneous equations: fundamental system, general solution. Fundamental system for equation with constant coefficients. Descriptive statistics. 2. Reduction of order. Nonhomogeneous equations: variation of parameters, method of undetermined coefficients. Descriptive statistics: box-plot, outliers. Bivariate data. 3. Dot product of functions in C([a,b]), orthogonality of functions. Setup of a boundary value problem, examples. Bivariate descriptive statistics. Linear regression. 4. Problem u''+au=f, u(0)=u(pi)=0, eigenvalues and eigenfunctions. Orthogonality of eigenfunctions. Solvability (as it depends on "a"). Some other problems. Introduction to probability theory. Classical probability. 5. Double integral, Fubini Theorem, substitution, polar coordinates. Conditional probability; independent events. 6. Applications of double integral. Discrete random variables. 7. Triple Riemann integral, Fubini Theorem, substitution, cylindrical and spherical coordinates. applications of double and triple integral. Binomial distribution. 8. Applications of triple integral. Continuous random variables. 9.Line integral of a scalar field, applications. Continuous random variable: expected value and variance. 10. Line integral of a vector field, Green Theorem. Normal distribution. 11. Conservative fields. Applications of normal distribution. 12. Applications of line integrals. Inferential statistics.
Povinná literatura:
[1] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[2] F. Bubeník: Problems to Mathematics for Engineers, CVUT 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
Doporučená literatura:
[3] Sherman Stein, Anthony Barcellos, Calculus and Analytic Geometry 5th ed., Mcgraw-Hill 1992, ISBN 978-0070611757
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
[1] Rektorys, K.: Matematika 43: obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, ČVUT, 1997, ISBN 80-01-01611-0.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Povinná literatura:
[1] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[2] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
[3] Frery A.C.,Perciano T.:Introduction to Image Processing Using R,Springer 2013, ISBN 978-1-4471-4949-1
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
Povinná literatura:
[1] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT 2015, ISBN 80-01-02253-6
[2] Anděl Jiří: Základy matematické statistiky, MATFYZPRESS 2011,ISBN 978-80-7378-162-0
Doporučená literatura:
[3] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
1. Spolehlivost a její pravděpodobnostní pojetí. Zpracování dat. 2. Pojem pravděpodobnosti a pojem podmíněné pravděpodobnosti. Spolehlivost systému skládajícího se z více komponent (princip inkluze a exkluze) 3. Úplná pravděpodobnost a Bayesova věta. 4. Náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka. 5. Spojitě rozdělené náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka, kvantily. 6. Normální rozdělení. Logaritmicko-normální rozdělení. 7. Odhad střední hodnoty, směrodatné odchylky, kvantilů z dat. 8. Dvourozměrné rozdělení. Korelační koeficient. 9. Nezávislost dvou veličin. Kontingenční tabulka. Test nezávislosti. 10. Rozdělení lineární kombinace normálně rozdělených náhodných veličin. 11. Odolnost konstrukce, účinky zatížení konstrukce. Index spolehlivosti. Stupeň spolehlivosti. 12. Metody Monte Carlo. 13. Jednoduchá lineární regrese.
[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
[1] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000. , Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997.
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
Povinná literatura:
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[4] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] [1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
1. Matlab - software a prostředí pro numerické výpočty. Srovnání se systémy počítačové algebry. 2. Matlab - organizace pracovní plochy (okno editoru, pracovní okno, okna pro pomocné informace). 3. Operace s vektory a s maticemi. 4. Jacobiova a Gaussova-Seidelova pro iterační řešení soustav lineárních algebraických rovnic. 5. Metoda SOR a metoda sdružených gradientů. Srovnání všech čtyř metod. 6. Grafické výstupy a jejich detailní úpravy. 7. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy, část 1 - integrace. 8. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy - dokončení. 9. Metoda konečných prvků pro 1D okrajové úlohy. 10. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, Dirichletovy okrajové podmínky. 11. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, jiné okrajové podmínky. 12. Metoda sítí pro řešení vlnové rovnice s jednou prostorovou proměnnou. 13. Metoda sítí pro řešení rovnice vedení tepla s jednou prostorovou proměnnou.
[1] [1] D. Majerová: MATLAB, http://uprt.vscht.cz/majerova/matlab/
[2] [2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[3] [3] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[4] [4] Systém nápovědy integrovaný do prostředí Matlab.
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Lebesgueův integrál v RN Prostory se skalárním součinem, Hilbertovy prostory, Lebesgueův prostor L2(M), Slabé derivace funkce, Sobolevovy prostory, lineární a bilineární formy na Hilbertových prostorech, kvadratické funkcionály na Hilbertových prostorech a existence minima Rovnice nosníku Eliptické parciální diferenciální rovnice - symetrický případ, rovnice u = u + f s nulovou okrajovou podmínkou Průhyb desky Eliptické rovnice - nesymetrický případ Lax-Milgramovo lemma Rovnice u + a.u = f s nulovou okrajovou podmínkou Nekonečné číselné řady Nekonečné řady funkcí, pojem řady funkcí a obor konvergence, stejnoměrná konvergence, derivování a integrování řady funkcí Mocninné řady, mocninné řady a poloměr konvergence, derivování a integrování mocninných řad Fourierovy řady, ortonormalita systému cosinů a sinů, formální rozvoj, bodová konvergence, konvergence v L2(0, l) Rovnice vedení tepla, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení - princip maxima, existence řešení Fourierovou metodou Rovnice struny, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení, odvození, matematická formulace problému, existence řešení Fourierovou metodou Matematická formulace problému nekonečné struny Numerické metody, Rietzova metoda pro jednorozměrnou úlohu Bonusy, odvození rovnice difuze s konvektivním členem - jednodimenzionální případ, úvod do Laplaceovy transformace, matematická formulace difuze a řešení v polonekonečné trubici
[1] .Zindulka, O.: Matematika 3, Fakulta stavební, 1. vydání, duben 2007, ISBN 978-80-01-03678-5
[2] .Rektorys, K.: Matematika 43, skripta ČVUT, Praha, 2001.
[3] .Rektorys, K.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros, modul pro parametrické modelování Grasshopper a software Maple.
Doporučená literatura:
[1] Rhinoceros - Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
[2] Maple User Manual, Maplesoft, 2014, ISBN 978-1-926902-45-6
[3] http://moodle.cvut.cz
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Fořt J., Neustupa J.: Parciální diferenciální rovnice. Skriptum FS ČVUT, 2005.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Selected parts of numerical methods of algebra and selected parts of mathematical analysis and numerical methods of analysis. Some numerical methods for solving systems of linear algebraic functions. Ordinary and partial differential equations and numerical solution of ordinary differential equations with initial and boundary conditions. Partial differential equations, especially elliptic and evolutionary equations. Numerical solution of partial differential equations of elliptic, parabolic and hyperbolic type, especially net method and variational methods. Integral equations and numerical methods of their solution, selected parts of computer graphics and integral transformation
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
[3] [2] Press, W. H. et al.: Numerical Recipes (3rd Edition). Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2007.
[4] [3] Quarteroni, A. – Sacco, A. – Saleri, F: Numerical Matemathics. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007. ISBN 978-3-642-07101-0.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Chaskalovic, J.: Mathematical and Numerical Methods for Partial Differential Equations, Springer International Publishing, 2014, ISBN 978-3-319-03562-8.
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: • Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. • Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav • Řešení problému vlastních čísel • Aproximace funkcí • Numerická kvadratura • Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
The aim is to acquaint students with the basic problems of numerical mathematics. Thematic areas are: • Systems of linear equations. Direct and basic iterative methods. • Solving nonlinear equations and their systems • Eigenvalue problem • Approximation of functions • Numerical quadrature • Numerical methods of solving ordinary differential equations with initial and boundary conditions.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz: A First Course in Numerical Analysis: Second Edition, Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[6] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] • A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] • W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] • G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] • G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] • A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
The subject follows the Applied Mathematics and Numerical Methods I, the aim is to master methods of solving partial differential equations. Both elliptical and parabolic tasks will be solved. Less attention will be paid to hyperbolic problems. Problems of effective preconditioning of emerging systems of linear systems will also be addressed.
[1] Povinná literatura:
[2] Anthony Ralston, Philip Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis: Second Edition,Dover Publications, 2001
[3] W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[5] Doporučená literatura:
[6] A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation – a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Pokročilé metody matematické statistiky, pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení se sekvenčním testováním hypotéz a bayesovskými metodami. Vícerozměrná regrese a testování submodelů. Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
[3] [2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika – příklady, skripta ČVUT.
[4] [3] Wasserman L.: All of Statistics, Springer Texts in Statistics , 2004.
[6] Doporučená literatura.
Advanced methods of mathematical statistics, terms of probability, discrete and continuous random variables, multidimensional distributions and estimates of distribution parameters. Introduction to sequential hypothesis testing and Bayesian methods. Multidimensional regression and submodel testing. Different types of continuous distributions, simulation questions, especially inverse distribution method and rejection method. Multidimensional distribution. Time series, especially stationary time series and their study in time and frequency domain.
[1] Základní literatura:
[2] [1] Wasserman L.: All of Statistics. Springer, 2005. ISBN 0-387-40272-1
[3] [2] Papoulis, A. - Pillai, S.U.: Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Europe; 4th edition, 2002. ISBN 0-07-366011-6
[4] [3] Hothorn, T. – Everitt, B. S.: Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, Florida, USA, 3rd edition, 2014. ISBN 978-1-4822-0458-2.
[5] [4] Stowell, S.: Using R for Statistics. Springer, Berlin, 2014. ISBN 978-1484201404.
[7] Doporučená literatura.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Random sample. Idea of statistical inference. Random variables and their distribution. Normal distribution. Central limit theorem. Multiple distribution. Independence. Correlation. Theory of estimation. – point and interval estimate. Hypotheses testing. Test statistic and statistical decision. P-value. Simple linear regression – parameters estimation, hypotheses testing, prediction intervals, regression diagnostic. Simulation independent realizations of random variables.
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall’s advanced theory of statistics – Bayesian Inference, Anthony O’Hagan and Jonathan Forster
Multivariate normal distribution. Principal component analysis. Linear regression. Nonlinear regression. Bayes theorem. Bayesian parameters estimates. Bayesian inference in linear model. Time series and their frequency domain description. Kalman-Bucy filtr. .
[1] Jay Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Basic knowledge about the descriptive and inferential statistics
Advanced mathematical statistics with engineering applications
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language,ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale, John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach,
[5] Doporučená literatura:
[6] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
Basic principles of object-oriented programming (C ++, D, ADA, Fortran), algorithms design, component programming, coexistence of different platforms, portability of programs on various hardware platforms, security aspects of programming.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language, ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale, John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach, Jones and Bartlett Publishers,
[4] 2007
[6] Doporučená literatura:
[7] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
[8] Pecinovsky, Rudolf : OOP – Learn Object Oriented Thinking & Programming. Bruckner Publishing. ISBN 978-80-
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. • Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. • Metoda hlavních komponent. • Časové řady v časové a frekvenční doméně. • Bayesovské postupy. • Vybrané Monte Carlo metody.
Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Míka, S.: Matematická analýza III : tenzorová analýza , Plzeň : Západočeská univerzita, 1993.
[3] [2] Heinbockel, J. H.: Introduction to Tensosoučr Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[4] [3] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[6] Doporučená literatura:
[7] [4] Pachová, Frey: Vektorová a tenzorová analýza, SNTL 1964
Transformation of bases and transformation of vector coordinates, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and Curvilinear coordinates. Tensor function and tensor fields, differential operators. Geodesy tensors, Marussi tensor.
[1] Povinná literatura:
[2] [1] Heinbockel: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, Trafford Publishing, 2001.
[3] [2] Hay, G.E.: Vector and Tensor Analysis. Dover Publications, 2012, ISBN 978-0486601090.
[5] Doporučená literatura:
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
Description of space and main methods of the projection - multiview (Monge) projection as a basis for orientation in 3D CAD systems, axonometry, linear perspective. Surfaces in building practice - graphic laws of surfaces, geometric characteristics of surfaces, images of surfaces in appropriate projections, realization and application; visualization of surfaces in a graphic software. Namely: Cylinders and Cones, Hyperboloid of Revolution, Helical Surfaces, Quadrics. Curves in building practice - types of mathematical description, Frenet Frame, osculating circle.
diplomová práce
[1] dle zadání
1. Geometrie a grafická komunikace v architektuře a stavitelství. 2. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii. 3. Axonometrie, polohové úlohy v axonometrii. 4. Zvyšování názornosti zobrazení v grafických programech (osvětlení těles a skupin). 5. Lineární perspektiva. 6. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. 7. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. 8. Plochy rotační, kvadriky a jejich analytický́ popis. 9. Plochy šroubové. 10. Jednodílný́ rotační hyperboloid. 11. Hyperbolický paraboloid. 12. Konoidy a cylindroidy. 13. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe. Další plochy stavební praxe
Povinná literatura:
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
Doporučená literatura:
[2] Linkeová, I.: Constructive Geometry, ČVUT, 2016
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[4] Rhinoceros® Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
Doporučená literatura:
[3] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[4] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
Doporučená literatura:
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Kótované promítání. Axonometrie. Kosoúhlé promítání. Konstruktivní fotogrammetrie - vodorovný snímek. Gnómonická projekce. Ortografická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy. Program SketchUp.
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matrices, eigenvalues and eigenvectors, spectrum. 2. Norm, norms of matrices, condition number, Gershgorin Theorem. 3. Symmetric matrices, positive definite matrices. 4. Cholesky decomposition. Variational principle. 5. Iterative methods. Sparse matrices. Conditioning. 6. Ordinary linear differential equations - basic properties. 7. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 8. Function spaces, dot product of functions. Eigenspaces. 7. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 8. Differential operators, operator equations, eigenvalues and eigenfunctions. Solvability of operator equations. 9. Variational principle. Stable and unstable solutions. 10. Variational methods (Ritz, finite elements). 11. Laplace and Poisson Equation. 12. Wave equation. 13. Backup.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie. Aplikace.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy, příklady. Úloha u'' + a u = f, u(0) = u(L) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na "a". Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II. Skriptum ČVUT, Vydavatelství ČVUT, 2002, ISBN: 80-01-01092-9.
[3] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[4] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[5] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[6] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[7] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice, Geršgorinova věta. 2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti, speciální matice a jejich vlastnosti. 3. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice. 4. 0byčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, problém vlastních čísel a vlastních funkcí. 5. Prostory funkcí, skalární součin funkcí, diferenciální operátory. 6. Variační princip pro 1D úlohy s pozitivně definitním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení. 7. Variační metody pro přibližné řešení (Ritzova metoda, metoda konečných prvků). 8. Poissonova rovnice ve 2D, okrajové podmínky, aplikace, Ritzova metoda, metoda konečných prvků. 9. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy a úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce. Různé okrajové podmínky. 10. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D, Liebmannova iterace (informativně). 11. Vlnová rovnice, numerické řešení metodou sítí, stabilní a nestabilní metoda. 12. Rovnice vedení tepla, numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilní a nestabilní metoda. 13. Rezerva
Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta, substituce. Míra množiny. Křivkový integrál. Vektorová pole, práce síly, potenciál.Greenova věta. Aplikace dvojného, trojného a křivkového integrálu. Parametrizace křivky a plochy. Tok plochou, divergence pole. Plošný integrál.
Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů a s jejich použitím v konkrétních modelech.
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
1. Sequences of real numbers, fundamental concepts and definitions, limits of sequences and methods for their calculating, the number e. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts and definitions, limits (proper and improper) and methods for their calculating, continuity. 3. Basic theorems for continuous functions and their applications: Bolzano's and Weierstrass's theorems, derivatives and their geometric and physical meaning, derivative rules, derivative of composite and inverse functions. 4. Derivatives of higher orders, differentials of the 1st and higher orders, Lagrange's theorem and its consequences, l'Hospital's rules. 5. An analysis of functions sequent on the properties of the 1st and 2nd derivatives (intervals of monotony, local extremes, convexity and concavity, points of inflection, asymptotes). 6. Global (absolute) extremes on compact intervals, word problems. Taylor's theorem, Taylor's polynomial and its applications. 7. Vector (linear) spaces, the vector space of ordered n-tuples, R2, R3, linear combinations, linear independence and dependence, bases, the dimension, subspaces. 8. Linear hull, matrices, the rank of a matrix, Gauss's algorithm. 9. Systems of linear algebraic equations, basic methods for solving, Gaussian elimination, Frobenius theorem. 10. Matrix multiplication, inverse matrices and their applications, matrix equations. 11. Determinants of the 2nd and 3rd orders, Sarrus's rule, inverse matrices by means of determinants, Cramer's rule. 12. Fundamental properties of geometric vectors. General form and parametric representation of a plane. Parametric equations of straight lines. A straight line as the intersection of two planes. 13. Relationship problems on straight lines and planes, deviations and distances of planes and straight lines. Application of analytic methods for solving geometric problems in the space.
1.Linear differential equations of the n-th order, initial value problems. Homogeneous equations: fundamental system, general solution. Fundamental system for equation with constant coefficients. Descriptive statistics. 2. Reduction of order. Nonhomogeneous equations: variation of parameters, method of undetermined coefficients. Descriptive statistics: box-plot, outliers. Bivariate data. 3. Dot product of functions in C([a,b]), orthogonality of functions. Setup of a boundary value problem, examples. Bivariate descriptive statistics. Linear regression. 4. Problem u''+au=f, u(0)=u(pi)=0, eigenvalues and eigenfunctions. Orthogonality of eigenfunctions. Solvability (as it depends on "a"). Some other problems. Introduction to probability theory. Classical probability. 5. Double integral, Fubini Theorem, substitution, polar coordinates. Conditional probability; independent events. 6. Applications of double integral. Discrete random variables. 7. Triple Riemann integral, Fubini Theorem, substitution, cylindrical and spherical coordinates. applications of double and triple integral. Binomial distribution. 8. Applications of triple integral. Continuous random variables. 9.Line integral of a scalar field, applications. Continuous random variable: expected value and variance. 10. Line integral of a vector field, Green Theorem. Normal distribution. 11. Conservative fields. Applications of normal distribution. 12. Applications of line integrals. Inferential statistics.
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika I ‐ část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský́, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
Povinná literatura:
[1] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT 2015, ISBN 80-01-02253-6
[2] Anděl Jiří: Základy matematické statistiky, MATFYZPRESS 2011,ISBN 978-80-7378-162-0
Doporučená literatura:
[3] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
1. Spolehlivost a její pravděpodobnostní pojetí. Zpracování dat. 2. Pojem pravděpodobnosti a pojem podmíněné pravděpodobnosti. Spolehlivost systému skládajícího se z více komponent (princip inkluze a exkluze) 3. Úplná pravděpodobnost a Bayesova věta. 4. Náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka. 5. Spojitě rozdělené náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka, kvantily. 6. Normální rozdělení. Logaritmicko-normální rozdělení. 7. Odhad střední hodnoty, směrodatné odchylky, kvantilů z dat. 8. Dvourozměrné rozdělení. Korelační koeficient. 9. Nezávislost dvou veličin. Kontingenční tabulka. Test nezávislosti. 10. Rozdělení lineární kombinace normálně rozdělených náhodných veličin. 11. Odolnost konstrukce, účinky zatížení konstrukce. Index spolehlivosti. Stupeň spolehlivosti. 12. Metody Monte Carlo. 13. Jednoduchá lineární regrese.
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
1. Matlab - software a prostředí pro numerické výpočty. Srovnání se systémy počítačové algebry. 2. Matlab - organizace pracovní plochy (okno editoru, pracovní okno, okna pro pomocné informace). 3. Operace s vektory a s maticemi. 4. Jacobiova a Gaussova-Seidelova pro iterační řešení soustav lineárních algebraických rovnic. 5. Metoda SOR a metoda sdružených gradientů. Srovnání všech čtyř metod. 6. Grafické výstupy a jejich detailní úpravy. 7. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy, část 1 - integrace. 8. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy - dokončení. 9. Metoda konečných prvků pro 1D okrajové úlohy. 10. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, Dirichletovy okrajové podmínky. 11. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, jiné okrajové podmínky. 12. Metoda sítí pro řešení vlnové rovnice s jednou prostorovou proměnnou. 13. Metoda sítí pro řešení rovnice vedení tepla s jednou prostorovou proměnnou.
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Lebesgueův integrál v RN Prostory se skalárním součinem, Hilbertovy prostory, Lebesgueův prostor L2(M), Slabé derivace funkce, Sobolevovy prostory, lineární a bilineární formy na Hilbertových prostorech, kvadratické funkcionály na Hilbertových prostorech a existence minima Rovnice nosníku Eliptické parciální diferenciální rovnice - symetrický případ, rovnice u = u + f s nulovou okrajovou podmínkou Průhyb desky Eliptické rovnice - nesymetrický případ Lax-Milgramovo lemma Rovnice u + a.u = f s nulovou okrajovou podmínkou Nekonečné číselné řady Nekonečné řady funkcí, pojem řady funkcí a obor konvergence, stejnoměrná konvergence, derivování a integrování řady funkcí Mocninné řady, mocninné řady a poloměr konvergence, derivování a integrování mocninných řad Fourierovy řady, ortonormalita systému cosinů a sinů, formální rozvoj, bodová konvergence, konvergence v L2(0, l) Rovnice vedení tepla, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení - princip maxima, existence řešení Fourierovou metodou Rovnice struny, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení, odvození, matematická formulace problému, existence řešení Fourierovou metodou Matematická formulace problému nekonečné struny Numerické metody, Rietzova metoda pro jednorozměrnou úlohu Bonusy, odvození rovnice difuze s konvektivním členem - jednodimenzionální případ, úvod do Laplaceovy transformace, matematická formulace difuze a řešení v polonekonečné trubici
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
[3] Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I. Skriptum ČVUT
[4] Budinský, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
Cílem je seznámit studenty se základní problematikou numerické matematiky. Tematické okruhy jsou: ? Soustavy lineárních rovnic. Přímé i základní iterační metody. ? Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav ? Řešení problému vlastních čísel ? Aproximace funkcí ? Numerická kvadratura ? Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
[1] Povinná literatura:
[2] ? A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] ? W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[5] Doporučená literatura:
Předmět navazuje na Aplikovaná matematika a numerické metody I, cílem je zvládnout metody řešení parciálních diferenciálních rovnic. Řešeny budou jak úlohy eliptické, tak parabolické. Menší pozornost pak bude věnována hyperbolickým problémům. Rovněž budou řešeny otázky efektivního předpodmínění vznikajících soustav lineárních soustav.
[1] Povinná literatura:
[2] ? A. Ralston : Základy numerické matematiky
[3] ? W. Cheney, D. Kincaid : Numerical Mathematics and Computing
[4] ? G. I. Marčuk : Metody numerické matematiky
[5] Doporučená literatura:
[6] ? G. H. Golub, C. F. Van Loan : Matrix Computation
[7] ? A. Hohmann, P. Deufelhard : Numerical Analysis in Modern Scientific Computing
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Sobolevovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Distributions connected to normal distribution (chi square, t distribution). Multiple normal distribution and estimates of its parameters. Theory of estimation ? a method of moments, a maximum likelihood method. Bayesian estimates. Method of principle components. Multiple linear regression. Non-linear regression. Bayesian approach to linear ans nonlinear regression.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
Náhodný výběr. Myšlenka statistické inference. Náhodné veličiny a jejich rozdělení. Normální rozdělení. Centrální limitní věta. Vícerozměrné rozdělení. Nezávislost. Nekorelovanost. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Testování hypotéz. Pojem testové statistiky a statistické rozhodování. P-hodnota. Jednoduchá lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. Simulace nezávislých realizací náhodných veličin.
[1] Povinná literatura:
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[5] Doporučená literatura:
Vícerozměrné normální rozdělení. Analýza hlavních komponent. Lineární regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Nelineární regrese. Bayesova věta. Bayesovy odhady parametrů rozdělení. Bayesovy odhady v lineární regresi. Časové řady v časové a frekvenční doméně. Kalman-Bucyho filtr.
[1] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT, 2012.
[2] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika = příklady, skripta ČVUT, 2012.
[4] Kendall?s advanced theory of statistics ? Bayesian Inference, Anthony O?Hagan and Jonathan Forster
Basic knowledge about the descriptive and inferential statistics
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Science, Duxbury
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
[1] Povinná literatura:
[2] Andrei Alexandrescu : The D Programming Language,ISBN-13: 978-0321635365
[3] Nell Dale,? John W. McCormick : Ada Plus Data Structures: An Object Oriented Approach,
[5] Doporučená literatura:
[6] Booch, Grady : Object-Oriented Analysis and Design with Applications. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-5340-2.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. ? Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. ? Metoda hlavních komponent. ? Časové řady v časové a frekvenční doméně. ? Bayesovské postupy. ? Vybrané Monte Carlo metody.
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
[1] 1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
Description of space and main methods of the projection - multiview (Monge) projection as a basis for orientation in 3D CAD systems, axonometry, linear perspective. Surfaces in building practice - graphic laws of surfaces, geometric characteristics of surfaces, images of surfaces in appropriate projections, realization and application; visualization of surfaces in a graphic software. Namely: Cylinders and Cones, Hyperboloid of Revolution, Helical Surfaces, Quadrics. Curves in building practice - types of mathematical description, Frenet Frame, osculating circle.
Povinná literatura:
[1] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007, ISBN 978-1-934493-04-5
[2] Linkeová I.: Constructive Geometry, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[3] Vedlichová D.: Constructive Geometry, Nakladateľstvo STU v Bratislavě, 2012, ISBN 978-80-227-3645-9
Doporučená literatura:
[4] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996, ISBN 80-01-01535-1
[5] Grover, Ch.: Google SketchUp - The Missing Manual, O'Reilly Media, 2009, ISBN 978-0-596-52146-2
Studijní pomůcky:
[6] Study materials on web https://mat.fsv.cvut.cz/eng/bachelor/
diplomová práce
[1] dle zadání
1. Geometrie a grafická komunikace v architektuře a stavitelství. 2. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii. 3. Axonometrie, polohové úlohy v axonometrii. 4. Zvyšování názornosti zobrazení v grafických programech (osvětlení těles a skupin). 5. Lineární perspektiva. 6. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. 7. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. 8. Plochy rotační, kvadriky a jejich analytický? popis. 9. Plochy šroubové. 10. Jednodílný? rotační hyperboloid. 11. Hyperbolický paraboloid. 12. Konoidy a cylindroidy. 13. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe. Další plochy stavební praxe
Povinná literatura:
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
Doporučená literatura:
[2] Linkeová, I.: Constructive Geometry, ČVUT, 2016
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[4] Rhinoceros? Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
Doporučená literatura:
[3] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[4] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
Doporučená literatura:
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Kótované promítání. Axonometrie. Kosoúhlé promítání. Konstruktivní fotogrammetrie - vodorovný snímek. Gnómonická projekce. Ortografická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy. Program SketchUp.
Povinná literatura:
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Linkeová I.:Constructive Geometry, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
Doporučená literatura:
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, 2000, ISBN 80-7082-680-0
[4] Pottmann H.: Architectural Geometry, 2007, ISBN 978-1-934493-04-5
[5] Švercl J.: Technické kreslení a deskriptivní geometrie pro školu a praxi, 2003, ISBN 80-7183-297-9
Studijní pomůcky:
[6] SketchUp - výukové materiály pro začátečníky, http://cadtutorial.cz/sketchup/
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matrices, eigenvalues and eigenvectors, spectrum. 2. Norm, norms of matrices, condition number, Gershgorin Theorem. 3. Symmetric matrices, positive definite matrices. 4. Cholesky decomposition. Variational principle. 5. Iterative methods. Sparse matrices. Conditioning. 6. Ordinary linear differential equations - basic properties. 7. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 8. Function spaces, dot product of functions. Eigenspaces. 7. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 8. Differential operators, operator equations, eigenvalues and eigenfunctions. Solvability of operator equations. 9. Variational principle. Stable and unstable solutions. 10. Variational methods (Ritz, finite elements). 11. Laplace and Poisson Equation. 12. Wave equation. 13. Backup.
Povinná literatura:
[1] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[2] F. Bubeník: Problems to Mathematics for Engineers, CVUT 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
Doporučená literatura:
[3] K. Rektorys: Solving Ordinary and Partial Boundary Value Problems in Science and Engineering (Applied and Computational Mechanics), CRC Press; 1 edition (1998), ISBN 978-0849325526
[4] Sherman Stein, Anthony Barcellos, Calculus and Analytic Geometry 5th ed., Mcgraw-Hill 1992, ISBN 978-0070611757
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie. Aplikace.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[4] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice, Geršgorinova věta. 2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti, speciální matice a jejich vlastnosti. 3. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice. 4. 0byčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, problém vlastních čísel a vlastních funkcí. 5. Prostory funkcí, skalární součin funkcí, diferenciální operátory. 6. Variační princip pro 1D úlohy s pozitivně definitním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení. 7. Variační metody pro přibližné řešení (Ritzova metoda, metoda konečných prvků). 8. Poissonova rovnice ve 2D, okrajové podmínky, aplikace, Ritzova metoda, metoda konečných prvků. 9. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy a úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce. Různé okrajové podmínky. 10. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D, Liebmannova iterace (informativně). 11. Vlnová rovnice, numerické řešení metodou sítí, stabilní a nestabilní metoda. 12. Rovnice vedení tepla, numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilní a nestabilní metoda. 13. Rezerva
[1] [1] Elektronické studijní materiály na webové stránce předmětu, např. J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4; J. Chleboun: Matematika 4 - příručka pro přežití; J. Chleboun: Texty k přednáškám
[2] [2] O. Zindulka: Matematika 3, kap. 4, 5, 6; Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2007
[3] [3] K. Rektorys: Matematika 43,Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2001
Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta, substituce. Míra množiny. Křivkový integrál. Vektorová pole, práce síly, potenciál.Greenova věta. Aplikace dvojného, trojného a křivkového integrálu. Parametrizace křivky a plochy. Tok plochou, divergence pole. Plošný integrál.
Povinná literatura:
[1] B. Budinský- J. Charvát: Matematika II, Vydavatelství ČVUT Praha, 1996,ISBN 80-01-01092-9
[2] J. Charvát- V. Kelar- Z. Šibrava: Matematice 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1.
[3] J. Černý- M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT Praha, 1998.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
[6] Elektronická verze sbírky příkladů pro geodety
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1. Skriptum ČVUT, 2010, ISBN 978-80-01-04619-7.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04715-6.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007, ISBN 978-80-01-03936-6.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů a s jejich použitím v konkrétních modelech.
Povinná literatura:
[1] Vl. Havlena, J. Štecha, Teorie dynamických systémů, ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3
[2] A. Klíč, M. Kubíček, Matematika III, Diferenciální rovnice (kvalitativní teorie a aplikace), VŠCHT, 1992, ISBN 80-7080-162-X
Doporučená literatura:
[3] St. Lynch, Dynamical Systems with Applications using MATLAB, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, 2004, ISBN 978-3319330419
[4] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications and Control, Springer Verlag Berlin Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-66574-9
[5] L. Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Text in Applied Mathematics 7, Springer Verlag New York, 2001, ISBN 0-387-95116-4
Studijní pomůcky:
[6] J. Bobok, Texty k přednášce, uveřejňované na stránce http://mat.fsv.cvut.cz/
The goal is to get a basic knowledge in probability and inferential statistics. Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
Povinná literatura:
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury, ISBN-13:978-0-538-73352-6
1. Sequences of real numbers, fundamental concepts and definitions, limits of sequences and methods for their calculating, the number e. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts and definitions, limits (proper and improper) and methods for their calculating, continuity. 3. Basic theorems for continuous functions and their applications: Bolzano's and Weierstrass's theorems, derivatives and their geometric and physical meaning, derivative rules, derivative of composite and inverse functions. 4. Derivatives of higher orders, differentials of the 1st and higher orders, Lagrange's theorem and its consequences, l'Hospital's rules. 5. An analysis of functions sequent on the properties of the 1st and 2nd derivatives (intervals of monotony, local extremes, convexity and concavity, points of inflection, asymptotes). 6. Global (absolute) extremes on compact intervals, word problems. Taylor's theorem, Taylor's polynomial and its applications. 7. Vector (linear) spaces, the vector space of ordered n-tuples, R2, R3, linear combinations, linear independence and dependence, bases, the dimension, subspaces. 8. Linear hull, matrices, the rank of a matrix, Gauss's algorithm. 9. Systems of linear algebraic equations, basic methods for solving, Gaussian elimination, Frobenius theorem. 10. Matrix multiplication, inverse matrices and their applications, matrix equations. 11. Determinants of the 2nd and 3rd orders, Sarrus's rule, inverse matrices by means of determinants, Cramer's rule. 12. Fundamental properties of geometric vectors. General form and parametric representation of a plane. Parametric equations of straight lines. A straight line as the intersection of two planes. 13. Relationship problems on straight lines and planes, deviations and distances of planes and straight lines. Application of analytic methods for solving geometric problems in the space.
Povinná literatura:
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05620-2
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
[3] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II, ISBN 9401583080, 9789401583084
1.Linear differential equations of the n-th order, initial value problems. Homogeneous equations: fundamental system, general solution. Fundamental system for equation with constant coefficients. Descriptive statistics. 2. Reduction of order. Nonhomogeneous equations: variation of parameters, method of undetermined coefficients. Descriptive statistics: box-plot, outliers. Bivariate data. 3. Dot product of functions in C([a,b]), orthogonality of functions. Setup of a boundary value problem, examples. Bivariate descriptive statistics. Linear regression. 4. Problem u''+au=f, u(0)=u(pi)=0, eigenvalues and eigenfunctions. Orthogonality of eigenfunctions. Solvability (as it depends on "a"). Some other problems. Introduction to probability theory. Classical probability. 5. Double integral, Fubini Theorem, substitution, polar coordinates. Conditional probability; independent events. 6. Applications of double integral. Discrete random variables. 7. Triple Riemann integral, Fubini Theorem, substitution, cylindrical and spherical coordinates. applications of double and triple integral. Binomial distribution. 8. Applications of triple integral. Continuous random variables. 9.Line integral of a scalar field, applications. Continuous random variable: expected value and variance. 10. Line integral of a vector field, Green Theorem. Normal distribution. 11. Conservative fields. Applications of normal distribution. 12. Applications of line integrals. Inferential statistics.
Povinná literatura:
[1] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[2] F. Bubeník: Problems to Mathematics for Engineers, CVUT 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
Doporučená literatura:
[3] Sherman Stein, Anthony Barcellos, Calculus and Analytic Geometry 5th ed., Mcgraw-Hill 1992, ISBN 978-0070611757
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
[1] Rektorys, K.: Matematika 43: obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, ČVUT, 1997, ISBN 80-01-01611-0.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] [1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] [2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] [4] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] [5] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] [6] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
[4] Budinský?, B., Charvát, J.: Matematika I ? část 2. Skriptum ČVUT
[5] Budinský?, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
[6] Charvát, J., Hála, M., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice I. Skriptum ČVUT
[7] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
1. Lineární diferenciální rovnice 2. rádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. 2. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. 3. Úloha u´ +, lambda´ u = f; u(0) = u(l) = 0: Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. 4. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru ,lambda´, příklady. Další typy okrajových podmínek, řešitelnost těchto úloh. 5. Dvojný integrál: Fubiniova veta, příklady. 6. Věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, příklady. 7. Aplikace dvojného integrálu, příklady. 8. Trojný integrál: Fubiniova věta, příklady. 9. Věta o substituci, speciální substituce v trojném integrálu, příklady. 10. Aplikace trojného integrálu, příklady. 11. Křivkový integrál prvního druhu, příklady. 12. Aplikace křivkového integrálu prvního druhu, příklady. 13. Příklady.
Povinná literatura:
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004 (elektronická sbírka příkladů).
[3] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2: Sbírka příkladů, Nakladatelství ČVUT, 2006 (část diferenciální rovnice druhého řádu)
1. Spolehlivost a její pravděpodobnostní pojetí. Zpracování dat. 2. Pojem pravděpodobnosti a pojem podmíněné pravděpodobnosti. Spolehlivost systému skládajícího se z více komponent (princip inkluze a exkluze) 3. Úplná pravděpodobnost a Bayesova věta. 4. Náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka. 5. Spojitě rozdělené náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka, kvantily. 6. Normální rozdělení. Logaritmicko-normální rozdělení. 7. Odhad střední hodnoty, směrodatné odchylky, kvantilů z dat. 8. Dvourozměrné rozdělení. Korelační koeficient. 9. Nezávislost dvou veličin. Kontingenční tabulka. Test nezávislosti. 10. Rozdělení lineární kombinace normálně rozdělených náhodných veličin. 11. Odolnost konstrukce, účinky zatížení konstrukce. Index spolehlivosti. Stupeň spolehlivosti. 12. Metody Monte Carlo. 13. Jednoduchá lineární regrese.
[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
[1] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000. , Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997.
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
Povinná literatura:
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[4] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] [1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
1. Matlab - software a prostředí pro numerické výpočty. Srovnání se systémy počítačové algebry. 2. Matlab - organizace pracovní plochy (okno editoru, pracovní okno, okna pro pomocné informace). 3. Operace s vektory a s maticemi. 4. Jacobiova a Gaussova-Seidelova pro iterační řešení soustav lineárních algebraických rovnic. 5. Metoda SOR a metoda sdružených gradientů. Srovnání všech čtyř metod. 6. Grafické výstupy a jejich detailní úpravy. 7. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy, část 1 - integrace. 8. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy - dokončení. 9. Metoda konečných prvků pro 1D okrajové úlohy. 10. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, Dirichletovy okrajové podmínky. 11. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, jiné okrajové podmínky. 12. Metoda sítí pro řešení vlnové rovnice s jednou prostorovou proměnnou. 13. Metoda sítí pro řešení rovnice vedení tepla s jednou prostorovou proměnnou.
[1] [1] D. Majerová: MATLAB, http://uprt.vscht.cz/majerova/matlab/
[2] [2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[3] [3] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[4] [4] Systém nápovědy integrovaný do prostředí Matlab.
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Ukázky různých typů geometrických objektů - křivek a ploch, jejichž výběr je zaměřen na geodetické a kartografické aplikace. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D, vizualizaci získaných modelů a jejich matematické vyjádření. Používaným nástrojem je plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie
[2] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[3] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[4] Rhinoceros: Uživatelská příručka
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Lebesgueův integrál v RN Prostory se skalárním součinem, Hilbertovy prostory, Lebesgueův prostor L2(M), Slabé derivace funkce, Sobolevovy prostory, lineární a bilineární formy na Hilbertových prostorech, kvadratické funkcionály na Hilbertových prostorech a existence minima Rovnice nosníku Eliptické parciální diferenciální rovnice - symetrický případ, rovnice u = u + f s nulovou okrajovou podmínkou Průhyb desky Eliptické rovnice - nesymetrický případ Lax-Milgramovo lemma Rovnice u + a.u = f s nulovou okrajovou podmínkou Nekonečné číselné řady Nekonečné řady funkcí, pojem řady funkcí a obor konvergence, stejnoměrná konvergence, derivování a integrování řady funkcí Mocninné řady, mocninné řady a poloměr konvergence, derivování a integrování mocninných řad Fourierovy řady, ortonormalita systému cosinů a sinů, formální rozvoj, bodová konvergence, konvergence v L2(0, l) Rovnice vedení tepla, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení - princip maxima, existence řešení Fourierovou metodou Rovnice struny, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení, odvození, matematická formulace problému, existence řešení Fourierovou metodou Matematická formulace problému nekonečné struny Numerické metody, Rietzova metoda pro jednorozměrnou úlohu Bonusy, odvození rovnice difuze s konvektivním členem - jednodimenzionální případ, úvod do Laplaceovy transformace, matematická formulace difuze a řešení v polonekonečné trubici
[1] .Zindulka, O.: Matematika 3, Fakulta stavební, 1. vydání, duben 2007, ISBN 978-80-01-03678-5
[2] .Rektorys, K.: Matematika 43, skripta ČVUT, Praha, 2001.
[3] .Rektorys, K.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple.
Doporučená literatura:
[1] Rhinoceros - Učebnice 1.stupeň, Dimensio s.r.o., 2009
[2] Maple User Manual, Maplesoft, 2014, ISBN 978-1-926902-45-6
[3] http://mat.fsv.cvut.cz/lakoma/
This course will be devoted to the various topics of mathematics including the following chapters: numerical methods for solving (partial) differential equations, elements of numerical optimization, a posteriori error estimates of numerical solution of partial differential equations, elements of qualitative theory of differential equations.
[1] References:
[2] [1] K. Rektorys: Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering,
[3] 2nd Edition, D. Reidel Publishing Company (Dordrecht) and SNTL (Prague), 1980.
[4] [2] C. Grossmann; H.-G. Roos; M. Stynes: Numerical treatment of partial differential equations.
[5] Springer, Heidelberg-Berlin, 2007.
[6] [3] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,
[7] Springer, Berlin, 1994.
[8] [4] J. Nocedal, S. J. Wright: Numerical Optimization, Springer, Berlin, 1999, 2006.
[9] [5] G. Lord, C. Powell, T. Shardlow, An Introduction to Computational Stochastic PDEs, Cambridge Texts in Applied Mathematics, 2014.
[10] [6] M. Ainsworth, J. T. Oden, A Posteriori Error Estimation in Finite Element Analysis, Wiley, 2000.
[11] [7] T. Kapitaniak, Chaos for Engineers, Theory, Applications, and Control Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2000.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
Advanced mathematical statistics with engineering applications
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
projekt
[1] dle zadání
1. Riemannův integrál. Vlastnosti. Integrovatelnost funkce. Střední hodnota funkce. Primitivní funkce. 2. Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. 3. Parciální zlomky. Integrace racionální a iracionální funkce. 4. Integrace goniometrické funkce. Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 5. Aproximace rovinného obrazce, numerický výpočet integrálu. 6. Funkce dvou proměnných. Definiční obor, obor hodnot, vrstevnice a graf. Rotační a translační kvadriky. 7. Limita a spojitost funkce dvou proměnných, parciální derivace. Totální diferenciál, Taylorův polynom. 8. Implicitní funkce dvou proměnných, lokální extrémy funkce dvou proměnných. 9. Vázané a globální extrémy funkce dvou proměnných. Diferenciální rovnice prvního řádu. 10. Aplikace diferenciálních rovnic - spádnice grafu funkce dvou proměnných. 11. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Existence a jednoznačnost řešení diferenciálních rovnic. 12. Numerické řešení diferenciálních rovnic: Rungovy-Kuttovy metody. 13. Rezerva
Povinná literatura:
[1] [1] F. Bubeník: Matematika 2, Vydavatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2
[2] [2] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT Praha, 2012,ISBN 978-80-01-04989-1
[3] [3] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I, II Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
Doporučená literatura:
[4] [4] B. Budinský, J. Charvát: Matematika II, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1996, ISBN 80-01-01092-9
[5] [5] J. Charvát, M. Hála, V. Kelar, Z. Šibrava: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1999, ISBN 80-01-01920-9
V rámci předmětu jsou vykládány vybrané mikroekonomické a makroekonomické modely. K jejich popisu je použita kvalitativní teorie (převážně) dvourozměrných systémů autonomních diferenciálních rovnic.
[1] Bobok J., Texty k přednášce
[3] . Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[5] . Klíč A., Kubíček M., Matematika III, Diferenciální rovnice (kvalitativní teorie a aplikace), VŠCHT, 1992, ISBN 80-7080-162-X (vybrané části).
[7] . Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[9] . Nagy J., Stabilita obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit XVI, SNTL, Praha, 1983.
The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.
1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.
Povinná literatura:
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05620-2
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Prague, 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
[3] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II, ISBN 9401583080, 9789401583084
The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Povinná literatura:
[1] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[2] Wackernagel Hans : Multivariate Geostatistics An Introduction with Applications, Springer 2003, ISBN 978-3-662-05294-5
[3] Frery A.C.,Perciano T.:Introduction to Image Processing Using R,Springer 2013, ISBN 978-1-4471-4949-1
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
Povinná literatura:
[1] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT 2015, ISBN 80-01-02253-6
[2] Anděl Jiří: Základy matematické statistiky, MATFYZPRESS 2011,ISBN 978-80-7378-162-0
Doporučená literatura:
[3] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1G, popř. Matematika 2G.
Doporučená literatura:
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, Prometheus Praha, 2000.
[2] Pultarová, I., Novák, J., Novák, P.: Základy informatiky. Počítačové modelování v Matlabu, skripta FSv ČVUT v Praze, 2005.
Povinná literatura:
[3] Kočandrlová, M., Černý, J.: Geo-matematika I, skripta FSv ČVUT v Praze, 2007.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 2 navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 3 navazuje na předměty Matematické metody ve fyzikální geodézii 1 a 2. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
Povinná literatura:
[2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] [1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
1. K čemu jsou určeny systémy počítačové algebry. Obecně o software Maple. 2. Maple - základní způsoby interakce s uživatelem (worksheet, document). 3. Maple - základní pojmy (proměnná, výraz, funkce, cyklus, větvení). Výukové nástroje pro pomoc studentům. 4. Neurčitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 5. Určitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 6. Úlohy s určitým integrálem řešené sw Maple. 7. Grafy funkcí jedné proměnné, jejich úpravy a popisy v sw Maple. 8. Derivování v systému Maple. 9. Grafy funkcí více proměnných a jejich úpravy. Vrstevnice. 10. Tečná rovina plochy, normála k ploše, zobrazování. 11. Vyšetřování extrémů pomocí sw Maple. 12. Vázané extrémy, jejich zobrazení. 13. Některé další užitečné nástroje sw Maple. Rezerva.
[1] [1] Webová stránka dr. A. Němečka http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html s odkazy na studijní materiály.
[2] [2] J. Hřebíček: Systémy počítačové algebry. Soubor PDF na http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[3] [3] Systém nápovědy, jenž je součástí sw Maple.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
[1] Bubeník, F.: Matematika 2, skriptum ČVUT, 2006
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT
[3] Budinský, B., Charvát, J.: Matematika I. Skriptum ČVUT
[4] Budinský, B., Charvát, J.: Matematika II. Skriptum ČVUT
Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Řešení evolučních parciálních diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace: Abstraktní funkce. Metoda časové diskretizace. Parabolické parciální diferenciální rovnice řádu 2k v prostorových proměnných s počátečními a okrajovými podmínkami. Existenční věta. Integrodiferenciální rovnice parabolického typu. Rovnice s integrální podmínkou. Řešení hyperbolických diferenciálních rovnic metodou časové diskretizace.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
[1] Poznámky z přednášek
[2] B. Mandelbrot: Fraktály, Mladá Fronta 2003
[3] K. Falconer: Geometry of fractal sets, Cambridge University Press.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
[1] 1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
bakalářská práce
[1] dle zadání
Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses. 1. Graphic communication in construction practice, part of geometry in building process 2. Multiview Projection-attributes, procedures, applications 3. Helix-attributes, construction, tangent line, applications 4. Helical Surfaces-classification, application, construction, modelling in SW SketchUp 5. Axonometric Projection-attributes, procedures, applications 6. Oblique Projection-solids and surfaces 7. Oblique Projection-shades and shadows 8. Quadrics-classification, applications, sketching 9. Quadrics-modelling in SW SketchUp 10. Perspective-attributes, procedures, applications 11. Perspective-solids and arcs, nets 12. Frenet Trihedron-calculation, application 13. Curvature and osculating circle-calculation, application
[1] Černý, J.: Geometry, textbook of FCE CTU at Prague, 1996
[2] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
diplomová práce
[1] dle zadání
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
Doporučená literatura:
[3] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[4] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
Povinná literatura:
[1] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2016, ISBN 978-80-01-06049-0
[2] Černý, J.- Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-04920-4
[3] Drábek,K.-Harant,F.-Setzer,O.: Deskriptivní geometrie I,Praha SNTL 1978, ISBN 04-011-78
Doporučená literatura:
[4] Linkeová, I.: Constructive Geometry, textbook of FME CTU, 2016, ISBN 978-80-01-05879-4
[5] Medek, V.- Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL - Alfa, 1976, ISBN 63-552-76
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Povinná literatura:
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
[3] Jarušková, D.: Pravděpodobnost a matematická statistika. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha 2011, ISBN 978-80-01-04829-0.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matrices, eigenvalues and eigenvectors, spectrum. 2. Norm, norms of matrices, condition number, Gershgorin Theorem. 3. Symmetric matrices, positive definite matrices. 4. Cholesky decomposition. Variational principle. 5. Iterative methods. Sparse matrices. Conditioning. 6. Ordinary linear differential equations - basic properties. 7. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 8. Function spaces, dot product of functions. Eigenspaces. 7. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 8. Differential operators, operator equations, eigenvalues and eigenfunctions. Solvability of operator equations. 9. Variational principle. Stable and unstable solutions. 10. Variational methods (Ritz, finite elements). 11. Laplace and Poisson Equation. 12. Wave equation. 13. Backup.
Povinná literatura:
[1] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[2] F. Bubeník: Problems to Mathematics for Engineers, CVUT 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
Doporučená literatura:
[3] K. Rektorys: Solving Ordinary and Partial Boundary Value Problems in Science and Engineering (Applied and Computational Mechanics), CRC Press; 1 edition (1998), ISBN 978-0849325526
[4] Sherman Stein, Anthony Barcellos, Calculus and Analytic Geometry 5th ed., Mcgraw-Hill 1992, ISBN 978-0070611757
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005,ISBN:80-01-03309-0
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2005,ISBN 978-80-01-04715-6
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Budinský, B., Charvát J.: Matematika I. SNTL, Praha 1987
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie. Aplikace.
Povinná literatura:
[1] Bubeník, F.: Matematika 2. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03537-9.
Doporučená literatura:
[3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[4] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
[6] Landau, E.: Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2830-4.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
Povinná literatura:
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007, ISBN: 978-80-01-03678-5.
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04829-0.
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011, ISBN: 978-80-01-04828-3.
Doporučená literatura:
[4] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. Skriptum CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová: Matematické vzorce a metody. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010, ISBN 978-80-01-04524-4.
[6] K. Rektorys: Prehled užité matematiky. Prometheus, Praha 2000, ISBN 80-85849-92-5.
1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice, Geršgorinova věta. 2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti, speciální matice a jejich vlastnosti. 3. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice. 4. 0byčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, problém vlastních čísel a vlastních funkcí. 5. Prostory funkcí, skalární součin funkcí, diferenciální operátory. 6. Variační princip pro 1D úlohy s pozitivně definitním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení. 7. Variační metody pro přibližné řešení (Ritzova metoda, metoda konečných prvků). 8. Poissonova rovnice ve 2D, okrajové podmínky, aplikace, Ritzova metoda, metoda konečných prvků. 9. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy a úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce. Různé okrajové podmínky. 10. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D, Liebmannova iterace (informativně). 11. Vlnová rovnice, numerické řešení metodou sítí, stabilní a nestabilní metoda. 12. Rovnice vedení tepla, numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilní a nestabilní metoda. 13. Rezerva
[1] [1] Elektronické studijní materiály na webové stránce předmětu, např. J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4; J. Chleboun: Matematika 4 - příručka pro přežití; J. Chleboun: Texty k přednáškám
[2] [2] O. Zindulka: Matematika 3, kap. 4, 5, 6; Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2007
[3] [3] K. Rektorys: Matematika 43,Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2001
Vlastnosti množin čísel. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace funkce a její význam. Absolutní extrém funkce. Aproximace funkce diferenciálem a Taylorovým polynomem. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor. Maticový počet, inverzní matice. Vnější součin vektorů. Determinant. Vektorový součin vektorů. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta, substituce. Míra množiny. Křivkový integrál. Vektorová pole, práce síly, potenciál.Greenova věta. Aplikace dvojného, trojného a křivkového integrálu. Parametrizace křivky a plochy. Tok plochou, divergence pole. Plošný integrál.
Povinná literatura:
[1] B. Budinský- J. Charvát: Matematika II, Vydavatelství ČVUT Praha, 1996,ISBN 80-01-01092-9
[2] J. Charvát- V. Kelar- Z. Šibrava: Matematice 2. Sbírka příkladů, Vydavatelství ČVUT Praha, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1.
[3] J. Černý- M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT Praha, 1998.
Doporučená literatura:
[4] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[5] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha, 2007, ISBN 80-7196-179-5
[6] Elektronická verze sbírky příkladů pro geodety
Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
[1] Jay L. Devore: Probability and statistics for engineering and the sciences. Duxbury.
1. Sequences of real numbers, fundamental concepts and definitions, limits of sequences and methods for their calculating, the number e. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts and definitions, limits (proper and improper) and methods for their calculating, continuity. 3. Basic theorems for continuous functions and their applications: Bolzano's and Weierstrass's theorems, derivatives and their geometric and physical meaning, derivative rules, derivative of composite and inverse functions. 4. Derivatives of higher orders, differentials of the 1st and higher orders, Lagrange's theorem and its consequences, l'Hospital's rules. 5. An analysis of functions sequent on the properties of the 1st and 2nd derivatives (intervals of monotony, local extremes, convexity and concavity, points of inflection, asymptotes). 6. Global (absolute) extremes on compact intervals, word problems. Taylor's theorem, Taylor's polynomial and its applications. 7. Vector (linear) spaces, the vector space of ordered n-tuples, R2, R3, linear combinations, linear independence and dependence, bases, the dimension, subspaces. 8. Linear hull, matrices, the rank of a matrix, Gauss's algorithm. 9. Systems of linear algebraic equations, basic methods for solving, Gaussian elimination, Frobenius theorem. 10. Matrix multiplication, inverse matrices and their applications, matrix equations. 11. Determinants of the 2nd and 3rd orders, Sarrus's rule, inverse matrices by means of determinants, Cramer's rule. 12. Fundamental properties of geometric vectors. General form and parametric representation of a plane. Parametric equations of straight lines. A straight line as the intersection of two planes. 13. Relationship problems on straight lines and planes, deviations and distances of planes and straight lines. Application of analytic methods for solving geometric problems in the space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Prague, 2014 (New)
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Prague, 2014 (New)
[3] Rektorys K.: Survey of Applicable Mathematics, Vol. I, II.
1.Linear differential equations of the n-th order, initial value problems. Homogeneous equations: fundamental system, general solution. Fundamental system for equation with constant coefficients. Descriptive statistics. 2. Reduction of order. Nonhomogeneous equations: variation of parameters, method of undetermined coefficients. Descriptive statistics: box-plot, outliers. Bivariate data. 3. Dot product of functions in C([a,b]), orthogonality of functions. Setup of a boundary value problem, examples. Bivariate descriptive statistics. Linear regression. 4. Problem u''+au=f, u(0)=u(pi)=0, eigenvalues and eigenfunctions. Orthogonality of eigenfunctions. Solvability (as it depends on "a"). Some other problems. Introduction to probability theory. Classical probability. 5. Double integral, Fubini Theorem, substitution, polar coordinates. Conditional probability; independent events. 6. Applications of double integral. Discrete random variables. 7. Triple Riemann integral, Fubini Theorem, substitution, cylindrical and spherical coordinates. applications of double and triple integral. Binomial distribution. 8. Applications of triple integral. Continuous random variables. 9.Line integral of a scalar field, applications. Continuous random variable: expected value and variance. 10. Line integral of a vector field, Green Theorem. Normal distribution. 11. Conservative fields. Applications of normal distribution. 12. Applications of line integrals. Inferential statistics.
Povinná literatura:
[1] F. Bubeník: Mathematics for Engineers. CVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
[2] F. Bubeník: Problems to Mathematics for Engineers, CVUT 2014, ISBN 978-80-01-05621-9
Doporučená literatura:
[3] Sherman Stein, Anthony Barcellos, Calculus and Analytic Geometry 5th ed., Mcgraw-Hill 1992, ISBN 978-0070611757
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
[1] Rektorys, K.: Matematika 43: obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, ČVUT, 1997, ISBN 80-01-01611-0.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
Povinná literatura:
[1] 1) Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] 2) Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005
[3] 3) Bubeník, F.: Mathematics for Engineers. Skriptum ČVUT, 2014, ISBN 978-80-01-03792-8.
Doporučená literatura:
[4] 4) Rektorys, K.: Přehled užité matematiky
[5] 5) Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika
[6] 6) Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Budinsky?, B., Charvát, J.: Matematika I ? SNTL, 1987, ISBN: 04-011-87.
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů.ˇskripta ČVUT, ČVUT, 2012, ISBN 978-80-01-04989-1.
[3] Bubeník, F.: Matematika 2, skripta ČVUT, nakladatelství ČVUT, 2006, ISBN 80-01-03535-2.
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004, http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.
1. Spolehlivost a její pravděpodobnostní pojetí. Zpracování dat. 2. Pojem pravděpodobnosti a pojem podmíněné pravděpodobnosti. Spolehlivost systému skládajícího se z více komponent (princip inkluze a exkluze) 3. Úplná pravděpodobnost a Bayesova věta. 4. Náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka. 5. Spojitě rozdělené náhodné veličiny. Střední hodnota, směrodatná odchylka, kvantily. 6. Normální rozdělení. Logaritmicko-normální rozdělení. 7. Odhad střední hodnoty, směrodatné odchylky, kvantilů z dat. 8. Dvourozměrné rozdělení. Korelační koeficient. 9. Nezávislost dvou veličin. Kontingenční tabulka. Test nezávislosti. 10. Rozdělení lineární kombinace normálně rozdělených náhodných veličin. 11. Odolnost konstrukce, účinky zatížení konstrukce. Index spolehlivosti. Stupeň spolehlivosti. 12. Metody Monte Carlo. 13. Jednoduchá lineární regrese.
[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
[1] Wald Abraham: Sequential Analysis, Courier Corporation 2013,ISBN 978-0-486-61579-0
[2] Wasserman Larry: All of Statistics, Springer 2004,ISBN 978-0-387-40272-7
[3] Jurečková Jana and Picek Jan :Robust Statistical Methods with R,Chapman and Hall/CRC 2006,ISBN 978-1-58488-454-5
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
[1] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000. , Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997.
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
Doporučená literatura:
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
Povinná literatura:
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Doporučená literatura:
[4] Zeman, A.: Fyzikální geodézie 10, skripta FSv ČVUT v Praze, 1998, 188 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] [1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005
1. Matlab - software a prostředí pro numerické výpočty. Srovnání se systémy počítačové algebry. 2. Matlab - organizace pracovní plochy (okno editoru, pracovní okno, okna pro pomocné informace). 3. Operace s vektory a s maticemi. 4. Jacobiova a Gaussova-Seidelova pro iterační řešení soustav lineárních algebraických rovnic. 5. Metoda SOR a metoda sdružených gradientů. Srovnání všech čtyř metod. 6. Grafické výstupy a jejich detailní úpravy. 7. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy, část 1 - integrace. 8. Ritzova metoda pro 1D okrajové úlohy - dokončení. 9. Metoda konečných prvků pro 1D okrajové úlohy. 10. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, Dirichletovy okrajové podmínky. 11. Metoda sítí pro 1D okrajové úlohy, jiné okrajové podmínky. 12. Metoda sítí pro řešení vlnové rovnice s jednou prostorovou proměnnou. 13. Metoda sítí pro řešení rovnice vedení tepla s jednou prostorovou proměnnou.
[1] [1] D. Majerová: MATLAB, http://uprt.vscht.cz/majerova/matlab/
[2] [2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[3] [3] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[4] [4] Systém nápovědy integrovaný do prostředí Matlab.
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Ukázky různých typů geometrických objektů - křivek a ploch, jejichž výběr je zaměřen na geodetické a kartografické aplikace. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D, vizualizaci získaných modelů a jejich matematické vyjádření. Používaným nástrojem je plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie
[2] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[3] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[4] Rhinoceros: Uživatelská příručka
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Lebesgueův integrál v RN Prostory se skalárním součinem, Hilbertovy prostory, Lebesgueův prostor L2(M), Slabé derivace funkce, Sobolevovy prostory, lineární a bilineární formy na Hilbertových prostorech, kvadratické funkcionály na Hilbertových prostorech a existence minima Rovnice nosníku Eliptické parciální diferenciální rovnice - symetrický případ, rovnice u = u + f s nulovou okrajovou podmínkou Průhyb desky Eliptické rovnice - nesymetrický případ Lax-Milgramovo lemma Rovnice u + a.u = f s nulovou okrajovou podmínkou Nekonečné číselné řady Nekonečné řady funkcí, pojem řady funkcí a obor konvergence, stejnoměrná konvergence, derivování a integrování řady funkcí Mocninné řady, mocninné řady a poloměr konvergence, derivování a integrování mocninných řad Fourierovy řady, ortonormalita systému cosinů a sinů, formální rozvoj, bodová konvergence, konvergence v L2(0, l) Rovnice vedení tepla, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení - princip maxima, existence řešení Fourierovou metodou Rovnice struny, odvození, matematická formulace problému, jednoznačnost řešení, odvození, matematická formulace problému, existence řešení Fourierovou metodou Matematická formulace problému nekonečné struny Numerické metody, Rietzova metoda pro jednorozměrnou úlohu Bonusy, odvození rovnice difuze s konvektivním členem - jednodimenzionální případ, úvod do Laplaceovy transformace, matematická formulace difuze a řešení v polonekonečné trubici
[1] .Zindulka, O.: Matematika 3, Fakulta stavební, 1. vydání, duben 2007, ISBN 978-80-01-03678-5
[2] .Rektorys, K.: Matematika 43, skripta ČVUT, Praha, 2001.
[3] .Rektorys, K.: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple.
[1] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2] Rhinoceros: Uživatelská příručka
[3] Maple: Manuál pro začátečníky
[4] http://mat.fsv.cvut.cz/lakoma/
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Úvod do geometrie fraktálů. Fraktály jsou množiny v rovině nebo euklidovském prostoru, jejichž matematické i estetické paradigma se zasadně liší od klasické geometrie hladkých čar a ploch. Původní fantazie matematiků - Kochův ostrov, Mandelbrotova množina atd.překvapivě nalezly analogie ve fyzice, biologii, geografii, astronomii...
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.
1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
? Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. ? Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. ? Metoda hlavních komponent. ? Časové řady v časové a frekvenční doméně. ? Bayesovské postupy. ? Vybrané Monte Carlo metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Vícerozměrné normální rozdělení a odhady jeho parametrů. ? Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. ? Metoda hlavních komponent. ? Časové řady v časové a frekvenční doméně. ? Bayesovské postupy. ? Vybrané Monte Carlo metody.
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
bakalářská práce
bakalářská práce
bakalářská práce
projekt
diplomová práce
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Kótované promítání. Axonometrie. Kosoúhlé promítání. Konstruktivní fotogrammetrie - vodorovný snímek. Gnómonická projekce. Ortografická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy. Program SketchUp.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Neurčité integrály: metoda per partes, substituce. Výpočet neurčitého integrálu racionálních funkcí. Vybrané speciální substituce. Určité integrály: Newtonův-Leibnizův vzorec, výpočet. Nevlastní integrály. Aplikace určitého integrálu. Funkce více proměnných, parciální derivace. Derivace v orientovaném směru, totální diferenciál. Tečna křivky v rovině, tečná rovina plochy v prostoru. Lokální extrémy funkce dvou proměnných. Vázané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných. Popisná statistika. Metoda nejmenších čtverců.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie. Aplikace.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
1. Riemannův integrál. Vlastnosti. Integrovatelnost funkce. Střední hodnota funkce. Primitivní funkce. 2. Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. 3. Parciální zlomky. Integrace racionální a iracionální funkce. 4. Integrace goniometrické funkce. Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 5. Aproximace rovinného obrazce, numerický výpočet integrálu. 6. Funkce dvou proměnných. Definiční obor, obor hodnot, vrstevnice a graf. Rotační a translační kvadriky. 7. Limita a spojitost funkce dvou proměnných, parciální derivace. Totální diferenciál, Taylorův polynom. 8. Implicitní funkce dvou proměnných, lokální extrémy funkce dvou proměnných. 9. Vázané a globální extrémy funkce dvou proměnných. Diferenciální rovnice prvního řádu. 10. Aplikace diferenciálních rovnic - spádnice grafu funkce dvou proměnných. 11. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Existence a jednoznačnost řešení diferenciálních rovnic. 12. Numerické řešení diferenciálních rovnic: Rungovy-Kuttovy metody. 13. Rezerva
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
V rámci předmětu jsou vykládány vybrané mikroekonomické a makroekonomické modely. K jejich popisu je použita kvalitativní teorie (převážně) dvourozměrných systémů autonomních diferenciálních rovnic.
Probability. Discrete and continuous random variables. Normal distribution. Asymptotic distribution of a mean. Multivariate distribution. Independence and correlation. Parameter estimation. Hypothesis testing. Simple linear regression.
The course is devoted to the method highly versatile and effective for solving problems containing the time, especially evolutionary problems based on partial differential equations with various boundary and initial conditions. This method represents a modern approach to modeling and solving technical problems, both linear and non-linear, describing processes in various technical areas, such as deflections flat plates, heat conduction, vibration and others. The course contains basic concepts of functional analysis and variational methods needed to understand the formulation and modeling of technical problems, an overview of solving methods, as well as the theoretical and practical foundations. The course is conducted in an accessible form with plenty of examples.
1. Sequences of real numbers, fundamental concepts and definitions, limits of sequences and methods for their calculating, the number e. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts and definitions, limits (proper and improper) and methods for their calculating, continuity. 3. Basic theorems for continuous functions and their applications: Bolzano's and Weierstrass's theorems, derivatives and their geometric and physical meaning, derivative rules, derivative of composite and inverse functions. 4. Derivatives of higher orders, differentials of the 1st and higher orders, Lagrange's theorem and its consequences, l'Hospital's rules. 5. An analysis of functions sequent on the properties of the 1st and 2nd derivatives (intervals of monotony, local extremes, convexity and concavity, points of inflection, asymptotes). 6. Global (absolute) extremes on compact intervals, word problems. Taylor's theorem, Taylor's polynomial and its applications. 7. Vector (linear) spaces, the vector space of ordered n-tuples, R2, R3, linear combinations, linear independence and dependence, bases, the dimension, subspaces. 8. Linear hull, matrices, the rank of a matrix, Gauss's algorithm. 9. Systems of linear algebraic equations, basic methods for solving, Gaussian elimination, Frobenius theorem. 10. Matrix multiplication, inverse matrices and their applications, matrix equations. 11. Determinants of the 2nd and 3rd orders, Sarrus's rule, inverse matrices by means of determinants, Cramer's rule. 12. Fundamental properties of geometric vectors. General form and parametric representation of a plane. Parametric equations of straight lines. A straight line as the intersection of two planes. 13. Relationship problems on straight lines and planes, deviations and distances of planes and straight lines. Application of analytic methods for solving geometric problems in the space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
The introduction to the basic numerical methods. Great attention is paid to methods for solving systems of linear equations. Further we will study methods of approximation of functions and numerical quadrature. Finally, methods for solving ordinary and partial differential equations, will be studied.
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1G, popř. Matematika 2G.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 2 navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody.
[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii 3 navazuje na předměty Matematické metody ve fyzikální geodézii 1 a 2. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Teoretická geodézie příp. Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
1. K čemu jsou určeny systémy počítačové algebry. Obecně o software Maple. 2. Maple - základní způsoby interakce s uživatelem (worksheet, document). 3. Maple - základní pojmy (proměnná, výraz, funkce, cyklus, větvení). Výukové nástroje pro pomoc studentům. 4. Neurčitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 5. Určitý integrál krok za krokem pomocí sw Maple. 6. Úlohy s určitým integrálem řešené sw Maple. 7. Grafy funkcí jedné proměnné, jejich úpravy a popisy v sw Maple. 8. Derivování v systému Maple. 9. Grafy funkcí více proměnných a jejich úpravy. Vrstevnice. 10. Tečná rovina plochy, normála k ploše, zobrazování. 11. Vyšetřování extrémů pomocí sw Maple. 12. Vázané extrémy, jejich zobrazení. 13. Některé další užitečné nástroje sw Maple. Rezerva.
[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Lineární diferenční rovnice a jejich soustavy. Úlohy matematického programování, konvexní funkce, konvexní a kvadratické programování. Lineární, cyklické kódy a jejich dekódování, Hammingovy kódy a BCH-kódy.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
[1] 1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses. 1. Graphic communication in construction practice, part of geometry in building process 2. Multiview Projection-attributes, procedures, applications 3. Helix-attributes, construction, tangent line, applications 4. Helical Surfaces-classification, application, construction, modelling in SW SketchUp 5. Axonometric Projection-attributes, procedures, applications 6. Oblique Projection-solids and surfaces 7. Oblique Projection-shades and shadows 8. Quadrics-classification, applications, sketching 9. Quadrics-modelling in SW SketchUp 10. Perspective-attributes, procedures, applications 11. Perspective-solids and arcs, nets 12. Frenet Trihedron-calculation, application 13. Curvature and osculating circle-calculation, application
[1] Černý, J.: Geometry, textbook of FCE CTU at Prague, 1996
[2] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
[1] Ralston A.: Základy numerické matematiky, Academia Praha 1973.
[2] Rektorys K a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus Praha 1995.
[3] Edit. by Will Light: Advances in Numerical Analysis, Clarendon Press.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
1. Matice, skalární součin vektorů, vlastní čísla a vlastní vektory matic, spektrum matice, Geršgorinova věta. 2. Normovaný lineární prostor, normy matic a vektorů, číslo podmíněnosti, symetrické a pozitivně definitní matice a jejich vlastnosti. 3. Soustavy lineárních algebraických rovnic, přímé metody jejich řešení. 4. Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic, řídké matice. 5. Stabilita osově zatíženého nosníku, obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami, problém vlastních čísel a vlastních funkcí. 6. Diferenciální operátory, skalární součin funkcí, řešitelnost okrajových úloh. 7. Variační princip pro jednorozměrné úlohy s pozitivně definitním diferenciálním operátorem, funkcionál energie, zobecněné řešení. 8. Variační metody pro přibližné řešení (Ritzova metoda, metoda konečných prvků). 9. Laplaceův operátor, harmonické funkce, Poissonova rovnice ve 2D a s různými okrajovými podmínkami, aplikace (ustálené tepelné pole, průhyb membrány), variační princip, Ritzova metoda, metoda konečných prvků. 10. Metoda sítí pro přibližné řešení klasicky formulovaných okrajových úloh v 1D. Metoda sítí pro eliptické okrajové úlohy ve 2D, Liebmannova iterace (informativně). 11. Matematický model kmitání struny a matematický model kmitání obdélníkové membrány, numerické řešení modelu kmitání struny metodou sítí, stabilita metody. 12. Matematický model neustáleného tepelného pole s jednou prostorovou proměnnou a se dvěma prostorovými proměnnými, jeho numerické řešení metodou sítí (pro 2D jen informativně), stabilita metody. 13. Rezerva
[1] [1] Elektronické studijní materiály na webové stránce předmětu, např. J. Chleboun: Příklady k předmětu Matematika 4; J. Chleboun: Matematika 4 - příručka pro přežití; J. Chleboun: Texty k přednáškám
[2] [2] O. Zindulka: Matematika 3, kap. 4, 5, 6; Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2007
[3] [3] K. Rektorys: Matematika 43,Česká technika - nakladatelství ČVUT, Praha, 2001
Vlastnosti množin čísel. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace funkce a její význam. Absolutní extrém funkce. Aproximace funkce diferenciálem a Taylorovým polynomem. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor. Maticový počet, inverzní matice. Vnější součin vektorů. Determinant. Vektorový součin vektorů. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta, substituce. Míra množiny. Křivkový integrál. Vektorová pole, práce síly, potenciál.Greenova věta. Aplikace dvojného, trojného a křivkového integrálu. Parametrizace křivky a plochy. Tok plochou, divergence pole. Plošný integrál.
[1] J. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT Praha, 2004. K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I, Prometheus Praha, 2000.
This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
1. Eigenvalues and eigenvectors of matrices. 2. Ordinary linear differential equations - basic properties. 3. Boundary value problems for second order differential equations; eigenvalues and eigenfunctions. 4. Solvability of boundary value problems for second order linear differential equations. 5. Solving of second order ordinary differential equations by the finite difference method. 6. Introduction to the theory of linear partial differential equations of the second order. 7. Boundary conditions for partial differential equations and their physical interpretation. 8. Finite difference method for the Poisson equation. 9. Finite difference method for the heat equation - explicit scheme. 10. Mathematical modeling of heat transfer between two bodies with different material properties. 11. Variational formulation of boundary value problems for ordinary differential equations. 12. Finite element methods for solving the second order ordinary differential equations. 13. Fourier method for the solution of the heat equation.
[1] [1] Rektorys, K.: Variational methods in mathematics, science and engineering. Translated from the Czech by Michael Basch. Second edition. D. Reidel Publishing Co., Dordrecht-Boston, Mass., 1980.
[2] [2] Rektorys, K.: Survey of applicable mathematics. Vol. II. Mathematics and its Applications, 281. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1994.
[3] [3] Bubeník, F.: Mathematics for Engineers, textbook of Czech Technical University, Prague 2007
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004, http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.
Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.
[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
[1] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000. , Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997.
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005
Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.
[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Ukázky různých typů geometrických objektů - křivek a ploch, jejichž výběr je zaměřen na geodetické a kartografické aplikace. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D, vizualizaci získaných modelů a jejich matematické vyjádření. Používaným nástrojem je plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie
[2] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[3] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[4] Rhinoceros: Uživatelská příručka
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple.
[1] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2] Rhinoceros: Uživatelská příručka
[3] Maple: Manuál pro začátečníky
[4] http://mat.fsv.cvut.cz/lakoma/
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.
1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.
Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.
[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005
Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.
[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. 3. Bayesovská statistika. 4. Metody Monte Carlo.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT.
Basic knowledge about the descriptive and inferential statistics
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Science, Duxbury
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
[1] 1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Kótované promítání, ortografická projekce. Axonometrie. Kosoúhlé promítání.Gnómonická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných. Totální diferenciál, linearizace funkce. Derivace vyšších řádů. Taylorův polynom. Extrémy funkce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Funkce dvou proměnných, vrstevnice, grafy. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál, linearizace funkce. Taylorův polynom 2. stupně, graf. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004, http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.
[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.
[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.
1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. Analýza rozptylu - jednoduché a dvojné třídění. Korelační analýza. 3. Diskriminační analýza. 4. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. 5. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. 6. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí.
Basic knowledge about the descriptive and inferential statistics
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Science, Duxbury
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
[1] 1.Golab, S. : Tensor calculus, Amsterdam, Elsevier, 1974
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Kótované promítání, ortografická projekce. Axonometrie. Kosoúhlé promítání.Gnómonická projekce. Stereografická projekce. Sférická trigonometrie, základní pojmy a vzorce. Aplikace sférické trigonometrie, matematická geografie, astronomické souřadnicové soustavy.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 2004
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000.
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných. Totální diferenciál, linearizace funkce. Derivace vyšších řádů. Taylorův polynom. Extrémy funkce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Funkce dvou proměnných, vrstevnice, grafy. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál, linearizace funkce. Taylorův polynom 2. stupně, graf. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
1. Indefinite integral, primitive functions, tabular integrals. Fundamental methods for calculating indefinite integrals: per partes, substitutions. 2. Integration of rational functions (with simple imaginary roots in denominators at most one). 3. Selected special substitutions. 4. Definite integral, fundamental methods for calculating definite integrals: Newton- Leibniz`s formula, per partes, substitutions. 5. Improper integrals, convergence and divergence of improper integrals, methods of computation. 6. Geometrical and physical applications of integral calculus : area of a plane figure, volume of a solid of revolution, length of the graph of a function, static moments and the centre of gravity of a plane figure. 7. Functions of several variables. Definition domains, in case of two variables also level curves and graphs. Partial derivatives, partial derivatives of higher orders. 8. Directional derivatives. Gradient. Total differential. Derivatives and partial derivatives of functions defined implicitly. 9. Equations of tangent and normal lines of a plane curve and tangent planes and normal lines of a surface. 10. Local extrema and local extrema with respect to a set (constrained extrema). 11. Global extrema on a set. 12. Differential equations of the 1st order, separation of variables, homogeneous equations. Cauchy problems. 13. Linear differential equations of the 1st order, variation of a constant. Exact equations. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004, http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.
[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.
[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy toerie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant typu Agrepref a Electre.
Základní pojmy teorie grafů, toky v sítích, párování, přiřazovací problémy, maďarský algoritmus, Hamiltonovské cesty a kružnice, barevnost grafů. Základy teorie fuzzy množin a fuzzy rozhodování. Metody vícekriteriálního hodnocení variant Agrepref a Electre.
Vybrané partie z numerických metod algebry a vybrané partie matematické analýzy a numerických metod analýzy. Některé numerické metody řešení soustav lineárních algebraických funkcí. Obyčejné a parciální diferenciální rovnice a numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami. Parciální diferenciální rovnice, zvl. eliptické a evoluční rovnice. Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic eliptického, parabolického a hyperbolického typu, zvl. metoda sítí a variační metody. Integrální rovnice a numerické metody jejich řešení, vybrané partie počítačové grafiky a integrální transformace.
Základní matematické modely a jejich počítačové realizace. Numerické metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Numerické metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počátečními a okrajovými podmínkami.
Parciální diferenciální rovnice a jejich klasifikace. Teorie eliptických, parabolických a hyperbolických okrajových a evolučních úloh a jejich počítačové realizace.
Základy funkcionální analýzy. Lineární operátory a spektrální teorie. Variační principy a jejich aplikace, slabé řešení. Soboleovy prostory. Metoda konečných prvků.
Algebra: Jordanův kanonický tvar matice. Spektrální vlastnosti matic. Nezáporné matice. Topologie: Topologické prostory, Hausdorffovy kompaktní topologické prostory. Tichonovova věta. Souvislé prostory. Spojitá zobrazení. Faktorové prostory. Metrické prostory. Arzeláova-Ascoliho věta. Matematická analýza: Hilbertovy prostory. Banachovy prostory. Lokálně konvexní lineární topologické prostory. Duální prostory, slabá a slabá* konvergence. Diferenciální a integrální počet na Banachových prostorech. Spektrální teorie. Věty o pevném bodě.
Při studiu zakřivení ekvipotenciálních ploch gravitačního, resp. tíhového potenciálu Země nevystačíme s pojmem plochy a pojmem skalárního součinu jak je známe z E. Diferencovatelná varieta jako zobecnění pojmu plochy. Tenzor jako zobecnění lineární a bilineární formy. Metrický tenzor jako zobecnění skalárního součinu. Tenzor křivosti a torze na ploše. Vektorové pole a derivace vektorového pole podle vektoru a podle vektorového pole, kovariantní derivace a absolutní diferenciál. Marussiho tenzor jako absolutní derivace diferenciálu gravitačního potenciálu. Vnější formy na plochách, Riemannova konexe. Plochy s konstantní Gaussovou křivostí a jejich geodetická zobrazení.
Přehled potřebných poznatků z algebry, matematické analýzy, topologie. Hladké systémy: Diferencovatelná varieta a diferencovatelné zobrazení. Vektorové pole a dynamický systém. Invariantní variety. Bifurkace vektorových polí. Atraktory a chaotické množiny. Spojité systémy: Dynamický systém na kompaktním metrickém prostoru. Invariantní množiny dynamického systému. Stabilita. Invariantní míry. Topologická a měrově-teoretická entropie. Některé modelové systémy a jejich vlastnosti.
Diferenciální operátory v Hilbertově prostoru (prohloubení). Věta o minimu funkcionálu energie. Friedrichsovo rozšíření pozitivně definitních operátorů. Zobecněné řešení, existence a jednoznačnost. Zobecněné derivace, Sobolevovy prostory. Slabá řešení diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami.
Závislost a nezávislost náhodných veličin. Lineární model. Analýza rozptylu ? jednoduché třídění. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Výběr modelu. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí. Aplikační software IBM SPSS Statistics nebo MatLab
Obsahem předmětu budou vybrané statě matematické analýzy a s nimi související numerické metody. Studenti se seznámí s integrálními transformacemi a jejich aplikacemi, hraničními integrálními rovnicemi a metodou hraničních prvků, numerickými metodami s vysokým řádem konvergence (h-p varianta metody konečných prvků a spektrální metody), řešením nelineárních problémů, příp. některými speciálními metodami jako jsou např. "wavelets".
1. Metrický prostor a jeho základní topologické vlastnosti. Spojitá zobrazení jednoho metrického prostoru na druhý. Separabilní metrické prostory. Úplné metrické prostory a Baireova věta o kategoriích. Podmnožiny metrického prostoru první a druhé kategorie. Kompaktní metrické prostory. Věty o pevném bodě. Souvislé metrické prostory. Součiny metrických prostorů. 2. Normované lineární prostory. Banachovy prostory. Banach-Steinhaussova věta, Banachova věta o otevřeném zobrazení, Hahn-Banachova věta. Lineární prostory se skalárním součinem. Hilbertovy prostory a jejich vlastnosti. Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru. Příklady Banachových a Hilbertových prostorů: Prostory integrovatelných funkcí, Sobolevovy prostory.
Algebra: Komutativní algebra - konečná tělesa, struktura konečných těles, ireducibilní polynomy nad konečnými tělesy, cyklotomické polynomy. Komutativní okruhy, Noetherovské okruhy, Gr?bnerovy báze, Hilbertova věta o nulách, sygyzy, aplikace Gr?bnerových bází. Univerzální algebra, slovní problémy, přepisující systémy, rovnicově definované třídy algeber, algebraické specifikace abstraktních datových typů. Reprezentace algeber a grup, základní pojmy homologické algebry, A-R posloupnosti, algebry konečného typu, modulární reprezentace grup. Teorie kódů: Konečná tělesa, Hammingovy kódy, cyklické kódy, BCH-kódy a jejich dekódování, kódy kvadratických zbytků, RM-kódy, Goppovy kódy. Matematická logika: Sémantika a syntaxe výrokové a predikátové logiky 1.řádu, věta o kompaktnosti a úplnosti, rezoluční metoda dokazování. Ultraprodukt a základy teorie modelů. Modální logika a fuzzy logika.
Základy matematické statistiky, základní pojmy počtu pravděpodobnosti, diskrétní a spojitá náhodná veličina, vícerozměrná rozdělení a odhady parametrů rozdělení. Seznámení s pojmem testování hypotéz (jednovýběrová, dvouvýběrová analýza), s jednoduchou analýzou rozptylu a testy dobré shody a s pojmem regrese (jednoduchá lineární regrese, testování hypotéz v regresi, polynomická regrese). Různé typy spojitých rozdělení, otázky simulace, zvl. metoda inverzní distribuce a zamítací metoda. Vícerozměrné rozdělení. Časové řady, zvl. stacionární časové řady a jejich studium v časové i frekvenční doméně.
1. Náhodný výběr - základní charakteristiky. Dvou a vícerozměrný náhodný výběr. Grafické zobrazování dat. 2. Myšlenka statistické inference. Jedno i vícerozměrné normální rozdělení. Centrální limitní věta. 3. Teorie odhadu - bodový a intervalový odhad. Aplikace na normální rozdělení. Predikční interval. 4. Testování hypotéz - sestavení testovacího problému. Pojem testové statistiky. P-hodnota. Testování parametrů jednorozměrného a dvourozměrného normálního rozdělení. 5. Lineární regrese - odhad parametrů, testování hypotéz, predikční intervaly, regresní diagnostika. 6. Simulace náhodných veličin a vektorů normálně rozdělených.
1. Závislost a nezávislost náhodných veličin. 2. Lineární model. Analýza rozptylu - jednoduché a dvojné třídění. Korelační analýza. 3. Diskriminační analýza. 4. Analýza hlavních komponent. Faktorová analýza. 5. Časové řady v časové doméně - Autokorelační funkce. Box-Jenkinsova metodologie. 6. Časové řady ve frekvenční doméně - Fourierova analýza. Testy významnosti frekvencí.
Numerická algebra: Hledání kořenů rovnic soustav nelineárních rovnic. Metoda postupných aproximací. Aitkenův urychlovací proces. Newtonova metoda, modifikovaná Newtonova metoda. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Eliminační metody Gaussova typu. Choleskiho rozklad. Soustavy s pásovými maticemi. Soustavy s pozitivně definitiními maticemi. Soustavy s třídiagonálními maticemi. Rychlé metody. Soustavy s řídkými maticemi. Iterační metody. Metody rozkladů (splitting up). Regulární rozklady. Metoda Jacobiho. Metoda Gaussova-Seidelova. Metoda SOR. Předpodmiňování soustav lineárních rovnic. Problémy vlastních hodnot. Mocninná metoda. Kelloggův proces. Metoda LR. Metoda QR. Zobecněný problém vlastních hodnot. Metoda inverzní iterace. Numerická analýza: Numerické počítání, zaokrouhlovací chyby, numerická stabilita. Numerický výpočet integrálů, numerický výpočet funkcionálů, numerický výpočet Fourierových koeficientů. Řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy. Řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice a jejich soustavy. Metoda konečných prvků, met. hraničních prvků. Evoluční úlohy s parciálními diferenciálními rovnicemi, racionální aproximace exponenciální funkce, Eulerova met. explicitní, Eulerova met. implicitní, met. Crankova-Nicholsonové, metody typu Runge-Kutta. Optimalizační metody, simplexová metoda, Uzawův algoritmus. Numerika nelineárních úloh, numerický výpočet bodu obratu, numerický výpočet bifurkačních bodů, určení centra singularit nelineární úlohy, Schmidtova - Lyapunovova redukce.
Předmět navazuje na předchozí přednášky doktorandského studia aplikovaná matematika a numerické metody. Program přednášek: Základní pojmy: tenzor napětí a deformace (Piola-Kirchhoff, Cauchy, apod.), hyperelastické materiály. Základy matematické teorie nelineární pružnosti (John Ball): polykonvexita, quasikonvexita, existence a jednoznačnost řešení, kontaktní problémy. Základní modely řešení nelineárních materiálů. Numerické metody řešení obecně nelineárních problémů.
Základní principy objektově orientovaného programování, ( C++, D, ADA, Fortran), navrhování algoritmů, členění programů na komponenty, koexistence programů různých platforem, přenositelnost programů na různé hardwarové platformy, bezpečnostní aspekty programování, použití kryptografie (šifrování, elektronický podpis apod.). Kodovani.
Obyčejné diferenciální rovnice: Problém vlastních čísel. Řešitelnost problémů s okrajovými podmínkami. Klasická metoda sítí pro vlastní čísla a pro problémy s okrajovými podmínkami. Dvoustranné odhady vlastních čísel. Parciální diferenciální rovnice: Rovnice druhého řádu, klasifikace. Rovnice inženýrské praxe (s odvozením) a jejich základní vlastnosti. Klasická metoda sítí a Fourierova metoda.
Vybrané partie z teorie pravděpodobnosti. Matematická statistika: Lineární model - odhad parametrů, testování, predikce. Nelineární model - jeho linearizace a odhad parametrů. Simulační metody.
MATLAB: Elementární vlastnosti jazyka. Uživatelský přístup. Vědecko-technické výpočty. Grafika. Interakce MATLABu s algoritmickými jazyky. Tvorba a vlastnosti M-souborů. Systémy MATEMATICA a Maple. Programování v kombinaci MATLAB a Maple.
Popis a způsoby použití komerčních, nekomerčních a public domain softwarových produktů. Numerická algebra a její software. Obyčejné diferenciální rovnice. Počáteční úlohy. Stiff problémy. Okrajové úlohy s obyčejnými a parciálními diferenciálními rovnicemi. Eliptické úlohy. Hyperbolické úlohy. Proudění a Navier-Stokesovy rovnice. Evoluční rovnice. Parabolický případ. Nekorektně položené úlohy. Rutinní a tvůrčí používání softwarových produktů. Kombinace vlastních programů s programovými balíky. Speciální softwarové balíky. LINPACK, EISPACK, atp.
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
Iterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Rychlé algoritmy. Gradientní metody. CG a GMRES. Předpodmiňování a jeho metody. Metody více sítí pro eliptické problémy (Multigridní metody). V-cyklus, W-cyklus. Metody typu rozkladu oblasti (Domain Decomposition Methods - DDM). Metody s překrytím, metody bez překrytí. Metody typu Neumann-Neumann. Metoda s vyvážením (Balanced DD). Úplná černá skříň Schwarzova typu s překrytím (Fully Black Box). Speciální metody pro neeliptické a indefinitní úlohy. Typické úlohy, Helmholtzova rovnice, Navierovy-Stokesovy soustavy. Agregace Leontěvovské soustavy. Stacionární vektory pravděpodobnosti stochastických matic. Všechny metody a algoritmy jsou navzájem propojeny a ilustrovány na neakademických příkladech modelů mechaniky, pružnosti, pevnosti a spolehlivosti staveb.
Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL ? Alfa, 1976
Promítání a promítací metody. Axonometrie. Kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, zobrazení těles, kužel, válec, jehlan, hranol, koule. Jednoduché úlohy v axonometrii. Osvětlení těles a skupin těles v axonometrii. Perspektiva. Křivky, parametrický popis. Průvodní trojhran křivky, křivosti. Šroubové plochy. Kvadriky. Plochy ve stavitelství.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrálu.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Analytická geometrie v rovině a prostoru. Vektorové prostory. Matice, inverzní matice. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Determinant matice druhého a třetího řádu, Cramerovo pravidlo. Vlastní čísla a vlastní vektory matice. Posloupnost reálných čísel. Funkce jedné reálné proměnné, spojitost, limita, derivace, diferenciály, lokální a globální extrémy, monotonie, inflexní body. Taylorův polynom a jeho použití. Newtonova metoda.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Neurčitý a určitý integrál, metoda per partes a substituce. Nevlastní integrál a jeho výpočet. Aplikace integrálu. Numerická integrace. Funkce více proměnných, vrstevnice, limita, spojitost. Parciální derivace. Totální diferenciál. Implicitní funkce. Extrémy. Diferenciální rovnice 1. řádu, separace, homogenní rovnice, lineární 1. řádu, exaktní. Ortogonální trajektorie.Aplikace. Lineární rovnice druhého řádu. Numerické metody. Eulerova metoda.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy ? příklady. Úloha u?? + ?u = f, u(0) = u(?) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na ?. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)
Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
This course forms an introduction to basic calculus and related topics. It covers essential concepts and the principles of differential calculus of functions of a variable, linear algebra and analytic geometry with an emphasis in understanding the concepts and being able to perform calculations. 1. Sequences of real numbers, fundamental concepts. 2. Functions of a real variable, fundamental concepts. 3.-4. Derivatives. Differentials. Geometric and physical meaning. 5.-6. Properties of functions. Extremal problems. Taylor`s theorem. 7. Vector (linear) spaces, R2, R3, RN. 8.-9. Matrices. Systems of linear equations. 10.-11. Matrix equations, Determinants. Cramer`s rule. 12.-13. Application of analytic geometry methods, geometric problems in the space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ?(x,y)=0 (? je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.
Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.
[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005
Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.
[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple™.
[1] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2] Rhinoceros: Tutoriály
[3] Maple: Manuál pro začátečníky
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Ukázky různých typů geometrických objektů - křivek a ploch, jejichž výběr je zaměřen na geodetické a kartografické aplikace. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D, vizualizaci získaných modelů a jejich matematické vyjádření. Používaným nástrojem je plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie
[2] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[3] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[4] Rhinoceros: Uživatelská příručka
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
Numerical methods of numerical linear algabra and analysis
[1] Jay L. Devore: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences
[2] Duxbury
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce – per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrál
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce ? per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrál
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy – příklady. Úloha u′′ + λu = f, u(0) = u(ℓ) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na λ. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.
[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohled na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.
[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996
This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996. Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995.,
[2] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce – per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrál
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy – příklady. Úloha u′′ + λu = f, u(0) = u(ℓ) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na λ. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)
Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
Real functions of a real variable. Sequences, limits, convergence, divergence, the number e. Functions, properties, composite, inverse. Limits, continuity. Derivatives, differentials, applications. Local extremes, asymptotes. Global extremes. Taylor’s theorem. Linear algebra. Vector spaces, R2, R3, Rn. Matrices, operations. Systems of linear equations, solutions, solvability. Gaussian elimination. Matrix multiplication, inverse matrices, matrix equations. Determinants, Cramer’s rule. Analytic geometry. Straight lines. Planes. Equations, parametric representation. Relationships, deviations, distances. Products of vectors. Applications.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.
[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005
Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.
[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple™.
[1] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2] Rhinoceros: Tutoriály
[3] Maple: Manuál pro začátečníky
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Ukázky různých typů geometrických objektů - křivek a ploch, jejichž výběr je zaměřen na geodetické a kartografické aplikace. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D, vizualizaci získaných modelů a jejich matematické vyjádření. Používaným nástrojem je plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie
[2] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
[3] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[4] Rhinoceros: Uživatelská příručka
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Těžištěm modulu jsou stavební aplikace a jejich geometrický popis. Přitom je používána kromě klasických metod počítačová grafika. Předmět je určen pro studenty se základními znalostmi stereometrie a zobrazovacích metod a je vhodný pro ty, kteří ovládající základy práce s některým grafickým programem (např. CAD, Rhinoceros). Je alternativou povinného kurzu Konstruktivní geometrie.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, zobrazení objektů v axonometrii, polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. Konoidy a cylindroidy. Využití programu Rhinoceros k modelování křivek a ploch stavební praxe.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2010
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie. Předlohy, skriptum ČVUT, 2014
[3] Pottmann, H., Asperl, A., Hofer, M., Kilian, A.: Architectural Geometry, Bentley Institute Press, 2007
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
Matice, hodnost matice, Gaussova eliminace Soustavy lineárních algebraických rovnic, řešení, homogenní soustavy Vektorové prostory, vektory, lineární závislost, báze, dimenze, vektorový podprostor Maticový počet, inverzní matice, determinanty, Cramerovo pravidlo Analytická geometrie v prostoru, přímka, rovina Posloupnosti, vlastnosti, konvergence Funkce jedné proměnné, definiční obor, graf, spojitost, vlastnosti Limita funkce, derivace Vlastnosti diferencovatelných funkcí, extrémy, graf funkce Funkce dvou proměnných, graf, vrstevnice Parciální derivace, derivace ve směru, gradient Tečny ke křivce, tečná rovina, totální diferenciál
Extrémy funkce dvou proměnných Vazané extrémy, globální extrémy funkce dvou proměnných Primitivní funkce, definice, výpočet Metody hledání primitivní funkce – per partes, substituce Riemannův integrál, definice, New.-Leib. vzorec Per partes, substituce, výpočet Jednoduché aplikace určitého integrálu Numerický výpočet určitého integral Dvojný integrál, definice, Fubiniova věta Substituce do polárních souřadnic Výpočet dvojného integrálu Aplikace dvojného integrál
Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy – příklady. Úloha u′′ + λu = f, u(0) = u(ℓ) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na λ. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.
[1] K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996, M. Burša, G. Karský, J. Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia, 1993
Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Algoritmy a základy numerické matematiky Číselné soustavy. Aritmetika v plovoucí řádové čárce. Chyby v reprezentaci čísel. Desítková aritmetika v plovoucí řádové čárce. Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Základní zdroje chyb. Základní algoritmy. Sčítání, odčítání, násobení a dělení čísel. Dělení polynomů. Interpolační polynom. Interpolace. Extrapolace. Numerické řešení rovnice f(x)=0. Bisekce. Metoda sečen. Newtonova metoda- výpočet převrácené hodnoty, odmocniny atd. Kombinace metod. Separace kořenů. Modifikace Newtonovy metody. Taylorův polynom. Lagrangeův tvar zbytku. Sčítání velkých a malých členů řady. Problémy s definicí funkce exp(x). Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo. Inverzní matice pomocí adjungované matice. LU rozklad matice. Norma matice, vektoru. Regrese. Metoda nejmenších čtverců. Numerické metody řešení určitého integrálu. Obdélníková, lichoběžníková a Simpsonova metoda. Předmět Algoritmy a základy numerické matematiky navazuje na algoritmy probírané v předmětech Matematika 1, popř. Matematika 2.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.
[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KG01 a KG1A. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cvičení "Matematika 2 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA02 a 101M2A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA02 a 101M2A. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu.
[1] J. Charvát, V. Kelar, Z. Šibrava: Matematika 2. Sbírka příkladů. Skripta ČVUT (2006, 2012).
Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.
[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Stochastické modely. Shoda dat se stochastickým modelem. Odhad parametrů modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou momentů. Intervaly spolehlivosti. Závislost a korelovanost. Test nezávislosti v kontingenční tabulce. Kovarianční matice a její rozklad. Jednoduchá lineární regrese. Regrese s více vysvětlujícími proměnnými. Bayesevské metody.
[1] Jarušková D.: Pravděpodobnost a matematická statistika, skripta ČVUT
[2] Jarušková D., Hála M: Pravděpodobnost a matematická statistika - příklady, skripta ČVUT
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996
This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996. Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995.,
[2] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie s důrazem na kosoúhlé promítání, zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich analytické vyjádření.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Přednáška sestává ze dvou hlavních tematických okruhů: (1) obyčejné diferenciální rovnice, dvojný a trojný integrál, křivkové integrály; (2) základy statistiky a pravděpodobnosti. Témata: (1a) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení. Konstrukce fundamentálního systému pro rovnici s konstantními koeficienty. Redukce řádu. Nehomogenní rovnice: variace konstant a metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty. Skalární součin funkcí na prostoru C([a, b]), ortogonalita funkcí. Formulace okrajové úlohy – příklady. Úloha u′′ + λu = f, u(0) = u(ℓ) = 0, její vlastní čísla a vlastní funkce. Ortogonalita vlastních funkcí odpovídajících různým vlastním číslům, řešitelnost úlohy v závislosti na λ. Další typy okrajových úloh. (1b) Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do (zobecněných) polárních souřadnic. Aplikace dvojného integrálu, příklady. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce v trojném integrálu do (zobecněných) sférických souřadnic a (zobecněných) cylindrických souřadnic. Aplikace trojného integrálu, příklady. Křivkový integrál prvního druhu a jeho aplikace. Křivkový integrál druhého druhu, Greenova věta. Potenciální pole, aplikace křivkového integrálu druhého druhu. Příklady na použití křivkových integrálů. (2) Popisná statistika jednoho souboru. Popisná statistika jednoho (boxplot, odlehlá pozorování) a dvou souborů. Popisná statistika dvourozměrného souboru, popisná lineární regrese. Pojem pravděpodobnosti, klasická definice pravděpodobnosti. Podmíněná pravděpodobnost, nezávislé jevy. Diskrétní náhodná proměnná, její charakteristiky. Binomické rozdělení. Spojité rozdělení. Charakteristiky spojité proměnné. Normální rozdělení. Aplikace normálního rozdělení. Statistická inference.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2007
[2] D. Jarušková: Pravděpodobnost a matematická statistika, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
[3] D. Jarušková, M. Hála: Pravděpodobnost a matematická statistika. Příklady, Česká technika - nakladatelství ČVUT, FSv, Praha 2011
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)
Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.
[1] S. Míka: Tenzorový počet, Skriptum ZČU Plzeň
Real functions of a real variable. Sequences, limits, convergence, divergence, the number e. Functions, properties, composite, inverse. Limits, continuity. Derivatives, differentials, applications. Local extremes, asymptotes. Global extremes. Taylor’s theorem. Linear algebra. Vector spaces, R2, R3, Rn. Matrices, operations. Systems of linear equations, solutions, solvability. Gaussian elimination. Matrix multiplication, inverse matrices, matrix equations. Determinants, Cramer’s rule. Analytic geometry. Straight lines. Planes. Equations, parametric representation. Relationships, deviations, distances. Products of vectors. Applications.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002
V předmětu 101XSM3 se studenti seznámí s praktickými numerickými výpočty, které doprovázejí problematiku obsaženou v předmětu MA3. Jde zejména o dvě oblasti: numerické řešení diferenciálních rovnic a numerický výpočet integrálu. Studenti si osvojí základní poznatky např. o metodě sítí pro řešení a pro hledání vlastních čísel okrajových úloh, vzorce Gaussova typu pro numerickou integraci. Pro realizaci všech probíraných metod a jejich grafické výstupy se bude používat prostředí Matlab nebo Scilab.
[1] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák, Základy informatiky - Počítačové modelování v MATLABu, Vydavatelství ČVUT, Praha 2005
Volitelný předmět 101XSM4 sleduje dva cíle: Prostřednictvím zejména numerického řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 4 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje MATLAB, případně Maple; (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA4. Předběžná znalost programování a softwaru MATLAB (Maple) není nutná. Seminář se bude zabývat různými tématy, např. komplexními čísly, vlastními čísly matic, řešením okrajových úloh pro obyčejné i parciální diferenciální rovnice metodou sítí (případně metodou konečných prvků), přibližným výpočtem vlastních čísel okrajových úloh, počátečními úlohami pro diferenciální rovnice aj. Značná pozornost bude věnována zobrazování výsledků.
[1] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
[2] J. Zelinka, J. Koláček: Jak pracovat s MATLABem, http://www.math.muni.cz/~kolacek/vyuka/vypsyst/navod.pdf
[3] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
Cílem předmětu je poskytnout studentům základní přehled možností a způsobů využití počítače během studia i při práci ve svém oboru. Důraz je kladen na modelování zadaných objektů i vlastních návrhů ve 3D a vizualizaci získaných modelů. Používanými nástroji jsou plošný 3D NURBS modelář Rhinoceros a matematický software Maple™.
[1] Rhinoceros: Manuál pro začátečníky
[2] Rhinoceros: Tutoriály
[3] Maple: Manuál pro začátečníky
Cílem předmětu je doplnění a upevnění základů stereometrie, které jsou nezbytné pro úspěšné zvládnutí nejen předmětu Konstruktivní geometrie, ale i geometrických aplikací v odborných předmětech. Výchozím bodem je prostorové řešení úlohy nezávisle na zobrazovací metodě. Prvotní vizualizace se provádí ve volném rovnoběžném promítání, které je užíváno při skicování. Těžištěm kurzu je Mongeovo promítání a jeho souvislost s počítačovým 3D modelováním. Kurz je ukončen ukázkami řešení klasických úloh deskriptivní geometrie metodami analytickými.
Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, F. Otto: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Verlag Ullstein, 1966., Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, FbVerlag Leipzig - Köln, 1995. http://mat.fsv.cvut.cz/cerny,
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Těžištěm modulu jsou stavební aplikace a jejich geometrický popis. Přitom je používána kromě klasických metod počítačová grafika. Předmět je určen pro studenty se základními znalostmi stereometrie a zobrazovacích metod a je vhodný pro ty, kteří ovládající základy práce s některým grafickým programem (např. CAD, Rhinoceros). Je alternativou povinného kurzu Konstruktivní geometrie.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie s důrazem na kosoúhlé promítání, zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich analytické vyjádření.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
Šroubové plochy – cyklické šroubové plochy. Rotační jednodílný hyperboloid – přímky plochy a jejich vlastnosti, zborcený čtyřúhelník a část plochy uvnitř, chladicí věž, zastřešení; vytváření sítí na ploše pomocí přímek, hyperbol, kružnic, šroubovic. Hyperbolický paraboloid – přímky plochy a jejich vlastnosti, síť přímek a síť parabol; různé segmenty plochy – zborcený čtyřúhelník, sedlo, spojování těchto prvků; rovnice HP ze zborceného čtyřúhelníku. Konoidy – ukázka zadání – přímý, šikmý; různé řídicí křivky – parabola, polokružnice, kružnice, šroubovice, jiná řídicí křivka; ukázky aplikací – zastřešení, přechodová plocha, ozdobné prvky. Oblouky – marseillský, montpellierský. Trúba – Štramberk, zobecnění plochy, plocha eliptického pohybu. Fréziérův cylindroid. Translační plochy – klenby, pruská placka × česká placka. Klínové plochy – souvislost s HP a translačními plochami. Osvětlení – osvětlení v perspektivě; technické osvětlení na půdorysnu; osvětlení dutin (nik); technické osvětlení na nárysnu.
[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Primitivní funkce a neurčitý integrál, základní metody integrace, per-partes, substituce. Racionální funkce a jejich integrace. Speciální substituce. Určitý integrál, nevlastní integrál a aplikace integrálů v geometrii a fyzice. Funkce více proměnných, vrstevnice, graf. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál a tečná nadrovina. Taylorův polynom 2. řádu. Lokální a globální extrémy funkce. Funkce zadaná implicitně, výpočet jejich derivací. Pojem diferenciální rovnice a jejího řešení. Cauchyova úloha. Rovnice se separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou. Lineární rovnice a variace konstanty. Exaktní rovnice.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
[2] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 2. Sbírka příkladů, skriptum ČVUT, 2006
[3] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I a II
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.
[1] K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996, M. Burša, G. Karský, J. Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia, 1993
Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.
Předmět Matematické metody ve fyzikální geodézii navazuje na znalosti plošného integrálu a integrálních vět z předmětu Matematika 3G a následně na Matematiku 4G, jako např. gradient, Laplaceův operátor, Fourierovy řady atd. Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus: Poruchový potenciál. Parciální diferenciální rovnice pro poruchový potenciál (základní rovnice geodetické gravimetrie). Stokesovo řešení tvaru geoidu. Tíhové redukce a tíhové anomálie. Kvazigeoid. Odlehlosti od geoidu a normálního elipsoidu. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy pro potenciál na ploše normálního elipsoidu. Použití metody konečných prvků pro nalezení potenciálu na elipsoidu a porovnání výsledků obou metod.
[1] [1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, San Francisco : W. H. Freeman, 1967, 364 s.
[2] [2] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
[3] [3] Meissl, P.: The use of finite elements in physical geodesy, Department of Geodetic Science and Surveying, The Ohio State University, USA, report No 313, 201s.
Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.
[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KOG a KGA1. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů. Předmět je vhodný jako teoretický základ pro zpracování semestrálního projektu v předmětu KOG2.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.
[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications
Cvičení "Matematika 21 - repetitorium G" je volitelným doplňkem předmětu MA2G. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat, případně doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětu MA2G. Účast je zcela dobrovolná, jedinou podmínkou pro získání zápočtu je zápis předmětu. Harmonogram 1. týden: Určitý Riemannův integrál. Integrovatelnost fce. Vlastnosti určitého integrálu. Tabulkové integrály. Racionální funkce. 2. týden: Metoda per partes a substituce. 3. týden: Parciální zlomky. 4. týden: Integrace racionální funkce. 5. týden: Nevlastní integrál. Aplikace integrálu. 6. týden: Vlastnosti funkcí dvou proměnných. 7. týden: Parciální derivování. 8. týden: Diferencály. Taylorův polynom. 9. týden: Implicitní funkce. 10. týden: Extrémy funkce. 11. týden: Diferenciální rovnice. Spádnice grafů funkce dvou proměnných. 12. týden: Numerické řešení diferenciálních rovnic.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.
[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Předmět je určen studentům a studentkám, které neodpuzuje matematika a programování a zajímá je, jak se matematické úlohy dají vyřešit moderním softwarem Maple, případně MATLAB. Přínos semináře není omezen Matematikou 2, neboť účastníci se seznámí se softwarem, jenž jim může posloužit i při zpracovávání tématu diplomové práce. Zaměření předmětu se poněkud liší od cvičení k MA 2. Sleduje dva cíle: Prostřednictvím softwarem podporovaného řešení úloh motivovaných tématy povinného předmětu Matematika 2 (101MA4) vést studující (a) k používání softwarového nástroje Maple (případně MATLAB); (b) k hlubšímu pochopení látky probírané v 101MA2 Předběžná znalost programování a softwaru Maple (MATLAB) není nutná.
[1] J. Hřebíček: Studijní materiály pro předmět IV019: Systémy počítačové algebry, http://www.fi.muni.cz/~hrebicek/maple/cas/
[2] A. Němeček: Matematika v MAPLE, http://math.feld.cvut.cz/nemecek/matvmap.html
[3] J. Novák, I. Pultarová, P. Novák: Základy informatiky – Počítačové modelování v MATLABu. Vydavatelství ČVUT, Praha 2005.
Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.
[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.
V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.
[1] Novák J., Pultarová I., Novák P.: Základy informatiky (počítačové modelování v Matlabu). An introduction to R (Notes on R, Programming Environment for Data Analysis and Graphics).
Těžištěm modulu jsou stavební aplikace a jejich geometrický popis. Přitom je používána kromě klasických metod počítačová grafika. Předmět je určen pro studenty se základními znalostmi stereometrie a zobrazovacích metod a je vhodný pro ty, kteří ovládající základy práce s některým grafickým programem (např. CAD, Rhinoceros). Je alternativou povinného kurzu Konstruktivní geometrie.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
Geometry belongs between the main communication mediums; namely, graphical representation obtained by precise geometric rules. The course is focused on selected methods of graphical representation and overview of space objects important for examining the properties of objects in related professional courses.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996
[2] Architectural Geometry; Helmut Pottmann, Andreas Asperl, Michael Hofer, Axel Kilian; Bentey Institute Press, 2007
[3] Descriptive Geometry, E.G. Pare, R.O.Loving, I.L.Hill, R.C.Pare, Prentice Hall, 1996
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie s důrazem na kosoúhlé promítání, zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich analytické vyjádření.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Funkce jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita, konvergence, divergence. Funkce, vlastnosti, elementární funkce, inverzní, složené. Limita, spojitost. Derivace, diferenciály, aplikace. Lokální extrémy, asymptoty. Globální extrémy. Taylorova věta. Lineární algebra. Vektorové prostory, R2 , R3 , Rn. Matice, operace s maticemi, inverzní matice, maticové rovnice. Soustavy lineárních rovnic, řešení a řešitelnost. Gaussův eliminační algoritmus. Determinanty, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie. Přímky. Roviny. Rovnice, parametrické vyjádření. Řešení polohových úloh, odchylky, vzdálenosti. Součiny vektorů. Aplikace.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)
Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.
[1] S. Míka: Tenzorový počet, Skriptum ZČU Plzeň
Real functions of a real variable. Sequences, limits, convergence, divergence, the number e. Functions, properties, composite, inverse. Limits, continuity. Derivatives, differentials, applications. Local extremes, asymptotes. Global extremes. Taylor’s theorem. Linear algebra. Vector spaces, R2, R3, Rn. Matrices, operations. Systems of linear equations, solutions, solvability. Gaussian elimination. Matrix multiplication, inverse matrices, matrix equations. Determinants, Cramer’s rule. Analytic geometry. Straight lines. Planes. Equations, parametric representation. Relationships, deviations, distances. Products of vectors. Applications.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
[2] Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT (CTU Publishing House), Prague 2010
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Spolehlivost konstrukce je ovlivněna náhodnými vlastnostmi jejích prvků a zatížení. Student se proto nejprve seznámí se základními pojmy, jako pravděpodobnost výskytu náhodných jevů, náhodné veličiny a jejich základní stochastické vlastnosti (střední hodnota, rozptyl) a pravděpodobnostní rozdělení pro modelování stochastického chování veličin. Osvojí si i pojem závislosti a nezávislosti jevů i veličin a základy modelování této závislosti, dále podstatu podmíněné a úplné pravděpodobnosti, Bayesův teorem a Morganovu větu. Na základě těchto poznatků se seznámí se základními pojmy teorie spolehlivosti, jako spolehlivost, životnost, index a stupeň spolehlivosti, zvládne jednoduché spolehlivostní modely a naučí se jednoduché analytické metody typu FORM a SORM, jakož i základy simulace náhodných jevů metodou Monte Carlo.
[1] Holický Milan, Marková Jana: Základy teorie spolehlivosti a hodnocení rizik, skripta ČVUT
[2] Jarušková Daniela: Pravděpodobnost a matematická statistika , skripta ČVUT
[3] Hála Martin, Jarušková Daniela:Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, skripta ČVUT
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Předmět je věnován praktickému použití matematické statistiky. Hlavní náplní jsou případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Předmět připravuje studenty na řešení aplikovaných úloh v předmětu Fyzikální geodézie. Seznamuje s numerickým řešením zadaných úloh a zavádí pro studenty oboru Geodézie a kartografie jiné metody, např. metodu konečných prvků. Sylabus předmětu: Laplaceova rovnice pro gravitační potenciál a její řešení. Gradient a Laplaceův operátor ve sférických souřadnicích. Sférické a kulové funkce. Stokesovy koeficienty. Stokesův teorém. Řešení 1., 2. a 3. vnější okrajové úlohy teorie potenciálu na jednotkové sféře. Slabé řešení, základy metody konečných prvků, bázové funkce, formulace diskretizované úlohy. Aplikace metody konečných prvků na výpočet potenciálu. Tíhový potenciál, tíhové zrychlení. Laplaceův operátor v elipsoidálních souřadnicích. Hladinový rotační elipsoid jakožto hladinová plocha normálního tíhového pole Země.
[1] Heiskanen, W.A., Moritz, H.: Physical geodesy, W. H. Freeman, San Francisco, 1967, 364 s.
[2] Nádeník, Z.: Kulové funkce pro geodézii, VÚGTK Zdiby, 2008, 130 s.
[3] Kočandrlová, M.: Geo-matematika II, skripta FSv ČVUT v Praze, 2008, 179 s.
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice.). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Cílem předmětu je doplnit základní znalosti a procvičit témata probíraná v základním kurzu Konstruktivní geometrie (Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky, jejich rovnice a zobrazení. Křivky, výpočet křivostí). Obsah je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2010
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Jedná se o opakování vybraných partií učiva MA1G popř. středoškolské matematiky.
[1] M. Kočandrlová, J. Černý: Geo-Matematika I, Skriptum ČVUT, 2007
Cvičení "Matematika 1 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA01 a 101M1A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA01 a 101M1A.
[1] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Sbírka příkladů. Skriptum ČVUT, 2005, 2009.
Cvičení "Matematika 3 - repetitorium" je volitelným doplňkem předmětů 101MA3 a 101M3A. Jeho účelem je pomáhat studentům, kteří potřebují látku z těchto předmětů zopakovat nebo doplnit, nenahrazuje však jejich základní výuku. Má formu přednášky: jsou na něm předváděna podrobně komentovaná řešení úloh z vybraných partií z předmětů 101MA3 a 101M3A.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II, Vydavatelství ČVUT, 2002
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, F. Otto: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Verlag Ullstein, 1966., Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, FbVerlag Leipzig - Köln, 1995. http://mat.fsv.cvut.cz/cerny,
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Těžištěm modulu jsou stavební aplikace a jejich geometrický popis. Přitom je používána kromě klasických metod počítačová grafika. Předmět je určen pro studenty se základními znalostmi stereometrie a zobrazovacích metod a je vhodný pro ty, kteří ovládající základy práce s některým grafickým programem (např. CAD, Rhinoceros). Je alternativou povinného kurzu Konstruktivní geometrie.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň
Předmět je určen studentům, kteří mají zájem o využítí počítačů na řešení technických problémů. Doplňuje a rozšiřuje výuku předmětu matematika o možnost realizace teoretických postupů na počítači. Maticové operace, řešení soustav rovnic, řešení nelineárních rovnic, práce s daty, 2D a 3D grafika. Problémy z oblasti aplikované matematiky směrované na řešení technických problémů, finanční matematiky. Používaný software Matlab, MS Excel, ukázkově grafický software, MS Visual Studio. Seznámení se studentskými softwarovými licenčními možnostmi. Průběžná kontrola porozumění látce. Na předmět ve druhém ročníku navazují nepovinné předměty Matematický seminář 101XMS3 a 101XMS4.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie s důrazem na kosoúhlé promítání, zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich analytické vyjádření.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
Principy geometrického osvětlení: Osvětlení v promítacích metodách, osvětlení dutin. Technické osvětlení na vodorovnou a svislou rovinu. Osvětlení architektonických prvků a osvětlení interieru. Plochy: Vytvořující principy vybraných ploch architektonické praxe. Prostředky modelování křivek a ploch v softwarech. Semestrální projekt – komplexní geometrický návrh kompozice.
[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Posloupnosti funkcí a funkční řady. Konvergence a operace s řadami. Mocninné řady, asymptotický rozvoj. Fourierova trigonometrická řada. Aplikace řad. Lineární operátor, transformace v rovině a prostoru. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru. Bilineární a kvadratická forma. Transformace obecné rovnice kuželosečky na kanonický tvar.
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus Praha, 2000.
Numerické řešení algebraické rovnice pro jednu neznámou. Metoda půlení intervalu a metoda sečen, Newtonova metoda. Iterační metoda prostá a třetího řádu. Řešení Keplerovy rovnice. Maticový počet a řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (opakování).Blokové matice. Normy a podmíněnost matice. Iterační metody řešení soustav. Jacobiova, Gaussova-Seidelova, gradientní metoda. Porovnání rychlosti konvergence řešení soustav. Vlastní čísla symetrických matic. Úplný a částečný problém vlastních čísel. Mocninná metoda pro extremální vlastní číslo. Interpolace a aproximace funkce jedné proměnné. Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom (opakování). Kubická spline-funkce. Aproximace spline-funkcí. Interpolační křivky. Fergusonova a Bézierova kubika, B-spline křivka.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.
[1] K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996, M. Burša, G. Karský, J. Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia, 1993
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné: Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Vyšetřování globálních extrémů na kompaktních intervalech, slovní úlohy. Taylorova věta, Taylorův polynom a jeho použití. Lineární algebra a aplikace: Vektorové prostory R^2, R^3, R^n, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostory. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru: Základní vlastnosti geometrických vektorů. Rovnice roviny a přímky a vyjádření přímky jako průsečnice dvou rovin. Řešení polohových úloh přímek a rovin, úlohy na odchylky rovin, přímek, analytické metody při řešení geometrických problémů v prostoru.
[1] Bubeník F., Zindulka O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005.
[2] Charvát J., Kelar V., Šibrava Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet: Základní metody výpočtu neurčitého integrálu: Metoda per partes, substituce. Integrování racionální funkce. Vybrané speciální substituce. Základní metody výpočtu určitého integrálu: Newtonův-Leibnizův vzorec, metoda per partes, substituce. Výpočet nevlastního integrálu pomocí definice. Aplikace: Obsah rovinného obrazce, objem rotačního tělesa, délka grafu funkce, statické momenty a těžiště rovinného obrazce. Funkce více proměnných: Určování definičního oboru funkce a pro funkci dvou proměnných také vrstevnic a grafu. Výpočet parciálních derivací (i vyšších řádů). Derivace v orientovaném směru. Totální diferenciál. Implicitní funkce daná rovnicí ƒ(x,y)=0 (ƒ je funkce dvou proměnných). Derivace implicitně dané funkce. Sestavení rovnice tečny a normály rovinné křivky a tečné roviny a normály (prostorové) plochy. Extrémy funkce v R2: lokální, lokální vzhledem k množině, globální na množině. Diferenciální rovnice: Řešení diferenciálních rovnic (též Cauchyovy úlohy) se separovanými proměnnými, lineárních 1. řádu (variace konstanty), exaktních.
[1] Bubeník F.: Matematika 2, skriptum, Vydavatelství ČVUT, Praha 2006
Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty, počáteční úloha. Homogenní rovnice: fundamentální systém, obecné řešení, příklady. Nehomogenní rovnice: metoda speciální pravé strany pro rovnici s konstantními koeficienty, příklady. Vlastní čísla a odpovídající vlastní funkce okrajové úlohy. Ortogonalita vlastních funkcí příslušných různým vlastním číslům. Řešitelnost úlohy v závislosti na parametru. Dvojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do polárních souřadnic, aplikace. Trojný integrál: Fubiniova věta, věta o substituci, substituce do sférických souřadnic, aplikace. Křivkový integrál prvního druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, 2007
[2] Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004
[3] http://www.mat.fsv.cvut.cz/BAKALARI/m3a/
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.
Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.
[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KOG a KGA1. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů. Předmět je vhodný jako teoretický základ pro zpracování semestrálního projektu v předmětu KOG2.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.
[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications
Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.
[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.
[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.
V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.
[1] Novák J., Pultarová I., Novák P.: Základy informatiky (počítačové modelování v Matlabu). An introduction to R (Notes on R, Programming Environment for Data Analysis and Graphics).
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
Předmět je určen studentům, kteří mají zájem o využítí počítačů na řešení technických problémů. Doplňuje a rozšiřuje výuku předmětu matematika o možnost realizace teoretických postupů na počítači. Maticové operace, řešení soustav rovnic, řešení nelineárních rovnic, práce s daty, 2D a 3D grafika. Problémy z oblasti aplikované matematiky směrované na řešení technických problémů, finanční matematiky. Používaný software Matlab, MS Excel, ukázkově grafický software, MS Visual Studio. Seznámení se studentskými softwarovými licenčními možnostmi. Průběžná kontrola porozumění látce. Na předmět ve druhém ročníku navazují nepovinné předměty Matematický seminář 101XMS3 a 101XMS4.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace
[1] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, 1976.
[3] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky. Prométheus, 2003.
This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996. Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995.,
[2] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)
Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.
[1] S. Míka: Tenzorový počet, Skriptum ZČU Plzeň
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, F. Otto: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Verlag Ullstein, 1966., Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, FbVerlag Leipzig - Köln, 1995. http://mat.fsv.cvut.cz/cerny,
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň
Předmět je určen studentům, kteří mají zájem o využítí počítačů na řešení technických problémů. Doplňuje a rozšiřuje výuku předmětu matematika o možnost realizace teoretických postupů na počítači. Maticové operace, řešení soustav rovnic, řešení nelineárních rovnic, práce s daty, 2D a 3D grafika. Problémy z oblasti aplikované matematiky směrované na řešení technických problémů, finanční matematiky. Používaný software Matlab, MS Excel, ukázkově grafický software, MS Visual Studio. Seznámení se studentskými softwarovými licenčními možnostmi. Průběžná kontrola porozumění látce. Na předmět ve druhém ročníku navazují nepovinné předměty Matematický seminář 101XMS3 a 101XMS4.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
Principy geometrického osvětlení: Osvětlení v promítacích metodách, osvětlení dutin. Technické osvětlení na vodorovnou a svislou rovinu. Osvětlení architektonických prvků a osvětlení interieru. Plochy: Vytvořující principy vybraných ploch architektonické praxe. Prostředky modelování křivek a ploch v softwarech. Semestrální projekt – komplexní geometrický návrh kompozice.
[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Posloupnosti funkcí a funkční řady. Konvergence a operace s řadami. Mocninné řady, asymptotický rozvoj. Fourierova trigonometrická řada. Aplikace řad. Lineární operátor, transformace v rovině a prostoru. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru. Bilineární a kvadratická forma. Transformace obecné rovnice kuželosečky na kanonický tvar.
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus Praha, 2000.
Numerické řešení algebraické rovnice pro jednu neznámou. Metoda půlení intervalu a metoda sečen, Newtonova metoda. Iterační metoda prostá a třetího řádu. Řešení Keplerovy rovnice. Maticový počet a řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (opakování).Blokové matice. Normy a podmíněnost matice. Iterační metody řešení soustav. Jacobiova, Gaussova-Seidelova, gradientní metoda. Porovnání rychlosti konvergence řešení soustav. Vlastní čísla symetrických matic. Úplný a částečný problém vlastních čísel. Mocninná metoda pro extremální vlastní číslo. Interpolace a aproximace funkce jedné proměnné. Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom (opakování). Kubická spline-funkce. Aproximace spline-funkcí. Interpolační křivky. Fergusonova a Bézierova kubika, B-spline křivka.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.
Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.
[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KOG a KGA1. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů. Předmět je vhodný jako teoretický základ pro zpracování semestrálního projektu v předmětu KOG2.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.
[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications
Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.
[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977
Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 2.
[1] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT.
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.
[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.
V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.
[1] Novák J., Pultarová I., Novák P.: Základy informatiky (počítačové modelování v Matlabu). An introduction to R (Notes on R, Programming Environment for Data Analysis and Graphics).
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
Předmět je určen studentům, kteří mají zájem o využítí počítačů na řešení technických problémů. Doplňuje a rozšiřuje výuku předmětu matematika o možnost realizace teoretických postupů na počítači. Maticové operace, řešení soustav rovnic, řešení nelineárních rovnic, práce s daty, 2D a 3D grafika. Problémy z oblasti aplikované matematiky směrované na řešení technických problémů, finanční matematiky. Používaný software Matlab, MS Excel, ukázkově grafický software, MS Visual Studio. Seznámení se studentskými softwarovými licenčními možnostmi. Průběžná kontrola porozumění látce. Na předmět ve druhém ročníku navazují nepovinné předměty Matematický seminář 101XMS3 a 101XMS4.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace
[1] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, 1976.
[3] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky. Prométheus, 2003.
This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996. Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995.,
[2] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)
Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e
[1] J. Jirásko: Matematika 35 - Matematická logika, ČVUT, 1997., J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984., A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001.
Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.
[1] S. Míka: Tenzorový počet, Skriptum ZČU Plzeň
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Analýza citlivosti – zkoumání reakce sledované veličiny na změnu vstupních parametrů matematického modelu. Analýza citlivosti u jednoduchých úloh stavební mechaniky. Aplikace v optimalizaci, identifikaci parametrů a v úlohách s nejistými vstupními daty. Matlab – nástroj pro počítačové modelování. Studenti budou numericky řešit aplikačně zaměřené problémy v prostředí Matlab, jeho předběžná znalost není podmínkou.
Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice. Křivky, výpočet křivostí.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 1.
[1] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Plocha jako graf funkce dvou promněných, tělesa definovaná implicitně, kvadriky, transformace souřadnic a jejich využití pro výpočet dvojných a trojných integrálů. Rovinné a prostorové křivky. Křivkové integrály prvního a druhého druhu. Aplikace vícenásobných a křivkových integrálů.,
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. ,
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, F. Otto: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Verlag Ullstein, 1966., Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, FbVerlag Leipzig - Köln, 1995. http://mat.fsv.cvut.cz/cerny,
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
Ortogonální systémy funkcí, Fourierova řada. Systémy Legendreových a sférických funkcí. Řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích. Fourierova řada pro gravitační potenciál.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
[1] Heinbockel J.H.: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, ISBN 1-55369-133-4, Trafford
Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň
Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Plochy, výtvarné zákony ploch, geometrické vlastnosti. Zobrazení ploch v konstrukcích, přechodové plochy, prutové konstrukce. Osvětlení, technické na půdorysnu a nárysnu, osvětlení v perspektivě. Doplňková témata, průniky ploch (těles), klenby, střechy, zlatý řez, technické křivky.
[1] Černý J, Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, monografie FSv, 2004.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání a zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich anylytické vyjádření.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000
Principy geometrického osvětlení: Osvětlení v promítacích metodách, osvětlení dutin. Technické osvětlení na vodorovnou a svislou rovinu. Osvětlení architektonických prvků a osvětlení interieru. Plochy: Vytvořující principy vybraných ploch architektonické praxe. Prostředky modelování křivek a ploch v softwarech. Semestrální projekt – komplexní geometrický návrh kompozice.
[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne, E., Klix, W., D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.
Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Posloupnosti funkcí a funkční řady. Konvergence a operace s řadami. Mocninné řady, asymptotický rozvoj. Fourierova trigonometrická řada. Aplikace řad. Lineární operátor, transformace v rovině a prostoru. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru. Bilineární a kvadratická forma. Transformace obecné rovnice kuželosečky na kanonický tvar.
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus Praha, 2000.
Numerické řešení algebraické rovnice pro jednu neznámou. Metoda půlení intervalu a metoda sečen, Newtonova metoda. Iterační metoda prostá a třetího řádu. Řešení Keplerovy rovnice. Maticový počet a řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (opakování).Blokové matice. Normy a podmíněnost matice. Iterační metody řešení soustav. Jacobiova, Gaussova-Seidelova, gradientní metoda. Porovnání rychlosti konvergence řešení soustav. Vlastní čísla symetrických matic. Úplný a částečný problém vlastních čísel. Mocninná metoda pro extremální vlastní číslo. Interpolace a aproximace funkce jedné proměnné. Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom (opakování). Kubická spline-funkce. Aproximace spline-funkcí. Interpolační křivky. Fergusonova a Bézierova kubika, B-spline křivka.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.
[1] K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996, M. Burša, G. Karský, J. Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia, 1993
Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.
Antické vlivy na vývoj matematiky. Arabská matematika a zapomenuté znalosti. Úlohy čínské matematiky. Pyramidy, kalendář a matematické umění mayské kultury. Renesanční umění a matematika, počátky perspektivy, vývoj numerace. Cardano a řešení rovnic a jejich soustav (determinanty, matice, Gaussova eliminační metoda). Svět fyziky a matematika, počátky variačních principů, Keplerova rovnice, Keplerovy zákony. Vznik diferenciálního a integrálního počtu a l'Hospitalův Kurs analýzy. Analytická geometrie roviny a prostoru. Fermat a praktické aplikace teorie čísel. Matematický model pražského orloje. Od měření kruhu k číslu pi a přibližným výpočtům. Použití matematiky v architektuře. Literatura k jednotlivým tématům bude uvedena v přednáškách.
[1] Kline, M.: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford, 1990.
[2] Dieudonné, J.: Geschichte der Mathematik, 1700-1900, DVW, Berlin, 1985
[3] The Inter-IREM Commission: History of Mathematics - Histories of Problems, Ellipses, Paris, 1997
Algoritmy pro aritmetické operace. Sumerské dělení, operace na čínském abaku. Číselné soustavy. Dvojková a počítačová aritmetika. Optimalizace výpočtů. Metoda "Regula falsi" - řešení rovnic a jejich soustav. Operace s maticemi, magickými ctverci. Eukleidův algoritmus a jeho aplikace - ekvivalence racionálních čísel - Bezoutova identita, řetězové zlomky, Eulerovo vyjádření čísla e, počet kořenů rovnice, Sturmova věta, Od měření kruhu k výpočtu pi, geometrické a analytické přístupy, použití řad. Řešení rovnic postupnými aproximacemi - Metoda Herona z Alexandrie, metoda Theona z Alexandrie, středověké binomické algoritmy. Numerická řešení rovnic - tabulky Al Tusiho, Vietova metoda, Keplerova rovnice, Bernoulliova metoda rekurentních řad, aproximace řetězovými zlomky. Horner aneb transformace polynomických rovnic. Algoritmy v teorii čísel - Eratosthenovo síto, Kriteria dělitelnosti, kvadratická residua, testy prvočíselnosti, Fermat a faktorizační algoritmy. Řešení soustav rovnic. Aproximace kvadratur. Aproximace řešení diferenciálních rovnic. Rychlost konvergence. Pro četné příklady bude využit software Mathematica.
[1] Bressoud, D., Wagon S.: A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing, Springer, New York, 2000,
[2] Chabert, J. L. et al. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip, Springer, Berlin Heidelberg, 1999.
Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.
[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994
Volitelný předmět navazující na povinné předměty KOG a KGA1. Hlavní témata: spojení geometrického způsobu vytvoření křivek a ploch s jejich matematickým popisem, odvození parametrického popisu rotačních, šroubových, translačních a klínových ploch vhodného pro modelování v grafickém software, např. Matlab, Mathematica, Maple, geometrický pohledu na některé návrhy a stavby význačných architektů, geometrie designu užitkových předmětů. Předmět je vhodný jako teoretický základ pro zpracování semestrálního projektu v předmětu KOG2.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[2] Černý, J.: Konstruktivní geometrie - Křivky a plochy se softwarem Mathematica, doplňkové skriptum ČVUT, 1999
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.
[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications
[2] Jozef Bobok: Texty k přednášce, 2007.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Je vhodnější pro studenty zapsat si tento předmět jako YMCD, který je stejný a jsou z něho navíc započítány dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.
[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha, 1999.
Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 2.
[1] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT.
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.
[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.
V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.
[1] Novák J., Pultarová I., Novák P.: Základy informatiky (počítačové modelování v Matlabu). An introduction to R (Notes on R, Programming Environment for Data Analysis and Graphics).
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Tenzorový počet: Definice a příklady tenzorů. Tenzorová algebra a analýza. Tenzory v křivočarých souřadnicích. Aplikace tenzorů v mechanice bodů a těles.
[1] Rektorys K. : Variační metody v inženýrských problémech, Academia 1999
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace
[1] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, 1976.
[3] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky. Prométheus, 2003.
This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996. Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995.,
[2] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)
Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e
[1] J. Jirásko: Matematika 35 - Matematická logika, ČVUT, 1997., J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984., A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001.
Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.
[1] S. Míka: Tenzorový počet, Skriptum ZČU Plzeň
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Analýza citlivosti – zkoumání reakce sledované veličiny na změnu vstupních parametrů matematického modelu. Analýza citlivosti u jednoduchých úloh stavební mechaniky. Aplikace v optimalizaci, identifikaci parametrů a v úlohách s nejistými vstupními daty. Matlab – nástroj pro počítačové modelování. Studenti budou numericky řešit aplikačně zaměřené problémy v prostředí Matlab, jeho předběžná znalost není podmínkou.
Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice. Křivky, výpočet křivostí.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 1.
[1] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Plocha jako graf funkce dvou promněných, tělesa definovaná implicitně, kvadriky, transformace souřadnic a jejich využití pro výpočet dvojných a trojných integrálů. Rovinné a prostorové křivky. Křivkové integrály prvního a druhého druhu. Aplikace vícenásobných a křivkových integrálů.,
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. ,
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, F. Otto: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Verlag Ullstein, 1966., Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, FbVerlag Leipzig - Köln, 1995. http://mat.fsv.cvut.cz/cerny,
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
Ortogonální systémy funkcí, Fourierova řada. Systémy Legendreových a sférických funkcí. Řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích. Fourierova řada pro gravitační potenciál.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
[1] Heinbockel J.H.: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, ISBN 1-55369-133-4, Trafford
Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň
Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Plochy, výtvarné zákony ploch, geometrické vlastnosti. Zobrazení ploch v konstrukcích, přechodové plochy, prutové konstrukce. Osvětlení, technické na půdorysnu a nárysnu, osvětlení v perspektivě. Doplňková témata, průniky ploch (těles), klenby, střechy, zlatý řez, technické křivky.
[1] Černý J, Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, monografie FSv, 2004.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie a zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich anylytické vyjádření.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000
Integral calculus of one real variable. Primitive functions (antiderivatives), indefinite integral, methods of integration, per partes (by parts), substitutions, integration of rational functions, selected special substitutions. Definite integral, per partes, substitutions. Improper integrals, calculation, convergence and divergence. Selected applications in geometry and physics. Functions of more variables. Domains of definition, level curves, graphs, partial derivatives, directional derivatives, total differentials, implicit functions, derivatives and partial derivatives of implicit functions. Tangents and normals to graphs of curves, tangent planes and normals to graphs of surfaces. Extremal problems, local, constrained, global. Ordinary differential equations. Separation of variables, homogenneous differential equations of the 1st order, linear differential equations of the 1st order, exact. Cauchy problems.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000. Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Posloupnosti funkcí a funkční řady. Konvergence a operace s řadami. Mocninné řady, asymptotický rozvoj. Fourierova trigonometrická řada. Aplikace řad. Lineární operátor, transformace v rovině a prostoru. Vlastní čísla a vlastní vektory operátoru. Bilineární a kvadratická forma. Transformace obecné rovnice kuželosečky na kanonický tvar.
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus Praha, 2000.
Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e
[1] J. Jirásko: Matematika 35 - Matematická logika, ČVUT, 1997., J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984., A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001.
Numerické řešení algebraické rovnice pro jednu neznámou. Metoda půlení intervalu a metoda sečen, Newtonova metoda. Iterační metoda prostá a třetího řádu. Řešení Keplerovy rovnice. Maticový počet a řešení soustavy lineárních algebraických rovnic (opakování).Blokové matice. Normy a podmíněnost matice. Iterační metody řešení soustav. Jacobiova, Gaussova-Seidelova, gradientní metoda. Porovnání rychlosti konvergence řešení soustav. Vlastní čísla symetrických matic. Úplný a částečný problém vlastních čísel. Mocninná metoda pro extremální vlastní číslo. Interpolace a aproximace funkce jedné proměnné. Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom (opakování). Kubická spline-funkce. Aproximace spline-funkcí. Interpolační křivky. Fergusonova a Bézierova kubika, B-spline křivka.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Je povinně volitelný předmět 6. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předmět T1. Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty. Pohybové rovnice hmotného bodu a soustavy hmotných bodů.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Je povinně volitelný předmět 8. semestru pro profesní zaměření Teoretická geodézie. Volně navazuje na předměta T1, T2, T3. Reálná funkce jedné komplexní proměnné. Vlastnosti množiny komplexních čísel. Vlastnosti funkce jedné komplexní proměnné. Derivování a integrace funkce. Řady.
[1] K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996, M. Burša, G. Karský, J. Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia, 1993
Kurz je koncepčně založen na znalostech vybraných problémů studia geodézie na FSv ČVUT v Praze. Základy maticového počtu. Soustavy lineárních algebraických rovnic. Nelineární rovnice a jejich soustavy. Metody řešení algebraických úloh. Numerické metody a realizace modelů na počítači. Analýza modelových úloh a jejich počítačové zpracování.
Tento předmět navazuje na předmět Statistika(STG) vyučovaný v zimním semestru. Pomocí statistických metod a programování v R-projectu bude každý student řešit rozsáhlejší problém z oblasti geodézie, matematiky, pravděpodobnosti, zpracování dat aj.
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
This subject follows the subject Statistics, which is taught in a winter semester. Every student will solve a larger problem from geodesy,mathematics, probability,data processing and so on, using statistical methods and software R-project.
Aproximace funkce,její užití k některým numerickým výpočtům. Úvod do vektorové analýzy. Funkce gradient, divergence, rotace a jejich skládání. Počítání s tenzory. Tenzorové pole. Konstruování matematických modelů některých úloh stavební praxe.
Antické vlivy na vývoj matematiky. Arabská matematika a zapomenuté znalosti. Úlohy čínské matematiky. Pyramidy, kalendář a matematické umění mayské kultury. Renesanční umění a matematika, počátky perspektivy, vývoj numerace. Cardano a řešení rovnic a jejich soustav (determinanty, matice, Gaussova eliminační metoda). Svět fyziky a matematika, počátky variačních principů, Keplerova rovnice, Keplerovy zákony. Vznik diferenciálního a integrálního počtu a l'Hospitalův Kurs analýzy. Analytická geometrie roviny a prostoru. Fermat a praktické aplikace teorie čísel. Matematický model pražského orloje. Od měření kruhu k číslu pi a přibližným výpočtům. Použití matematiky v architektuře. Literatura k jednotlivým tématům bude uvedena v přednáškách.
[1] Kline, M.: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, Oxford, 1990.
[2] Dieudonné, J.: Geschichte der Mathematik, 1700-1900, DVW, Berlin, 1985
[3] The Inter-IREM Commission: History of Mathematics - Histories of Problems, Ellipses, Paris, 1997
Algoritmy pro aritmetické operace. Sumerské dělení, operace na čínském abaku. Číselné soustavy. Dvojková a počítačová aritmetika. Optimalizace výpočtů. Metoda "Regula falsi" - řešení rovnic a jejich soustav. Operace s maticemi, magickými ctverci. Eukleidův algoritmus a jeho aplikace - ekvivalence racionálních čísel - Bezoutova identita, řetězové zlomky, Eulerovo vyjádření čísla e, počet kořenů rovnice, Sturmova věta, Od měření kruhu k výpočtu pi, geometrické a analytické přístupy, použití řad. Řešení rovnic postupnými aproximacemi - Metoda Herona z Alexandrie, metoda Theona z Alexandrie, středověké binomické algoritmy. Numerická řešení rovnic - tabulky Al Tusiho, Vietova metoda, Keplerova rovnice, Bernoulliova metoda rekurentních řad, aproximace řetězovými zlomky. Horner aneb transformace polynomických rovnic. Algoritmy v teorii čísel - Eratosthenovo síto, Kriteria dělitelnosti, kvadratická residua, testy prvočíselnosti, Fermat a faktorizační algoritmy. Řešení soustav rovnic. Aproximace kvadratur. Aproximace řešení diferenciálních rovnic. Rychlost konvergence. Pro četné příklady bude využit software Mathematica.
[1] Bressoud, D., Wagon S.: A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing, Springer, New York, 2000,
[2] Chabert, J. L. et al. A History of Algorithms: From the Pebble to the Microchip, Springer, Berlin Heidelberg, 1999.
Cílem předmětu je úvod do studia Grobnerových bazí, algoritmů jejich výpočtů a jejich aplikací.
[1] W.W.Adams, P.Loustaunau, An Introduction to Grobner Bases, Amer.Math.Soc.,Providence R.I., 1994
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Ročník/semestr: 3. a 4. ročník b.s. a 1. ročník m.s./letní semestr Rozsah: 2+0 Ukončení: z Cílem předmětu je seznámit studenty s vybranými pojmy kvalitativní teorie dynamických systémů s důrazem na ilustraci pomocí příladů. 1. Spojité dynamické systémy: fázový prostor a atraktory, pevné body a linearizace, vztah lineárních a nelineárních systémů, Ljapunovovy exponenty a složitost chování systému, popis typů atraktorů, rekonstrukce atraktoru z časových řad, bifurkace v dynamických systémech. 2. Diskrétní dynamické systémy: úvodní příklady, 1-rozměrné a vícerozměrné systémy, fraktální množiny, fraktální dimenze, Smaleova podkova, různé definice chaosu, entropie.
[1] Tomasz Kapitaniak: Chaos for Engineers - Theory, Applications
[2] Jozef Bobok: Texty k přednášce, 2007.
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Je vhodnější pro studenty zapsat si tento předmět jako YMCD, který je stejný a jsou z něho navíc započítány dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Jedná se o pokračování povinné matematiky pro magistry, kde se řeší eliptická rovnice s nulou na hranici oblasti. V tomto kurzu by se hledala slabá řešení problémů se zadanou funkcí na hranici. Podstanou roli hraje věta o stopách Sobolevových prostorů. Podle času bychom řešili i problémy s Neumannovou podmínkou na hranici oblasti.
[1] A. Kufner, S. Fučík and O. John, Function spaces, Noordhoff, Leyden; Academia, Prague, 1977
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha, 1999.
Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 2.
[1] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT.
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Základní numerické metody a postupy spojené s řešením diferenciálních rovnic obyčejných i parciálních se zaměřením na stavební mechaniku, evoluční diferenciální rovnice (rovnice vedení tepla, sálání tepla apod.). Základní metody řešení soustav lineárních rovnic včetně problematiky vlastních čísel. Řešení nelineárních rovnic. Využití dostupných numerických knihoven.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976
[2] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody, ČVUT
Základy programovacího jazyka C/C++ a C# v prostředí .NET i (nativním) WIN32 prostředí aktuálních verzí Windows s efektivním využitím systémových možností, základy objektového programování, implementace základních numerických metod včetně možnosti využití dostupných knihoven, základy 2D a 3D grafiky (Direct2D, Direct 3D, WPF), paralelní a distribuované programování, práce s daty.
[1] Charles Petzold: 3D Programming for Windows, Microsoft Press 2007
[2] Charles Petzold: Applications = Code + Markup: A Guide to the Microsoft Windows Presentation Foundation, Microsoft Press 2007
[3] Mark Russinovich, David A. Solomon: Windows® Internals: Including Windows Server 2008 and Windows Vista, Microsoft Press 2009
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Cílem přednášky je provést posluchače světem fraktální geometrie. Mimo jiné je kladen důraz na estetické aspekty fraktálů. Těmata: Struktury s opakujícím se geometrickým schématem, samopodobné množiny. Cantorova množina, Sierpinského těsnění, Kochův ostrov, Mengerova houba. Iterované funkční systémy, Hutchinsonův operátor. Kódování a komprese obrazu, věta o koláži. Fraktální dimenze. Chaotická hra. Juliovy množiny, Mandelbrotova množina. Fraktály v kosmologii a biologii.
[1] Peitgen, Jurgens, Saupe: Chaos and Fractals - New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.
V tomto předmětu se studenti seznámí se základy statistického modelování, předmět je vhodný hlavně pro ty, kteří plánují v bakalářské práci zpracovávat větší množství naměřených dat.
[1] Novák J., Pultarová I., Novák P.: Základy informatiky (počítačové modelování v Matlabu). An introduction to R (Notes on R, Programming Environment for Data Analysis and Graphics).
Předmět je věnován metodě velmi univerzální a účinné k řešení problémů obsahujících čas, tzv. evolučních problémů, zejména parciálních diferenciálních rovnic s časovou proměnnou. Tato metoda představuje moderní přístup k modelování a řešení inženýrských úloh. Tyto úlohy, lineární i nelineární, modelují děje v mnoha inženýrských oblastech, např. vedení tepla, kmitání, také v reologii apod. Studenti jsou seznámeni se všemi základy, nutnými k pochopení formulace a modelování inženýrských úloh, s přehledem metod řešení, dále s praktickými i teoretickými základy metod k řešení úloh závislých na čase, lineárních i nelineárních. Předmět je vhodný pro studenty jak magisterských, tak bakalářských studijních programů, zejména zajímajících se hlouběji o inženýrské děje, je veden přístupnou formou s množstvím příkladů a nevyžaduje žádné zvláštní předběžné znalosti. Jednotlivé pojmy jsou vykládány od úplných základů a výklad je přizpůsoben studentům, kteří si předmět zapíší. Znalosti studentů k ukončení předmětu prověřovány nejsou. Z předmětu je zápočet a dva kredity. Každý zájemce je vítán. Další informace na stránce vyučujícího (http://mat.fsv.cvut.cz/bubenik).
[1] Rektorys K.: Metoda časové diskretizace a parciální diferenciální rovnice, Teoretická knižnice inženýra, SNTL, Praha 1985.
Tenzorový počet: Definice a příklady tenzorů. Tenzorová algebra a analýza. Tenzory v křivočarých souřadnicích. Aplikace tenzorů v mechanice bodů a těles.
[1] Rektorys K. : Variační metody v inženýrských problémech, Academia 1999
Studenti se seznámí se základními numerickými postupy potřebnými pro inženýrské výpočty. Obsahem jsou následující témata. Diskrétní Fourierova transformace pro zjišťování zastoupení frekvencí v datech, Fourierova řada. Newtonova metoda pro řešení nelineárních úloh. Numerická integrace. Metoda konečných prvků, její stručné odvození včetně připomenutí pojmů z předmětu MA3, příklady použití pro jednoduché úlohy. Početní příklady k jednotlivým tématům jsou realizovány na počítači. Obsah předmětu je modifikován podle zájmu přihlášených studentů.
[1] A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Numerical mathematics
[2] C. Johnson, Numerical solution of partial differential equations by finite element method
[3] F. Bubeník, M. Pultar, I. Pultarová, Matematické vzorce a metody
Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace
[1] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, 1976.
[3] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky. Prométheus, 2003.
This course is focused on elementals of projective methods (including parallel and central projections), parallel lighting, cone sections, quadrics, and differential geometry of curves.
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996. Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995.,
[2] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie, lineární perspektiva a zobrazení objektů těmito metodami. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a oskulační kružnice. Šroubovice. Plochy rotační, šroubové. Kvadriky a jejich analytický popis. Plochy stavební praxe. Jednodílný rotační hyperboloid. Hyperbolický paraboloid.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Promítání a jeho základní vlastnosti. Axonometrie, kosoúhlé promítání, pravoúhlá axonometrie a zobrazení objektů těmito metodami, skicování. Polohové úlohy v axonometrii, osvětlení. Lineární perspektiva. Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného snímku. Křivky stavební praxe, jejich zobrazení, parametrizace, výpočet křivosti a průvodního trojhranu. Šroubovice a šroubové plochy. Kvadriky a jejich anylytické vyjádření.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 1998
[3] Medek, V., Zámožík, J.: Konštruktívna geometria pre technikov, SNTL – Alfa, 1976
Differential calculus of functions of a real variable. Sequences, limits of sequences. Functions, fundamental elementary functions, inverse and composite functions. Limits, continuity, Weierstrass's and Bolzano's theorems, asymptotes of graphs of functions. The derivative and its computation, geometric and physical meaning of derivatives, derivatives of higher orders. Lagrange's theorem. Monotony and convexity of functions, extremal problems, inflect points, L´Hospital's rules. Taylor's theorem. Linear algebra and applications. Vector spaces, linear hull, linear dependence and independence, bases, dimension, subspaces. Matrices, operations with matrices, rank of matrices, inverse matrices. Systems of linear equations, homogenneous and nonhomogenneous systems, Frobenius's theorem, Gaussian ellimination algotithm. Determinants of matrices of the 2nd and 3rd orders, Cramer's rule. Analytic geometry in space.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Initial value problems for linear differential equations with constant coefficients. Boundary value problems for linear differential equations. Differential operators. Energy functional.Double and triple integrals. Applications. Line integrals of a function and of a vector field. Green's theorem. Conservative vector fields.
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Lagrangeova věta. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a aplikace. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor, příklady. Matice, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic, homogenní a nehomogenní soustavy, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus. Determinant matice 2. a 3. řádu, Cramerovo pravidlo. Analytická geometrie v prostoru.
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Polynomy, lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu funkce. Derivace, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Lineární algebra a analytická geometrie. Vektorový prostor, lineární obal, lineární závislost, báze, dimenze, podprostor. Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika, hodnost matice, inverzní matice. Vektorový prostor Rn. Soustavy algebraických rovnic, Frobeniova věta, Gaussův eliminační algoritmus, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Metoda nejmenších čtverců.
[1] Kočandrlová M.,Černý J.: Geo-matematika I, skriptum ČVUT, 2008.
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996.
[3] Budinský B., Charvát J.: Matematika I, II, Vydavatelství ČVUT, 1999.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy.
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, integrace racionálních funkcí, per partes, substituce, vybrané speciální substituce. Určitý integrál, per partes, substituce. Nevlastní integrál, výpočet, konvergence a divergence. Vybrané aplikace v geometrii a ve fyzice. Funkce více proměnných, definiční obor, vrstevnice, grafy, parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciály, implicitní funkce, derivace a parciální derivace implicitních funkcí. Tečna a normála ke grafu křivky, tečná rovina a normála ke grafu plochy. Extrémy lokální, vázané, globální. Obyčejné diferenciální rovnice, separace proměnných, homogenní diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice 1. řádu, exaktní. Cauchyovy úlohy
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000. Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet funkce jedné proměnné: Obsah rovinného obrazce – obdélníková a lichoběžníková metoda. Riemannův určitý integrál, metody výpočtu integrálu, primitivní funkce jako funkce horní meze určitého integrálu. Aplikace určitého integrálu. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných: Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy. Obyčejná diferenciální rovnice: Směrové pole, integrální křivky, počáteční podmínka. Exaktní rovnice, separace proměnné, lineární rovnice a variace konstanty. Řešení rovnice s počáteční podmínkou, existence a jednoznačnost řešení, posloupnost postupných aproximací řešení. Rungovy-Kuttovy metody řešení.
[1] Kočandrlová M., Černý J.: geo-Matematika I, ČVUT Praha, 2007
[2] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Počáteční úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Okrajové úlohy pro lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Diferenciální operátory. Funkcionál energie. Dvojný a trojný integrál. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Greenova věta. Potenciální vektorová pole.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce dvou a tří proměnných: Integrální součty, Fubiniova věta. Obsah a objem množin. Substituce polárními souřadnicemi.Integrální součty pro fci 3 proměnných. Fubiniova věta pro fci 3 proměnných. Objem množiny. Substituce cylindrickými a sférickými souřadnicemi. Aplikace integrálu – statický moment, těžiště, moment setrvačnosti. Křivkový a plošný integrál: Bodová a vektorová funkce jedné proměnné, parametrizace, tečna a orientace křivky. Práce silového pole po křivce, cirkulace. Greenova věta. Potenciální pole, rotace vektorového pole. Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, parametrizace, tečný prostor a orientace plochy. Tok vektorového pole plochou, divergence. Integrální věty.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Cílem předmětu je seznámit studenty oborů KPS a KD s matematickými modely mechanických jevů, které studují v ostatních předmětech, a dále poskytnout studentům matematický aparát, který v ostatních předmětech používají. První část, zabývající se řešením velkých soustav lineárních algebraických rovnic, má studentům doplnit znalosti o soustavách rovnic vzniklých při numerickém řešení úloh metodou konečných prvků a navázat tak na předmět přednášený katedrou stavební mechaniky, dále jsou potom přednášeny matematické modely základních mechanických úloh, jako je ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnice vedení tepla.
[1] O. Zindulka: Matematika 3, ČVUT, Praha, 2007 (vybrané části)
[2] K. Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, 2001 (vybrané části)
[3] M. Fiedler: Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, SNTL, Praha, 1981 (vybrané části)
Cílem předmětu je seznámit studenty oboru Budovy a prostředí s matematickými modely mechanických jevů, které se studují v ostatních předmětech. Vzhledem k profilu oboru je hlavní pozornost zaměřena na problematiku ustáleného a neustáleného tepelného pole a dále na chování tepelného pole na rozhraní dvou těles s různou vodivostí.
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
Diferenciální rovnice 1. řádu (převážně) v rovině a jejich použití v (ekonomických) modelech.
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e
[1] J. Jirásko: Matematika 35 - Matematická logika, ČVUT, 1997., J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984., A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001.
Bodová a vektorová funkce dvou proměnných, plocha a její 1. a 2. základní forma, plošný integrál, tok vektorového pole plochou, integrální věty.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii.
[1] S. Míka: Tenzorový počet, Skriptum ZČU Plzeň
The primary goal is to get acquainted with mathematical modeling of phenomena in mechanics that are subject to other courses and provide basic math apparatus used in these courses. The topics include: * Matrix theory aimed towards methods of solutions of large systems of linear equations that occur in the course of numerical solutions of mechanics problems. * Boundary value problems for ordinary differential equations, namely those that model beam behavior. * Selected partial differential equations: Laplace, heat and wave equations.
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti, náhodné veličiny, základní charakteristiky náhodných veličin, náhodné vektory, limitní věty a zákony velkých čísel, základní pojmy statistiky, odhady charakteristik rozdělení, intervalové odhady, testování hypotéz.
[1] Navara M. : Pravděpodobnost a matematická statistika. Nakladatelství ČVUT, Praha, 2007.
Zopakování základních principů klasického statistického testování hypotéz a odhadu parametrů, rozšíření o přístup sekvenční analýzy, bayesovské a robustní metody. Práce se statistickým softwarem R.
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Analýza citlivosti – zkoumání reakce sledované veličiny na změnu vstupních parametrů matematického modelu. Analýza citlivosti u jednoduchých úloh stavební mechaniky. Aplikace v optimalizaci, identifikaci parametrů a v úlohách s nejistými vstupními daty. Matlab – nástroj pro počítačové modelování. Studenti budou numericky řešit aplikačně zaměřené problémy v prostředí Matlab, jeho předběžná znalost není podmínkou.
Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice. Křivky, výpočet křivostí.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Cílem přednětu je umožnit studentům ČVUT seznámit se přístupnou formou s různorodými oblastmi moderní matematiky. Přednášejícími budou čeští i zahraniční matematici, kteří ve svém oboru dosáhli významných výsledků. Témata budou různorodá v souladu s cíly cyklu vybíraná napříč moderními oblastmi/podoblastmi matematiky (matematická logika a složitost algoritmů, matematické modelování, diferenciální rovnice, prostory funkcí, dynamické systémy, reálná analýza).
Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 1.
[1] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Plocha jako graf funkce dvou promněných, tělesa definovaná implicitně, kvadriky, transformace souřadnic a jejich využití pro výpočet dvojných a trojných integrálů. Rovinné a prostorové křivky. Křivkové integrály prvního a druhého druhu. Aplikace vícenásobných a křivkových integrálů.,
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. ,
Předmět seznamuje posluchače s matematickou formulací a modelováním jevů pomocí obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic. Podává přehled metod pro řešení těchto rovnic. Ve cvičení se studenti seznámí s vhodným matematickým softwarem (např. MATLAB) a sestaví programy pro vybrané metody. Obsahem jsou následující okruhy. Obyčejné diferenciální rovnice, jednokrokové metody, Rungeho-Kuttova metoda, prediktor-korektor, aplikace na geodetiku. Generování sítí, Lagrangeova a Hermitova interpolace jedno- a dvourozměrná. Parciální rovnice: typy rovnic a okrajových podmínek, Laplaceova a Poissonova rovnice, aplikace na gravitační pole, rovnice vedení tepla. vlnová rovnice, Fourierova metoda, metoda konečných prvků, aplikace metody nejmenších čtverců pro řešení PDR.
[1] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, Praha, 1976.
[2] K. Rektorys: Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky, Academia, Praha 1999.
[3] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996.
Shrnutí základních pojmů finanční matematiky (složené úročení, anuity). Pojištění majetku a odpovědnosti za škody, tarifní skupiny a ukazatele, netto a bruttopojistné. Základní pojmy životního pojištění (úmrtnostní tabulky, různé typy pojištění).
[1] Tomáš Cipra: Pojistná matematika v praxi
Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, F. Otto: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Verlag Ullstein, 1966., Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, FbVerlag Leipzig - Köln, 1995. http://mat.fsv.cvut.cz/cerny,
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Cílem předmětu je seznámit vybrané studenty se základy funkcionální analýzy a jejími aplikacemi v matematických modelech základních úloh mechaniky. Jde o Laplaceovu a Poissonovu rovnici, které popisují ustálené tepelné pole, průhyb membrány, kmitání struny a membrány a rovnici vedení tepla. Posluchač se seznámí s hlubšími kvalitativními matematickými vlastnostmi řešení takovýchto problémů.
[1] M. Brdička, L. Samek a B. Sopko, Mechanika kontinua. Academia, Praha (2005)
[2] A. Nekvinda, Matematika 4, Přednáška na weby (2007)
[3] O. Zindulka, Matematika 3, Nakladatelství ČVUT, (2007)
Teorie matic. Vlastnosti symetrických matic, vlastní čísla a vlastní vektory matic. Spektrální vlastnosti matic, mocniny matic, maticové mnohočleny. Iterační metody řešení soustav.
[1] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993
Numerická matematika Kontraktivní operátor - Banachova věta o pevném bodě, metoda postupných aproximací. Jednokrokové i vícekrokové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou. Metoda sítí pro okrajové úlohy. Odhad chyby řešení. Problém vlastních čísel. Aproximace, interpolace a splain integrální křivky řešení.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
Ortogonální systémy funkcí, Fourierova řada. Systémy Legendreových a sférických funkcí. Řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích. Fourierova řada pro gravitační potenciál.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT Praha, 2008
[2] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993
Transformation of basis and vector coordinates conversion, curvilinear coordinates. Tensor algebra and analysis in Cartesian and curvilinear coordinates. Tensor function and tensor field, differential operators. Tensors in geodesy, Marussi tensor.
[1] Heinbockel J.H.: Introduction to Tensor Calculus and Kontinuum Mechanics, ISBN 1-55369-133-4, Trafford
Vektorový počet, vektorová algebra a analýza. Transformace bází a transformace souřadnic vektorů, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorová pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] Kočandrlová M.: geo-Matematika II, ČVUT, 2008
[2] Míka S: Tenzorový počet, ZČU Plzeň
Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Plochy, výtvarné zákony ploch, geometrické vlastnosti. Zobrazení ploch v konstrukcích, přechodové plochy, prutové konstrukce. Osvětlení, technické na půdorysnu a nárysnu, osvětlení v perspektivě. Doplňková témata, průniky ploch (těles), klenby, střechy, zlatý řez, technické křivky.
[1] Černý J, Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, monografie FSv, 2004.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000
Anotace stejná jako 101MA2
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor - pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice - zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic - homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty - determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor – pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice – zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic – homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty – determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Lineární algebra a analytická geometrie Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření – báze a dimenze, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika – Gaussova eliminace. Vektorový prostor Rn. Násobení matic, soustavy algebraických rovnic, Gaussova eliminace, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné proměnné Polynomy – lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou polynomy. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu. Derivace – definice, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál.
[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál - Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál - základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné - funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice - motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní-speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál – Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál – základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné – funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice – motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní -speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000. Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných Totální diferenciál – linearizace fce. Derivace vyšších řádů – Taylorův polynom. Extrém fce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.
[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy - lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy – lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce jedné a více proměnných Obdélníková a lichoběžníková metoda výpočtu integrálu, definice a vlastnosti integrálu, střední hodnota fce, fce horní meze integrálu.Metody výpočtu a aplikace integrálu. Integrální součty pro fci 2
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Lineární operátory a jejich aplikace Lineární operátory, maticová reprezentace, transformace souřadnic. Lineární, bilineární a kvadratická forma. Vlastní čísla a vektory symetrických matic, obecná rovnice elipsy a její transformace. Číselné a fikční řady Konvergence a součet řady čísel. Konvergence funkčních řad, Taylorova řada. Aplikace v geodézii.
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus Praha, 2000.
Křivkový a plošný integrál, integrální věty v tenzorovém tvaru. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Ortogonální systémy funkcí, řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích, systém Legendreových polynomů, Legendreových a kulových funkcí, Fourierova řada gravitačního potenciálu Země.
[1] K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996, M. Burša, G. Karský, J. Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia, 1993
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 2.
[1] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT.
Programování jednoduchých statistických procedur ve zvoleném počítačovém systému (Matlab, S++, R).
[1] Novák J., Pultarová I., Novák P.: Základy informatiky (počítačové modelování v Matlabu). An introduction to R (Notes on R, Programming Environment for Data Analysis and Graphics).
Lineární operátory a zobrazení. Lineární operátory na vektorových prostorech, afinní a projektivní zobrazení, shodnost a podobnost v rovině a prostoru, středová kolineace. Lineární optimalizační úloha v normovaném a rovnicovém tvaru.
[1] Rektorys K. : Variační metody v inženýrských problémech, Academia 1999
Úvod - uživatelské rozhraní operačního systému. Seznámení se s počítačovým prostředím katedry matematiky a fakulty. Práce v programu Autocad: základní orientace v prostředí. Kreslení základních entit. Pomůcky pro přesné kreslení. Funkce pro modifikaci. Bloky, hladiny, kóty. Úvod do 3D modelování. Matematický software: Matlab. Prostředí, jednoduché výpočty, elementární funkce. Práce s maticemi. Jednoduché grafy funkcí 1 a 2 proměnných. Samostatná práce podle zadání.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Číselné soustavy. Zobrazování čísel v počítači. Zdroje chyb. Zaokrouhlovací chyba. Pevná a pohyblivá čárka. Mantisa a exponent čísla. Regrese. Reziduální součet čtverců. Algoritmy pro řešení soustav lineárních rovnic. Cramerovo pravidlo, výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou LU rozkladu. Normy matic a vektorů. Algoritmus pro dělení polynomů. Extrapolace. Numerická derivace., , Hledání reálných kořenů algebraické rovnice pomocí Sturmovy věty. Algoritmus pro dělení polynomů., Interpolace, extrapolace, Nevillův algoritmus., Numerická derivace
[1] P. Přikryl: Numerické metody. Aproximace funkcí a matematická analýza. FAV Plzeň, 1996
[2] A. Ralston: Základy numerické matematiky. Praha, Academia, 1976.
[3] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky. Prométheus, 2003.
Anotace stejná jako 101KOG
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996. Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995.,
[2] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Anotace stejná jako 101MA1
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Anotace stejná jako 101MA3
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Students know mathematical models of problems in civil engineering practice and they are able to solve them by various analytical and numerical methods.
Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor - pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice - zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic - homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty - determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor – pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice – zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic – homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty – determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Lineární algebra a analytická geometrie Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření – báze a dimenze, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika – Gaussova eliminace. Vektorový prostor Rn. Násobení matic, soustavy algebraických rovnic, Gaussova eliminace, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné proměnné Polynomy – lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou polynomy. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu. Derivace – definice, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál.
[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál - Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál - základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné - funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice - motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní-speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál – Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál – základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné – funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice – motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní -speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000. Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných Totální diferenciál – linearizace fce. Derivace vyšších řádů – Taylorův polynom. Extrém fce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.
[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy - lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy – lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce jedné a více proměnných Obdélníková a lichoběžníková metoda výpočtu integrálu, definice a vlastnosti integrálu, střední hodnota fce, fce horní meze integrálu.Metody výpočtu a aplikace integrálu. Integrální součty pro fci 2
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
[1] K. Rektorys: Matematika 43. Vydavatelství ČVUT, 2001
[2] K. Rektorys a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1995
[1] Nagy J., Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, MVŠT, sešit IX, SNTL, Praha, 1983.
[2] Havlena Vl., Štecha J., Teorie dynamických systémů (přednášky), ČVUT, 2002, ISBN 80-01-01971-3 (vybrané části).
[3] Bobok J., Texty k přednášce.
Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e
[1] J. Jirásko: Matematika 35 - Matematická logika, ČVUT, 1997., J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984., A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001.
Numerická matematika. Kontraktivní operátor, Banachova věta o pevném bodě, metoda postupných aproximací. Jednokrokové i vícekrokové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou. Metoda sítí pro okrajové úlohy. Odhad chyby řešení. Problém vlastních čísel. Aproximace, interpolace, spline.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
Transformace bází a transformace souřadnic vektoru, křivočaré souřadnice. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Tenzorová funkce a tenzorové pole, diferenciální operátory. Tenzory v geodézii, Marussiho tenzor.
[1] S. Míka: Tenzorový počet, Skriptum ZČU Plzeň
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
Promítací metody, Mongeovo promítání, axonometrie, perspektiva. Základní metody osvětlení. Šroubovice a její aplikace, šroubové plochy. Kvadriky a jejich rovnice. Křivky, výpočet křivostí.
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Opakování vybraných partií z předmětu Matematika 1.
[1] Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Plocha jako graf funkce dvou promněných, tělesa definovaná implicitně, kvadriky, transformace souřadnic a jejich využití pro výpočet dvojných a trojných integrálů. Rovinné a prostorové křivky. Křivkové integrály prvního a druhého druhu. Aplikace vícenásobných a křivkových integrálů.,
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. ,
Ukázky různých typů geometrických objektů, které lze najít v historické i současné architektuře, popis jednotlivých objektů a diskuse o jejich možném užití. Mnohostěny a kupole, poměry rozměrů a jejich historický vývoj, různé typy ploch (membrány, textilní plochy, minimální plochy, atd.). Jejich geometrické vlastnosti a použití v architektuře.
[1] J. Černý, M. Kočandrlová: Konstruktivní geometrie, F. Otto: Zugbeanspruchte Konstruktionen, Verlag Ullstein, 1966., Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, FbVerlag Leipzig - Köln, 1995. http://mat.fsv.cvut.cz/cerny,
Základní pojmy a terminologie, náhodná veličina, popisné a inferenciální statistiky. Diskrétní a spojitá náhodná proměnná, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení. Statistické metody, teorie odhadu, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
Rovnice matematické fyziky a techniky a jejich vlastnosti. Soustavy rovnic 1. a 2. řádu. Okrajové a počáteční podmínky. Klasické, variační a slabé formulace. Počítačové realizace. Fourierova, Ritzova a projekční metody. Metoda konečných a hraničních prvků. Integrální rovnice. Víceúrovňové a multigridní metody. DDM (metoda rozkladu oblasti), FETI optimalizace. Variační nerovnosti. Nesymetrické úlohy. GMRES., , , versus iterační metody řešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic. Víceúrovňové metody. Multigridní metody. DDM (metoda rozkladu oblasti), FETI Optimalizace. Variační nerovnosti. Nesymetrické úlohy. GMRES.
[1] Z. Bittnar, J. Šejnoha: Numerické metody mechaniky., K. Rektorys: Metoda časové diskreditace. , K. Rektorys: Variační metody.
Diferenciální geometrie křivek a ploch. Rovinné a prostorové křivky v geodézii. Lokální báze v bodě křivky a plochy. Rotace Frenetova trojhranu. Kubické křivky počítačové grafiky.
[1] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993
Numerická matematika Kontraktivní operátor - Banachova věta o pevném bodě, metoda postupných aproximací. Jednokrokové i vícekrokové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou. Metoda sítí pro okrajové úlohy. Odhad chyby řešení. Problém vlastních čísel. Aproximace, interpolace a splain integrální křivky řešení.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Simplexová metoda , hledání bazického řešení, duální formulace. Speciální metody pro dopravní problém. Galerkinova a Ritzova metoda, základní typy konečných prvků. Konstrukce triangulace v 2D a 3D. Techniky zjemňování triangulace, aposteriorní odhad chyby. Metoda největšího spádu, metody sdružených směrů - CG, MINRES. Metody pro nesymetrické matice - GMRES.
[1] Kincaid D., Cheney W.: Numerical Analysis, Mathematics of Scientific Computing,Third Edition, Published by Brooks/Cole, Third Edition, 2002, ISBN 0-534-38905-8., Marčuk C. I.: Metody numerické matematiky, Academia Praha l987. Stoer J. , Bulirsch R.: Introduction to numerical analysis. Berlin, Springer-Verlag., 1980.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
A survey of basic mathematical tool from calculus, linear algebra and computational methods.Initial value problems for ODE`s.Elements of PDE`s: Green’s formula, Green function. Equations of Mathematical Physics: methods of their solution and approximate solution Method of Fourier, principles of FEM.
[1] Z. Bittnar, J. Šejnoha: Numerical Methods in Mechanics. Vol. I and II. D. Braess: Finite Element Methods., P.G. Ciarlet: Introduction a l'analyse numerique matricielle et `a l'optimisation.
Základy diferenciální geometrie pro geometrický popis konstrukcí, zvl. skořepin. Počítačová a výpočetní geometrie, geometrické základy pro počítačové modelování křivek a ploch. Geometrie v CAD a modelářských softwarech. Ukázky vybraných typů ploch pro architektonickou praxi – příhradové, visuté, lanové, membránové konstrukce a jejich geometrie.
[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
Anotace stejná jako 101KOG
[1] Černý, J.: Geometry, Vydavatelství ČVUT, 1996. Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995.,
[2] Otto, F.: Zugbenaschpruchte Konstruktionen, Verlaag Ullstein, Frankfurt-Berlin, 1962.
Přednáška představuje úvod do problematiky dynamických systémů. Zabývá se základními pojmy teorie, na příkladech vysvětluje v čem spočívá tzv. chaos, co je to atraktor, jak rozumět nestabilitě systému. Obsah přednášky bude do značné míry záviset na domluvě se zájemci.
[1] Medveď M. Dynamické systémy VEDA, Bratislava, 1988
[2] Hasselblatt B., Katok A. Introduction to the Modern Theory of Dynamocal Systems Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995
[3] Broer H.W., Dumortier F., van Strien S.J., Takens F. Structures in Dynamics (finite dimensional deterministic studies) Nort-Holland Elsevier Science Publisher B.V., Amsterdam, 1991.
Promítací metody: Axonometrie, typy axonometrií, přímé metody, zářezová metoda. Kótované promítání a jeho vybrané aplikace. Skicování. Perspektiva. Transformace v rovině a v prostoru: Základní typy transformací a jejich popis. Aplikace 2D transformací na modelování mozaik, parketáží, 2.5 D a 3D modelování těles a ploch. Křivky a plochy technické praxe: Příklady technických křivek, šroubovice. Vybrané typy ploch: rotační plochy, kvadratické plochy, šroubové plochy, příklady přímkových ploch. Užití ploch v praxi. Vytváření kompozic ploch a jejich modelování.
[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne E., Klix W.D.: Geometrie - Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig - Koln, 1995
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.
[1] Černý J, Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, monografie FSv, 2004.
Konstruktivní fotogrammetrie, rekonstrukce vodorovného a šikmého snímku. Osvětlení a jeho základní principy. Technické osvětlení s aplikacemi. Plochy stavební praxe, přímkové rozvinutelné a zborcené plochy, šroubové plochy, translační plochy. Zastřešení. Semestrální práce.
[1] Černý J., Kočandrlová M. Konstruktivní geometrie ČVUT Praha, 1998
[2] Černý J., Kočandrlová M. Konstruktivní geometrie 10 ČVUT Praha, 2000
[3] Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces CRC Press, 1993
Technické křivky a jejich příklady. Modelování křivek na počítači. Křivky v počítačové grafice - parametrické kubiky, Bezierovy křivky, B-spline křivky, NURBSy. Plochy v technické praxi a jejich modelování pomocí software Mathematica. Interpolační a aproximační plochy.
[1] Granát L., Sechovský H. Počítačová grafika SNTL Praha, 1980
[2] Žára J. Počítačová grafika - principy a algoritmy Grada, 1992
[3] Schapper R. Grafik mit Mathematica Addison Wesley, 1994
Cílem přednášky je seznámit studenty se základy analýzy v komplexním oboru a to zejména s vlastnostmi komplexnich čísel C, se základními komplexními funkcemi, jejich derivacemi, křivkami v C, křivkovým integrálem. Obsahem přednášky budou dále holomorfní funkce, mocninné a Laurentovy řady.
[1] Černý Ilja Základy analýzy v komplexním oboru Academia, Praha 1967
[2] Rudin Walter Analýza v reálném & komplexním oboru Academia, Praha 1977
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT 2004
[2] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, skriptum ČVUT, 2005.
Tělesa a rozvinutelné plochy, jejich sítě. Promítání jako zobrazení prostoru do roviny. Kótované promítání – využití v kartografii a topografii. Axonometrie zeměpisné sítě na sféře. Geometrické základy fotogrammetrie. Sférická trigonometrie se zaměřením na řešení kartografických a kartometrických problémů.
[1] Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Praha, 1998
[2] Piska R., Medek V.: Deskriptivní geometrie II., SNTL Praha, 1975
[3] Pyšek J.: Kartografie, kartometrie a matematická geografie v příkladech, Západočeská Univerzita v Plzni, 2000
Promítací metody: Axonometrie, typy axonometrií, přímé metody, zářezová metoda. Kótované promítání a jeho vybrané aplikace. Skicování. Perspektiva.Principy osvětlení.Transformace v rovině a v prostoru: Základní typy transformací a jejich popis. Aplikace 2D transformací na modelování mozaik, parketáží, 2.5 D a 3D modelování těles a ploch. Křivky a plochy technické praxe: Příklady technických křivek, šroubovice.Vybrané typy ploch a vybrané problémy užití ploch v praxi (např. průniky, klenby, zastřešení, schodiště).
[1] Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT, 2005. Černý, J., Kočandrlová, M.: Konstruktivní geometrie, monografie ČVUT, 2004. Černý, J. : Konstruktivní geometrie - křivky a plochy se softwarem Mathematica, doplňkové skriptum ČVUT, 1998.
Principy geometrického osvětlení: Osvětlení v promítacích metodách, osvětlení dutin. Technické osvětlení na vodorovnou a svislou rovinu. Osvětlení architektonických prvků a osvětlení interieru. Plochy: Vytvořující principy vybraných ploch architektonické praxe. Prostředky modelování křivek a ploch v softwarech. Semestrální projekt – komplexní geometrický návrh kompozice.
[1] Černý, J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, Vydavatelství ČVUT, 1998
[2] Bohne, E., Klix, W., D.: Geometrie – Grundlagen für Anwendungen, Fachbuchverlag Leipzig – Koln, 1995
[3] Kadeřávek, F., Klíma, J., Kounovský, J.: Deskriptivní geometrie I, II, JČMF, 1932.
Anotace stejná jako 101MAMC
[1] Croft A., Davison R., Hargreaves, M.: Engineering Mathematics, Addison Wesley, 1998
[2] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997
[3] Rektorys K.: Survery of Applicable Mathematics, Vol I, II., Kluwer Academic Publishers Dodrecht, 1994
Rovnice matematické fyziky a techniky. Eliptické rovnice.Parabolické rovnice. Hyperbolické rovnice. Soustavy rovnic 1. a 2. řádu. Okrajové a počáteční podmínky. Klasické, variační a slabé formulace. Počítačové realizace. Fourierova metoda. Ritzova metoda. Projekční metody. Metoda konečných prvků. Metoda hraničních prvků. Integrální rovnice. Algebraické úlohy vniklé diskreditací okrajových a počátečních úloh metodou konečných prvků. Symetrické a pozitivně definitivní soustavy. Přímé versus iterační metody řešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic.
[1] K. Rektorys: Variační metody., K. Rektorys: Metoda časové diskreditace., Z. Bittnar: Metoda konečných prvků v dynamice konstrukcí.
Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu a jejich aplikace v technických úlohách. Okrajové úlohy pro diferenciální rovnice 2. řádu, vlastní čísla a vlastní funkce vybraných diferenciálních operátorů, průhyb zatíženého prutu namáhaného na vzpěr. Fourierovy řady. Základy variačních metod. Parciální diferenciální rovnice 2. řádu, rovnice desek, nosných stěn, rovnice vedení tepla, rovnice kmitů struny. Průběh teploty v izolované tyči, jejíž konce jsou udržovány na dané teplotě. Přibližné řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic ve stavebně-technických problémech metodou sítí.
[1] Ralston A.: Základy numerické matematiky, Academia Praha 1973
[2] Rektorys K a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus Praha 1995
[3] Edit. by Will Light: Advances in Numerical Analysis, Clarendon Press
Základy teorie grafů: Pojem grafu, příklady použití grafů, druhy popisu grafů. Úlohy řešitelné v polynomiálně omezeném čase, cesty v grafech, kostry grafu,toky v sítích, párování, přiřazovací úloha. Prohledávání grafu, Eulerovské grafy, rovinné grafy. Nezávislost grafů, barevnost grafů, Hamiltonovské cesty a kružnice, problém obchodního cestujícího, heuristické metody. Petriho sítě a modelování systémů. Aplikace v ekonomických úlohách. Základy teorie fuzzy množin Fuzzy množiny – základní pojmy, operace s fuzzy množinami, fuzzy relace a jejich aplikace v ekonomickém rozhodování.
[1] J. Demel: Grafy, SNTL, 1988
[2] V. Novák: Fuzzy množiny a jejich aplikace, SNTL, 1986
[3] P. Fiala, J. Jablonský, M. Maňas: Vícekriteriální rozhodování, VŠE, 1994
Základy teorie grafů: Pojem grafu, příklady použití grafů, druhy popisu grafů. Úlohy řešitelné v polynomiálně omezeném čase, cesty v grafech, kostry grafu,toky v sítích, párování, přiřazovací úloha. Prohledávání grafu, Eulerovské grafy, rovinné grafy. Nezávislost grafů, barevnost grafů, Hamiltonovské cesty a kružnice, problém obchodního cestujícího, heuristické metody. Petriho sítě a modelování systémů. Aplikace v ekonomických úlohách. Základy teorie fuzzy množin Fuzzy množiny – základní pojmy, operace s fuzzy množinami, fuzzy relace a jejich aplikace v ekonomickém rozhodování.
[1] J. Demel: Grafy, SNTL, 1988
[2] V. Novák: Fuzzy množiny a jejich aplikace, SNTL, 1986
[3] P. Fiala, J. Jablonský, M. Maňas: Vícekriteriální rozhodování, VŠE, 1994
inž.praxe Základní znalosti o použití programu MAPLE V. Grafické možnosti programu MAPLE V. Řešení soustavy algebraických rovnic. Příklady úloh z mechaniky vedoucí na parciální diferenciální rovnice (např. stabilita konstrukcí, transport tepla a vlhkosti, šíření vln v pružném prostředí). Řešení (s použitím programu MAPLE V) některých statických úloh pomocí variačních a jiných metod. Vlastní kmity konstrukcí (pruty, desky). Časově závislé úlohy a jejich řešení. Fourierova metoda, Galerkinova metoda a další.
[1] Gardner W., Hřebíček J. Solving Problems in Scientific Computing Using Maple and Matlab Springer, 1997
[2] Heck A. Introduction to Maple Springer, 1996
[3] Wylie C.R,Jr. Advanced Engineering Mathematics McGraw-Hill Book Company, 1960
Anotace stejná jako 101MA1
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Anotace stejná jako 101MA2
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Anotace stejná jako 101MA3
[1] Bubeník F.: Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1997. Bubeník F.: Problems to Mathematics for Engineers, Vydavatelství ČVUT, 1999. Rektorys K. et al.: Applied Mathematics, Praha, Prometheus 2000.
Předmět je určen studentům se zájmem o hlubší znalosti matematiky a matematických metod, které v základním kurzu jsou obsaženy jen informativně a které odborně koncipují inženýry pro budoucí vědecko-výzkumnou práci. Součástí předmětu je podrobnější teoretický základ, důkazy vybraných matematických vět, technicky zaměřené úlohy a jejich analýza. Detailní obsah může být přizpůsoben zaměření a zájmu přihlášených. Pro zájemce může být předmět ukončen též zkouškou.
[1] Budinský, B., Charvát Matematika I
[2] Budinský, B., Charvát, J Matematika II
Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor - pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice - zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic - homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty - determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Lineární algebra a aplikace. Analytická geometrie v prostoru. Vektorový prostor – pojem, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze, příklady. Matice – zavedení, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic – homogenní a nehomogenní soustavy, Gaussova eliminace, iterační metody. Determinanty – determinant 2. a 3. řádu, determinant n-tého řádu. Cramerovo pravidlo. Diferenciální počet. Posloupnosti, limita posloupnosti. Pojem funkce, základní elementární funkce, inverzní a složená funkce. Limita, spojitost, Weierstrassova a Bolzanova věta, asymptoty grafu funkce. Derivace a její výpočet, geometrický a fyzikální význam derivace, derivace vyšších řádů. Monotonie a konvexita funkce, extrémy funkce a inflexní body, L´Hospitalovo pravidlo. Taylorova věta. Přibližné řešení rovnic, interpolace a aproximace, MNČ .
[1] Bubeník, F., Zindulka, O.: Matematika 1, skriptum ČVUT, 2005. , Charvát, J., Kelar, V., Šibrava, Z.: Matematika 1. Příklady, skriptum ČVUT, 2005.
Lineární algebra a analytická geometrie Euklidovský prostor E3 a jeho vektorové zaměření – báze a dimenze, kartézská soustava souřadnic, lineární prostorové útvary. Skalární součin a jeho použití. Vektorový součin, Cramerovo pravidlo a determinant. Maticová aritmetika – Gaussova eliminace. Vektorový prostor Rn. Násobení matic, soustavy algebraických rovnic, Gaussova eliminace, norma matice, iterační metoda řešení soustav. Úvod do diferenciálního počtu funkce jedné proměnné Polynomy – lineární kombinace mocnin. Vlastnosti kořenů, Hornerovo schema. Interpolace a aproximace funkce dané tabulkou polynomy. Posloupnost a její limita. Limita a spojitost funkce. Asymptoty grafu. Derivace – definice, geometrický a fyzikální význam. Přírůstek funkce a totální diferenciál.
[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál - Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál - základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné - funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice - motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní-speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.
[2] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[3] Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Integrální počet. Primitivní funkce, neurčitý integrál, integrační metody, příklady. Určitý integrál – Riemannův integrál, aplikace v geometrii a ve fyzice. Nevlastní integrál – základní informace, zavedení, příklady. Pojem funkce více proměnných, parciální derivace, od funkce dvou proměnných k funkci jedné proměnné – funkce zadané implicitně. Obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejné diferenciální rovnice – motivační úlohy, základní pojmy, Cauchyho úloha Rovnice se separovanými proměnnými, lineární diferenciální rovnice 1. řádu. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty vyšších řádů homogenní, nehomogenní -speciální pravá strana. Vybrané aplikace obyčejných diferenciálních rovnic. Eulerova metoda, metoda Runge-Kutta 4. řádu. Ukázka matematického softwaru (CV, 1 cv)
[1] Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, vydavatelství ČVUT, Praha 1997.Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000. Rektorys, K.: Co je a k čemu je vyšší matematika, Academia, Praha 2001.
Diferenciální počet funkcí jedné a více proměnných Totální diferenciál – linearizace fce. Derivace vyšších řádů – Taylorův polynom. Extrém fce. Numerické řešení rovnice f(x) = 0. Fce 2 proměnných, vrstevnice, graf. Kvadriky v E3. Parciální derivace, derivace ve směru, gradient. Totální diferenciál – linearizace fce. Taylorův polynom 2. řádu, graf, vrstevnice. Extrémy funkce. Implicitní vyjádření křivky a plochy.
[1] Rektorys K. a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Geometrie, zeměměřictví a stavitelství v nejstarších civilizacích. Matematika v raném Řecku a v době rozkvětu Alexandrie. Matematika ve středověku a v době renesance. Význam symboliky při řešení rovnic (Descartes, Newton). Počátky analytické geometrie. Počátky numerické matematiky. Vznik determinantů, číselné soustavy. Diferenciální rovnice v 18. století. Vznik deskriptivní geometrie. Lineární algebra a vznik teorie matic v 19. století. Analýza v 19. století. Aplikace historických metod v současnosti.
[1] Kline M. The Mathematical Thought from Ancient to Modern Times NY 1972
[2] Stillwell J. Mathematics and Its History Springer NY, 1989
[3] C'Connor J., Robertson E. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/index.html
Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy - lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Funkce více proměnných. Základní pojmy, limita, spojitost. Parciální derivace, geometrický význam, derivace vyšších řádů, diferenciál, derivace ve směru, gradient. Taylorova věta. Funkce zadané implicitně, křivky a plochy zadané implicitně, geometrické aplikace. Extrémy – lokální, vázané a absolutní extrémy. Vícenásobné a křivkové integrály. Dvojný a trojný integrál, Fubiniova věta. Substituce v násobných integrálech. Aplikace dvojného a trojného integrálu. Křivkový integrál 1. a 2. druhu, aplikace.
[1] Zindulka, O.: Funkce více proměnných, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Šibrava, Z.: Příklady k Matematice 3, katedra matematiky FSv ČVUT, 2004. Bubeník, F., Pultar, M., Pultarová, I.: Matematické vzorce a metody, ČVUT, Praha 1997. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2004. Zindulka, O.: Vektorová pole, ČVUT, Praha, 1999.
Riemannův integrál funkce jedné a více proměnných Obdélníková a lichoběžníková metoda výpočtu integrálu, definice a vlastnosti integrálu, střední hodnota fce, fce horní meze integrálu.Metody výpočtu a aplikace integrálu. Integrální součty pro fci 2
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Dvojný integrál. Trojný integrál. Křivkový integrál 1. a 2. druhu. Podle oboru dále číselné a funkční řady, aproximace funkce - interpolace, metoda nejmenších čtverců, spline funkce. Fourierovy řady. Numerické řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice.
[1] Budinský B., Charvát J. Matematika II SNTL, 1990
[2] Vospěl Z. Numerická analýza a programování II ČVUT Praha, 1988
[3] Charvát J., Hála M., Kelar V., Šibrava Z. Příklady k Matematice II ČVUT Praha, 1992
Lineární operátory - operátory na vektorových prostorech se skalárním součinem, aplikace ve vyrovnávacím počtu, transformace geodetických a astronomických soustav souřadnic. Lineární, bilineární a kvadratická forma - elipsa chyb.
[1] Naylor W., Sell G.R. Teória lineárnych operátorov v technických a prírodných vedách Alfa Bratislava, 1981
[2] Sekanina M., Boček L., Kočandrle M., Šedivý J. Geometrie II SPN, 1984
Dvojný a trojný integrál přes uzavřený interval a jeho užití ve fyzice a mechanice. Gradient, divergence, rotace. Symbolické operátory. Konzervativní vektorové pole. Potenciál. Tenzory, početní operace s tenzory. Tenzorové pole. Užití tenzorů v technických výpočtech.
[1] Škrášek, Tichý Základy aplikované matematiky II SNTL Praha, 1980
[2] Madelung Matematika pre fyzikov Alfa Bratislava 1985
[3] Arsenin Matematická fyzika Alfa Bratislava, 1987
V tomto předmětu se posluchači seznámí se sémantikou a syntaxí výrokové logiky a predikátové logiky prvního řádu, základy universální algebry a teorie modelů a základy teorie Boolových algeber a Boolových funkcí a jejich aplikací. Dále jsou pojednány otázky úplnosti a kompaktnosti predikátorové logiky, mechanizace dokazování a rozhodnutelnosti.
[1] Jirásko J. Matematika 35, Matematická logika ČVUT Praha, 1997
Lineární operátory a jejich aplikace Lineární operátory, maticová reprezentace, transformace souřadnic. Lineární, bilineární a kvadratická forma. Vlastní čísla a vektory symetrických matic, obecná rovnice elipsy a její transformace. Číselné a fikční řady Konvergence a součet řady čísel. Konvergence funkčních řad, Taylorova řada. Aplikace v geodézii.
[1] K. Rektorys a spolupracovníci: Přehled užité matematiky I a II, Prometheus Praha, 2000.
Rovnice matematické fyziky a techniky Klasifikace rovnic 2. a 4. řádu. Greenova formule, Greenova funkce. Vlastnosti rovnic MFT. Eliptické rovnice.Parabolické rovnice. Hyperbolické rovnice. Soustavy rovnic 1. a 2. řádu. Okrajové a počáteční podmínky. Klasické, variační a slabé formulace. Počítačové realizace. Fourierova metoda. Ritzova metoda. Projekční metody. Metoda konečných prvků. Metoda hraničních prvků. Integrální rovnice. Algebraické úlohy vniklé diskreditací okrajových a počátečních úloh metodou konečných prvků. Symetrické a pozitivně definitivní soustavy. Přímé versus iterační metody řešení rozsáhlých soustav lineárních algebraických rovnic. Víceúrovňové metody. Multigridní metody. DDM (metoda rozkladu oblasti), FETI Optimalizace. Variační nerovnosti. Nesymetrické úlohy. GMRES. Volné téma. Rezerva.
[1] Z. Bittnar, J. Šejnoha: Numerické metody mechaniky
[2] K. Rektorys: Metoda časové diskreditace
[3] K. Rektorys: Variační metody
Jazyk, struktura, homomorfismy struktur, algebry, absolutně volné algebry termů. Booleovy algebry, Booleovy svazy, Booleovy okruhy. Množinová representace Booleových algeber. Booleovské funkce, konjunktivní a disjunktivní normální tvary, aplikace, e
[1] J. Jirásko: Matematika 35 - Matematická logika, ČVUT, 1997., J. Kolář, O. Štěpánková, M. Chytil: Logika, algebry a grafy, SNTL, 1984., A. Sochor: Klasická matematická logika, Karolinum, 2001.
Základy diferenciální geometrie křivek - rotace Frenetova trojhranu křivky, elementy drah družic a družicocentrické souřadnice. Základy diferenciální geometrie ploch - vektorová pole na ploše, 1. a 2. tenzor plochy a kovariantní derivace na ploše, geometrie referenčního elipsoidu.
[1] Kočandrle M. Diferenciální geometrie SPN, 1997
[2] Vanýsek V. Základy astronomie a astrofyziky Academia, 1980
Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic. Numerické metody řešení. Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami. Problém vlastních čísel. Metoda sítí pro výpočet přibližného řešení okrajové úlohy a pro přibližný výpočet vlastních čísel. Základy funkcionální analýzy, prostor L2(a,b), ortogonální a ortonormální systém funkcí. Parciální diferenciální rovnice vyskytující se ve stavebně inženýrských problémech. Fourierovy řady. Variační metody.
[1] Vospěl Z. Numerická analýza a programování II ČVUT Praha, 1988
[2] Rektorys K. Matematika V ČVUT Praha, 1989
[3] Bubeník F., Pultar M., Pultarová I. Matematické vzorce a metody ČVUT Praha, 1997
Fourierovy řady. Obyčejné diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami. Problém vlastních čísel. Metoda sítí pro výpočet přibližného řešení okrajové úlohy a pro přibližný výpočet vlastních čísel. Prostor L2(a,b), ortogonální a ortonormální systém funkcí. Parciální diferenciální rovnice vyskytující se ve stavebně inženýrských problémech a některé metody jejich řešení (zejména Ritzova metoda a metoda konečných prvků).
[1] Rektorys K. Solving Ordinary and Partial Boundary Value Problems of Science and Engineering CRC Press LLC, 1999
[2] Rektorys K. a kol. Přehled užité matematiky Praha, 1995
[3] Marčuk G.I. Metody numerické matematiky (vybrané kapitoly) Praha 1987
Cílem předmětu je seznámit posluchače se základy numerické analýzy. Součástí předmětu jsou i hlavní výsledky funkcionální analýzy, ze kterých jsou numerické algoritmy odvozeny. Posluchači jsou v průběhu semestru seznámeni se základními metodami numerické algebry, numerickým řešením obyčejných i parciálních diferenciálních rovnic a numerickou integrací. Posluchači se dále seznámí s některými matematickými solvery.
[1] Vospěl Z. Numerická analýza a programování II ČVUT Praha, 1988
[2] Vitásek E. Numerické metody SNTL, 1987
[3] Wolfram S. Mathematica Addison - Weisley Publishing Company, 1991
Seznámení s progranem MATHEMATICA a jeho využití pro řešení úloh ze základního kursu matematiky. Pomocí programu MATHEMATICA se budou řešit tradiční úlohy z historie matematiky různými metodami. Výhody a nevýhody použití počítače při řešení problémů matematického charakteru.
[1] Abell M., Braselton J. Mathematica By Example Academie Press, Boston, N.Y., 1993
[2] Gray T., Glynn J. Exploring Mathematics with Mathematica Addison-Wesley Reddwood City, 1991
Opakování základů finanční matematiky. Principy životního pojištění - úmrtnostní tabulky, komutační čísla, výpočet nettopojistného a bruttopojistného, pojistná rezerva. Základní pojmy škodního pojištění.
[1] Cipra T. Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou Edice HZ, Praha 1995
[2] Cipra T. Pojistná matematika v praxi Edice HZ, Praha 1994
Vektorové prostory nekonečnědimenzionální, ortogonální systémy funkcí, Schmidtův ortogonalizační proces, systém Legendreových polynomů a sférických funkcí, Fourierova řada.
[1] Vlach M. Úvod do funkcionální analýzy UK Praha, 1967
[2] Burša M., Karský G., Kostelecký J. Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země Academia, 1993
Vektorové prostory nekonečnědimenzionální, ortogonální systémy funkcí, Schmidtův ortogonalizační proces, systém Legendreových polynomů a sférických funkcí, Fourierova řada.
[1] Vlach M. Úvod do funkcionální analýzy UK Praha, 1967
[2] Burša M., Karský G., Kostelecký J. Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země Academia, 1993
Předmět se zabývá základními numerickými metodami, jako jsou metody: řešení soustav lineárních rovnic, řešení soustav nelineárních rovnic, aproximací funkcí, řešení diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou, výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů matic, kmitání mechanických soustav (tj. řešení zobecněných vlastních problémů). MA53 vyplňuje mezeru v základním kurzu matematiky a dává matematický aparát pro řešení úloh statiky, dynamiky, mechaniky aj.
[1] Marek I., Mayer P., Sekerka B. Úvod do numerické matematiky Text prezentován na www stránkách FSv ČVUT
[2] Rektorys K. Matematika 43 Obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami ČVUT Praha 1997
Vektorové prostory nekonečnědimenzionální, ortogonální systémy funkcí, Schmidtův ortogonalizační proces, systém Legendreových polynomů a sférických funkcí, plošný integrál a integrální věty, Fourierova řada.
[1] Vlach M. Úvod do funkcionální analýzy UK Praha, 1967
[2] Burša M., Karský G., Kostelecký J. Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země Academia, 1993
[3] Pachová Z., Frey T. Vektorová a tenzorová analýza SNTL, 1964
Diferenciální geometrie ploch - geodetické křivky a geodetické zobrazení, ekvivalence ploch, kartografická zobrazení sféry.
[1] Kočandrle M. Diferenciální geometrie SPN, 1997
[2] Pyšek J. Matematická kartografie ZČU, 1995
Diferenciální geometrie ploch - geodetické křivky a geodetické zobrazení, ekvivalence ploch, kartografická zobrazení sféry.
[1] Kočandrle M. Diferenciální geometrie SPN, 1997
[2] Pyšek J. Matematická kartografie ZČU, 1995
Diferenciální geometrie ploch - geodetické křivky a geodetické zobrazení, ekvivalence ploch, kartografická zobrazení sféry, vnější formy na ploše, geometrické principy fotografických a radiotechnických metod pozorování.
[1] Kočandrle M. Diferenciální geometrie SPN, 1997
[2] Pyšek J. Matematická kartografie ZČU, 1995
[3] Tiščenko A.P. Geometričeskije metody kosmičeskoj geodezii Nauka, 1971
Vektorová analýza - skalární a vektorová pole, diferenciální operátory (gradient, divergence, rotace, Laplace). Tenzorová analýza - tenzorové pole, divergence, derivace, integrální věty.
[1] Pachová Z., Frey T. Vektorová a tenzorová analýza SNTL, 1964
[2] Kučera B. Základy mechaniky tuhých těles JČMF, 1921
Ortogonální lineární operátory, samoadjugované zobrazení a symetrické matice, vlastní čísla a vlastní vektory operátoru, extrémy kvadratické formy na jednotkové sféře.
[1] Vlach M. Úvod do funkcionální analýzy UK Praha, 1967
Základy počítačové grafiky - fraktální geometrie, soběpodobnost a Hausdorffova míra. Interpolační a aproximační křivky a plochy počítačové grafiky.
[1] Drs L. Plochy ve výpočetní technice SNTL, 1984
[2] Žára J., Beneš B., Felkel J. Počítačová grafika Grada, 1998
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[1] Rektorys K. a spolupracovníci.: Přehled užité matematiky, Prometheus, Praha 2000.
[1] K. Rektorys: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996, M. Burša, G. Karský, J. Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia, 1993
Základy práce s programem MATLAB, jeho matematické a grafické funkce. Využití MATLAB pro řešení složitějších úloh - soustavy rovnic, optimalizace, přibližné řešení diferenciálních rovnic.
[1] Using MATLAB, Version 5 The MatWorks, Inc.; 1996
The course includes integral calculus of functions of several variables with applications to geometry and physics, elements of functional analysis and the theory of approximations and interpolations of functions.
[1] Bubeník F. Mathematics for Engineers ČVUT Praha, 1997
The course includes methods of the solving of the initial value problem for systems of linear differential equations, elements of Laplace transform and its application to the initial value problem, methods of numerical analysis to the solution of the initial value problem and variational methods for the boundary value problem for ordinary and partial differential equations.
[1] Bubeník F. Mathematics for Engineers ČVUT Praha, 1997
[2] Pták P. Calculus II ČVUT Praha, 1994
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997. Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000.
Pojem pravděpodobnosti, nezávislost jevů, náhodná veličina a její charakteristiky, diskrétní a spojité rozdělení, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, náhodný vektor, generování náhodných čísel, metoda Monte Carlo, popisné statistiky základního souboru, odhadování parametrů, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000
Pojem pravděpodobnosti, nezávislost jevů, náhodná veličina a její charakteristiky, diskrétní a spojité rozdělení, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, náhodný vektor, popisné statistiky základního souboru, princip statistické inference, odhadování parametrů, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
Pojem pravděpodobnosti, nezávislost jevů, náhodná veličina a její charakteristiky, diskrétní a spojité rozdělení, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, náhodný vektor, popisné statistiky základního souboru, odhadování parametrů, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese, vícerozměrná lineární regrese, aplikace na problém konkrétního statistického šetření.
[1] Jarušková D. Matematická statistika ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky ČVUT Praha, 2000
Pojem pravděpodobnosti, nezávislost jevů, náhodná veličina a její charakteristiky, diskrétní a spojité rozdělení, normální rozdělení, logaritmicko-normální rozdělení, náhodný vektor, popisné statistiky základního souboru, odhadování parametrů, testování hypotéz, jednoduchá lineární regrese, vícerozměrná lineární regrese, aplikace na problém konkrétního statistického šetření, generování náhodných veličin, metody Monte Carlo.
[1] Jarušková D. Matematická statistika ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky ČVUT Praha, 2000
Úvod do teorie pravděpodobnosti - pojem pravděpodobnosti, podmíněnost, nezávislost, náhodná veličina diskrétní a spojitá. náhodné vektory. Úvod do matematické statistiky - popisná statistika, odhadování parametrů, testování hypotéz, přejímací postupy, testy dobré shody, analýza rozptylu - jednoduché třídění, regresní metody.
[1] Jarušková D. Matematická statistika ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M. Pravděpodobnost a matematická statistika 12 Příklady ČVUT Praha, 1998
Introduction to visual object-oriented programming. Elements of the programming language: assignment statement, variables and expressions, simple data types, output and input, conditional statements, loops, etc. Creating, developing and debugging of a program in Visual Basic.
[1] John Smiley Learn to Program with Visual Basic 6 Active Path, 1998
[2] Microsoft Corporation Microsoft Visual Basic 6.0 Programmer's Guide Microsoft Press, 1998
Případové studie. (V předmětu bude na konkrétních problémech z oblasti životního prostředí, s kterými se vyučující setkali, ukázáno, jak takové problémy vznikají a jak je možno je pomocí metod matematické statistiky řešit. Je možno i řešit problémy, navržené studenty.)
[1] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[1] Charvát, J., Hála, M., Kelar, V., Šibrava, Z.: Příklady k Matematice II. Skriptum ČVUT.
[1] Novák J., Pultarová I., Novák P.: Základy informatiky (počítačové modelování v Matlabu). An introduction to R (Notes on R, Programming Environment for Data Analysis and Graphics).
Numerical methods: Numerical Algebra, linear systems, eigenvalue problems Initial value problems Boundary value problems Variational formulations Saddle point formulations
[1] I. Marek Numerical Methods for Applied Sciences., K. Rektorys Variational Methods in Science, Mathematical Physics and Engineering., J. Stoer, R. Bulirsch Introduction to Numerical Mathematics.
Křivkový a plošný integrál, integrální věty v tenzorovém tvaru, Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Úvod do teorie komplexní proměnné. Derivace, diferenciál, potenciál, Cauchyovy-Riemannovy podmínky, konformní zobrazení.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Diferenciální geometrie křivek a ploch. Rovinné a prostorové křivky v geodézii. Lokální báze v bodě křivky a plochy. Rotace Frenetova trojhranu. Kubické křivky počítačové grafiky.
[1] Burša, Karský, Kostelecký: Dynamika umělých družic v tíhovém poli Země, Academia 1993
Lineární operátory a zobrazení. Lineární operátory na vektorových prostorech, afinní a projektivní zobrazení, shodnost a podobnost v rovině a prostoru, středová kolineace. Lineární optimalizační úloha v normovaném a rovnicovém tvaru.
[1] Rektorys K. : Variační metody v inženýrských problémech, Academia 1999
Numerická matematika Kontraktivní operátor - Banachova věta o pevném bodě, metoda postupných aproximací. Jednokrokové i vícekrokové metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou. Metoda sítí pro okrajové úlohy. Odhad chyby řešení. Problém vlastních čísel. Aproximace, interpolace a splain integrální křivky řešení.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Tenzorový počet. Tenzorová algebra a analýza v kartézských a křivočarých souřadnicích. Křivkový a plošný integrál, integrální věty.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Funkcionální analýza I. Operátory na metrických prostorech. Operátorové rovnice - vlastní čísla operátorů. Kontraktivní operátory a Banachova věta, numerické řešení celého problému vlastních čísel. Úvod do teorie funkce jedné proměnné, Cauchyovy-Riemannovy podmínky, konformní zobrazení.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Funkcionální analýza II. Ortogonální systémy funkcí, řešení Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích, systém Legendreových a kulových funkcí, Fourierova řada.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Základy variačního počtu. Elementární řešení extremálních úloh, metoda variací, podmíněný extrém, minimaxová teorie vlastních hodnot.
[1] Rektorys K.a kol.: Přehled užité matematiky, Prometheus, 1996
Popisná statistika, princip statistické inference, spojitá náhodná veličina a její charakteristiky, normální rozdělení, teorie odhadu. Aplikace statistických metod pro spolehlivost konstrukcí.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000
Popisná statistika, princip statistické inference, spojitá náhodná veličina a její charakteristiky, normální rozdělení, teorie odhadu. Aplikace statistických metod pro spolehlivost konstrukcí.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000
Základy pravděpodobnosti. Popisná statistika, spojitá náhodná veličina a její charakteristiky, normální rozdělení, teorie odhadu. Aplikace statistických metod ve vodním hospodářství.
[1] Jarušková D.: Matematická statistika, ČVUT Praha, 1997
[2] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika 12 - Příklady, ČVUT Praha, 2000
[3] Jarušková D., Hála M.: Pravděpodobnost a matematická statistika - Tabulky, ČVUT Praha, 2000
Základní seznámení s prací na osobních počítačích, možnosti jejich využití v rámci studia. Základní orientace v hardware. Uživatelské rozhraní operačního systému. Služby sítě Internet: elektronická pošta, přenos souborů, vzdálené připojení, WWW. Základy tvorby webových stránek.Tvorba technického textu. Tabulkový procesor (např. MS Excel): tabulkové operace, funkce, grafy, technické výpočty, databázové zpracování informací, tvorba maker. Matematický software (např. Mathematica, Maple, Matlab): symbolické výpočty (derivování, integrování, řešení rovnic a soustav lineárních rovnic,...), numerické výpočty, 2D a 3D grafy. Základy algoritmizace a programování jednoduchých technických úloh.
[1] Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998.
[2] Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999.
[3] I. Pultarová, M. Pultar: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Základní seznámení s prací na osobních počítačích, možnosti jejich využití v rámci studia. Základní orientace v hardware. Uživatelské rozhraní operačního systému. Služby sítě Internet: elektronická pošta, přenos souborů, vzdálené připojení, WWW. Základy tvorby webových stránek.Tvorba technického textu. Tabulkový procesor (např. MS Excel): tabulkové operace, funkce, grafy, technické výpočty, databázové zpracování informací, tvorba maker. Matematický software (např. Mathematica, Maple, Matlab): symbolické výpočty (derivování, integrování, řešení rovnic a soustav lineárních rovnic,...), numerické výpočty, 2D a 3D grafy. Základy algoritmizace a programování jednoduchých technických úloh.
[1] Pultarová, I., Pultar, M.: Úvod do systému Windows 2000. Doplňkové skriptum. Vydavatelství ČVUT 2000. Kosek, J.: HTML - tvorba dokonalých WWW stránek. Grada Publishing 1998. Wolfram, S.: The Mathematica Book, Cambridge University Press, 1999. Heck, A.: Introduction to Maple, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1996.
Programovací jazyk, algoritmus. Základní prvky jazyka. Příkazy vstupu a výstupu. Řídící struktury, booleovské výrazy, podmíněné příkazy, iterační příkazy. Soubory. Funkce. Ukazatelé. Jednorozměrná a vícerozměrná pole, řetězce. Praktická realizace jednoduchých algoritmů na počítači. Základní algoritmy: algoritmy třídění, maticové operace, nulový bod funkce, numerická integrace, atd.
[1] Koníčková J. Programování 21. Programování v jazyce C a C++ ČVUT Praha, 1998
Základy jazyka C++ a C#. Principy objektového programování. Distribuované aplikace. Internetové .NET aplikace.
[1] Guy Eddon, Henry Eddon Inside COM+ Base services Microsoft Press, 1999
[2] Stephen Mohr Designinig Distributed Application WROX, 1999
[3] George Shepherd, Brad King Inside ATL Microsoft Press, 1999
Tvorba dokumentů profesionálního vzhledu, využití kvalitního a estetického proporcionálního písma, formátování textu, umisťování dalších objektů (obrázků, tabulek), práce se dvěma dokumenty.
[1] Šimek T., Vacek J. Word Computer Press Brno, Praha 1997
[2] Daněček J. Dejte inteligenci svým WWW stránkám Profess Praha, 1999
[3] Březina, Petrová Word 6.0, prův. text. procesorem Ccomp Praha, 1994
Základy práce se systémem. Struktura sítě Windows 2000. Adresářové služby. Aplikace .NET v prostředí Windows 2000.
[1] Windows 2000 Professional Resource Kit Microsoft Press, 2000
[2] William J. Pardi XML in Action Web Technology Microsoft Press, 1999
[3] Dostálek L., Kabelová A. Velký průvodce protokoly TCP/IP a systém DNS Computer Press, Praha 1999
Posluchači se seznámí s programem MATHEMATICA a užitím tohoto programu při řešení úloh, které jsou náplní základního kurzu matematiky jako jsou např. grafy funkcí, výpočty limit, derivací, integrálů, řešení základních úloh lineární algebry atd.
[1] Wolfram S. Mathematica Addison - Wesley Publishing Company, 1991
Problémy, připomínky a doporučení směrujte prosím na
webmaster@fsv.cvut.cz